劉艷麗

隨著中學(xué)教材改革的深入，許多原來只在大學(xué)教材中才出現(xiàn)的一些概念現(xiàn)在已經(jīng)出現(xiàn)在中學(xué)教材中.但是，由于中學(xué)教材的難度的限制，很多概念和方法并沒有象大學(xué)教材中敘述的那么系統(tǒng)、嚴(yán)格.本文主要針對(duì)概率的定義及其確定方法進(jìn)行歸納總結(jié).

1 概率的公理化定義

在概率論的發(fā)展史上，曾經(jīng)有過概率的古典定義、概率的幾何定義、概率的頻率定義和概率的主觀定義，這些定義各適合一類隨機(jī)現(xiàn)象.為了給出適合一切隨機(jī)現(xiàn)象的概率的最一般的定義，前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫在1933年提出了概率的公理化定義，該定義既概括了上述幾種概率定義的共同特性，又避免了各自的局限性和含混之處.

概率的公理化定義刻畫了概率的本質(zhì)，概率是集合（事件）的函數(shù)，對(duì)給定的樣本空間圖笆錄域F，若定義在F上的函數(shù)滿足上述三個(gè)條件，就被稱為概率.

概率的公理化定義沒有告訴人們?nèi)绾稳ゴ_定概率，它只是規(guī)定了概率應(yīng)該滿足的性質(zhì).歷史上在公理化定義出現(xiàn)之前的概率的古典定義、幾何定義、頻率定義和主觀定義都在一定的場(chǎng)合下給出了各自的確定概率的方法，因此在有了概率的公理化定義之后，把它們看作確定概率的方法是恰當(dāng)?shù)?

2 確定概率的古典方法

確定概率的古典方法是概率論歷史上最先開始研究的情形，它簡單、直觀，不需要做大量重復(fù)試驗(yàn)，只是在經(jīng)驗(yàn)事實(shí)的基礎(chǔ)上，對(duì)被考察事件的可能性進(jìn)行邏輯分析后得出事件的概率.它的基本思想如下：

（1）所涉及的隨機(jī)現(xiàn)象只有有限個(gè)結(jié)果，即樣本空間橢兄揮杏邢薷鲅本點(diǎn)，設(shè)為n；

（2）每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等（稱為等可能性）；

（3）若事件A含有k個(gè)樣本點(diǎn)，則事件A的概率為

P(A)=事件A所含樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)橢興有樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)=kn.

容易驗(yàn)證，由上述方法確定的概率滿足概率的公理化定義，這種概率模型通常稱為古典概型.用古典方法求概率的關(guān)鍵是計(jì)算樣本空間所包含的點(diǎn)的個(gè)數(shù)和事件A所含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù).在我們?nèi)粘Ｉ钪薪?jīng)常遇到可以用古典方法解決的問題，如下例：

例1 設(shè)有一張電影票，甲、乙、丙三個(gè)人都想得到它，現(xiàn)抽簽決定三人由誰得到這張電影票.設(shè)三張簽分別標(biāo)號(hào)為1、2和3，甲、乙、丙三個(gè)人各抽取一張，抽到標(biāo)號(hào)為1的人得到電影票.證明這種抽簽方法是公平的.

證明 這是一個(gè)典型的古典概型問題.用A表示甲得到這張電影票，則甲、乙、丙三人抽簽的結(jié)果共有6種可能，并且每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性都是16，滿足古典概型的條件.由于事件A含有2個(gè)樣本點(diǎn)，因此事件A的概率為P(A)=26=13，即甲得到這張電影票的概率為13.同理可得，乙和丙得到這張電影票的概率也都是13，因此，三人得到這張電影票的概率相等，這說明抽簽方法是公平的.

實(shí)際生活中抽簽的例子比比皆是，很多人在抽簽時(shí)都搶著先抽，因?yàn)樗麄冎?，一旦前面的人抽到了，后面的人就抽不到或者抽到的機(jī)會(huì)就變小了，這些人通常不會(huì)想到：如果前面的人沒有抽到，后面的人抽到的機(jī)會(huì)會(huì)變大，因此，總的機(jī)會(huì)是相等的，這其中包含著條件概率的思想.而由前面的例子知道，無論先抽后抽，抽到的概率都是相等的.

古典方法的局限是它只適用于樣本空間中只有有限個(gè)樣本點(diǎn)的情形，下面的幾何方法適用于樣本空間有無限個(gè)樣本點(diǎn)的情形.

3 確定概率的幾何方法

幾何概率是日常生活中另一種常見的概率模型，其基本思想是：

由上述方法確定的概率稱作幾何概率，它也滿足概率的公理化定義.求幾何概率的關(guān)鍵是對(duì)樣本空間禿褪錄嗀用圖形描述清楚（一般用平面或者空間圖形），然后計(jì)算出相關(guān)圖形的度量（一般為面積或者體積）.

雖然幾何方法能夠處理樣本空間有無限個(gè)樣本點(diǎn)的情形，但是它同樣要求某種“等可能性”，有時(shí)對(duì)“等可能性”的不同理解會(huì)得到不同的答案，從而會(huì)出現(xiàn)自相矛盾的情形，著名的“貝特朗悖論”就是大家熟知的一個(gè)例子.下面這個(gè)例子是我在教學(xué)中遇到的一個(gè)類似于“貝特朗悖論”的例子.

例2 如圖，從等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)C任作一條射線交斜邊AB于點(diǎn)D，求AD的長度小于AC的長度的概率.

解法一 由于射線CD可以由點(diǎn)C和∠ACD唯一確定，從直角頂點(diǎn)C任作一條射線可以理解為∠ACD的取值在閉區(qū)間[0°,90°]上是“等可能的”，而AD的長度小于AC的長度當(dāng)且僅當(dāng)∠ACD的取值落在區(qū)間[0°,67.5°)內(nèi)，從而AD的長度小于AC的長度的概率為P1=67.590=0.75.

解法二 設(shè)三角形ABC的直角邊AC長為a，則斜邊AB長為2a.由于射線CD可以由點(diǎn)C和D唯一確定，從直角頂點(diǎn)C任作一條射線可以理解為點(diǎn)D在斜邊AB上的分布是“均勻的”，即線段AD的長度取值在區(qū)間[0,2a]上是“等可能的”，而AD的長度小于AC的長度當(dāng)且僅當(dāng)AD的長度取值落在區(qū)間[0,a)內(nèi)，從而AD的長度小于AC的長度的概率為P2=a2a=22.

由例2可以看出，處理幾何概率題目的難點(diǎn)是對(duì)“等可能性”的理解.由于高中學(xué)生在初學(xué)幾何概率時(shí)還沒有深刻理解“等可能性”的內(nèi)涵，因此，老師在處理那些類似于“貝特朗悖論”的題目時(shí)一定要慎重，最好在開始時(shí)避免在學(xué)生的練習(xí)和作業(yè)中出現(xiàn)這類題目，要等到時(shí)機(jī)成熟以后再講這類題目，以加深學(xué)生對(duì)“等可能性”的內(nèi)涵的理解.

4 確定概率的頻率方法

頻率方法也是確定概率的一種常用方法，其基本思想是：

（1）與所考察事件A有關(guān)的隨機(jī)試驗(yàn)可以大量重復(fù)進(jìn)行；

（2）在n次重復(fù)試驗(yàn)中，記n(A)為事件A出現(xiàn)的次數(shù)，稱n(A)為n次重復(fù)試驗(yàn)中事件A的頻數(shù)，稱f璶(A)=n(A)n為事件出現(xiàn)的頻率；

（3）隨著試驗(yàn)重復(fù)次數(shù)n的增加，f璶(A)會(huì)穩(wěn)定在某一常數(shù)p附近，稱這個(gè)常數(shù)為頻率的穩(wěn)定值，這個(gè)頻率的穩(wěn)定值就是所求事件A的概率.

根據(jù)概率極限理論，當(dāng)n趨向于無窮時(shí)，f璶(A)會(huì)以概率1收斂到相應(yīng)的概率p.可以驗(yàn)證，用上述方法確定的概率也滿足概率的公理化定義.頻率方法的優(yōu)點(diǎn)是它不需要象古典方法和幾何方法那樣要求某種“等可能性”，人們只需要多次重復(fù)試驗(yàn)即可.但是，由于人們不可能把一個(gè)試驗(yàn)無限次的重復(fù)下去，因此要精確獲得頻率的穩(wěn)定值是困難的，通常只能獲得概率的一個(gè)近似值.

例3 拋硬幣試驗(yàn).歷史上有不少人做過拋硬幣試驗(yàn)，其結(jié)果如下表.

試驗(yàn)者拋硬幣次數(shù)出現(xiàn)正面次數(shù)頻率De Morgan2 0481 0610.518 1Buffon4 0402 0480.506 9Feller10 0004 9790.497 9Pearson12 0006 0190.501 6Pearson24 00012 0120.500 5 在很多概率題目中，會(huì)出現(xiàn)“均勻硬幣”、“均勻骰子”之類的字樣，如：拋擲一枚均勻的硬幣5次，求出現(xiàn)2次正面的概率.這類問題可以用古典方法求相應(yīng)的概率.由于假設(shè)硬幣是均勻的，因此每拋擲一次硬幣，出現(xiàn)正面的概率都是0.5.但是，在現(xiàn)實(shí)生活中，“均勻”只是一種理想的假設(shè)，不會(huì)存在絕對(duì)“均勻”的硬幣.先不說上面表格中的試驗(yàn)者用的是否是同一枚硬幣，即使假設(shè)他們用的是同一枚硬幣，那么拋擲一次這枚硬幣出現(xiàn)正面的概率應(yīng)該是多少？是0.5，還是平均值（0.5181+0.5069+0.4979+0.5016+0.5005）/5＝0.505，亦或是中位數(shù)0.5016呢？通常大家會(huì)選0.5作為一個(gè)近似值.如果他們用的不是同一枚硬幣，那么我們估計(jì)這個(gè)概率就沒有意義了，因?yàn)閽仈S不同的硬幣出現(xiàn)正面的概率通常是不同的，此時(shí)我們只能得到拋擲這些硬幣得到正面的各自不同的概率的近似值.

5 確定概率的主觀方法

在現(xiàn)實(shí)世界里有一些隨機(jī)現(xiàn)象是不能重復(fù)或者不能大量重復(fù)的，它們也不具有某種“等可能性”，因此不能用上面的三種方法確定有關(guān)事件的概率，這時(shí)我們應(yīng)該怎么確定其概率呢？

統(tǒng)計(jì)界的貝葉斯學(xué)派認(rèn)為：一個(gè)事件的概率是人們根據(jù)經(jīng)驗(yàn)對(duì)該事件發(fā)生的可能性所給出的個(gè)人信念.這樣給出的概率稱為主觀概率.如在氣象預(yù)報(bào)中常常會(huì)說：“明天下雨的概率是25％”，這是氣象專家根據(jù)氣象專業(yè)知識(shí)和最近的氣象情況給出的主觀概率.

由于主觀給定的概率沒有明確的公式，因此，確定主觀概率時(shí)要使其符合公理化的定義.

主觀概率和主觀臆造有著本質(zhì)的不同，前者要求當(dāng)事人對(duì)所考察的事件有透徹的了解和豐富的經(jīng)驗(yàn)，并能對(duì)歷史信息和當(dāng)時(shí)的信息進(jìn)行仔細(xì)分析，如此確定的主觀概率是可信的.用主觀方法得出的概率本質(zhì)上是對(duì)隨機(jī)事件概率的一種推斷，其精確性有待實(shí)踐的檢驗(yàn)和修正，但結(jié)論的可信性在統(tǒng)計(jì)意義上是有其價(jià)值的.在遇到的隨機(jī)現(xiàn)象無法大量重復(fù)時(shí)，用主觀方法去做決策和判斷是適合的.因此，主觀方法是頻率方法的一種補(bǔ)充.

以上是對(duì)概率的公理化定義及其確定方法的總結(jié)，教師應(yīng)該在教學(xué)中與現(xiàn)實(shí)生活結(jié)合起來，靈活運(yùn)用，加深學(xué)生對(duì)概率定義及其確定方法的理解.

參考文獻(xiàn)

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