從一道判斷題說起

陳國(guó)新

2005年，廣東省佛山市南海區(qū)小學(xué)五年級(jí)數(shù)學(xué)期末考試卷中有一道判斷題，引起老師之間的爭(zhēng)論。題目是這樣的：相鄰兩個(gè)自然數(shù)是互質(zhì)數(shù)()。

如果是以前，自然數(shù)從1開始，例如(1，2)＝1；(2，3)＝1(9，10)＝1，用輾轉(zhuǎn)相除法或輾轉(zhuǎn)相減法也可以證明其正確性。但現(xiàn)在0也是自然數(shù)，要判斷起來，的確有一定的難度。

而一些老師認(rèn)為它是錯(cuò)誤的，大致的觀點(diǎn)是互質(zhì)數(shù)不應(yīng)該考慮0。筆者認(rèn)為，的確，小學(xué)階段研究整除時(shí)，一般不考慮0，這在教材中也有相應(yīng)的說明。但既然題目中涉及有0，我們還是從它的定義來判斷，不能因?yàn)?的特殊性就武斷地認(rèn)為它是錯(cuò)誤的。要判斷0和1是不是互質(zhì)數(shù)，就要看它們的最大公約數(shù)是不是1？

大家容易知道：1的約數(shù)只有1。但0的約數(shù)到底有多少，還要從整除、倍數(shù)和約數(shù)的概念人手。因?yàn)?÷1=0，所以0是1的倍數(shù)，1是0的約數(shù)。同樣，0÷2=0，所以0是2的倍數(shù)，2是0的約數(shù)。0÷3=0，所以0是3的倍數(shù)，3是0的約數(shù)?！?÷n=O，(n≠0)所以0是n的倍數(shù)，n是0的約數(shù)。也就是說，0的約數(shù)有無窮多個(gè)，1，2，3，4，……都是0的約數(shù)。這些結(jié)論在《簡(jiǎn)明數(shù)論》中也有，與小學(xué)教材所說的并沒有矛盾。即0和1的公約數(shù)只有1，所以0和1是互質(zhì)數(shù)。經(jīng)過上述的論證，原命題是正確的。

我最近在函授本科學(xué)習(xí)期間，正好學(xué)習(xí)《簡(jiǎn)明數(shù)論》，授課的老師正好是一位數(shù)論博士。我趁機(jī)請(qǐng)教了他，他認(rèn)同了我的觀點(diǎn)。但他同時(shí)指出，“自然數(shù)”這個(gè)概念已經(jīng)過時(shí)了，在數(shù)論學(xué)術(shù)界中幾乎沒有人再用它。可是，我們的教材中還有出現(xiàn)，且把0也歸人自然數(shù)中。

從上面對(duì)0的論述中又產(chǎn)生了新的問題。0是1的倍數(shù)，又是2的倍數(shù)，……這樣，0豈不是任意兩個(gè)(甚至多個(gè))非0整數(shù)的最小公倍數(shù)，當(dāng)然，這是不可能的。因?yàn)槲覀兊男W(xué)教材中有特別的說明：研究整除，倍數(shù)和約數(shù)時(shí)，一般不考慮0。雖然如此，但還是不夠清晰，容易使人產(chǎn)生歧義。不妨借鑒一下《簡(jiǎn)明數(shù)論》，書上是這樣定義的：“設(shè)整數(shù)a_{1,a2均不為零，我們把a(bǔ)1和a2的正的公倍數(shù)中的最小稱為a1和a2的最小公倍數(shù)。”因?yàn)樾W(xué)階段沒有涉及正負(fù)數(shù)，所以筆者建議小學(xué)教材定義最小公倍數(shù)時(shí)最好能夠加上“除0外”。即“幾個(gè)整數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)，其中(除0外)最小的一個(gè)稱為這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)”。}

以上只是筆者的個(gè)人見解和一些不太成熟的建議，希望能夠拋磚引玉，引起大家的共鳴。

(選自《小學(xué)教學(xué)研究》)