初中數(shù)學(xué)中的測量方案設(shè)計問題

郭　文　周冬梅

1 測量平面內(nèi)不可直接到達(dá)的兩點(diǎn)之間的距離

問題1 圖1為公園內(nèi)的人工湖，現(xiàn)要測量此人工湖兩旁A，B兩點(diǎn)的距離(A，B兩點(diǎn)不能直接到達(dá))，請你根據(jù)所學(xué)知識，以卷尺和測角儀為工具設(shè)計一種測量方案.

要求：

(1)畫出你設(shè)計的測量平面圖；

(2)簡述測量方法，寫出測量數(shù)據(jù)(長度用a，b，c，…表示，角度用α，β，γ，…表示)；

(3)根據(jù)你測量的數(shù)據(jù)，計算AB間的距離.

方案設(shè)計1 利用等邊三角形知識.

(1)測量工具：卷尺，測角儀.

(2)測量平面圖：如圖2.

(3)測量步驟：

①用測角儀在A處測得∠BAC=60°；

②用測角儀在B處測得∠ABC=60°；

③用卷尺量出BC=a.

(4)根據(jù)等邊三角形的知識，可得A，B之間的距離為a.

方案設(shè)計2 利用全等三角形知識.

(1)測量工具：卷尺.

(2)測量平面圖：如圖3.

(3)測量步驟：

①在地面上取一點(diǎn)C，使C點(diǎn)與A，B兩點(diǎn)均可直接到達(dá)；

②用卷尺量出AC=b，并延長AC到D，使DC=b；

③用卷尺量出BC=a，并延長BC到E，使CE=a；

④用卷尺量出DE=c.

(4)根據(jù)三角形全等的知識，可得A，B兩點(diǎn)間的距離為c.

方案設(shè)計3 利用勾股定理的知識.

(1)測量工具：卷尺，測角儀.

(2)測量平面圖：如圖4.

(3)測量步驟：

①用測角儀在B處測得∠ABC=90°，

②用卷尺測得AC=a，BC=b.

(4)根據(jù)勾股定理可計算得AB=a²-b².

方案設(shè)計4 利用解直角三角形的知識.

(1)測量工具：卷尺，測角儀.

(2)測量平面圖：如圖4.

(3)測量步驟：

①用測角儀在B處測得∠ABC=90°；

②用測角儀在C處測得∠BCA=α；

③用卷尺測得BC=a.

(4)根據(jù)解直角三角形的知識，可得A，B兩點(diǎn)間的距離為a·tanα.

方案設(shè)計5 利用三角形中位線的知識.

(1)測量工具：卷尺.

(2)測量平面圖：如圖5.

(3)測量步驟：

①在地面上取一點(diǎn)C，使C點(diǎn)與A，B兩點(diǎn)均可直接到達(dá)；

②用卷尺量出AC=b，CB=a，并分別找出AC，CB的中點(diǎn)D，E；

③用卷尺量出DE=c.

(4)根據(jù)三角形中位線的知識，可得A，B兩點(diǎn)間的距離為2c.

問題2 如圖6所示為大運(yùn)河的某一河段，先要測量這一河段的寬度(我們不能直接測量得到)，請根據(jù)所學(xué)知識，用適當(dāng)?shù)墓ぞ咴O(shè)計一種測量方案.

要求：

(1)畫出你設(shè)計的測量平面圖；

(2)簡述測量方法，寫出測量數(shù)據(jù)；

(3)根據(jù)測量數(shù)據(jù)，計算河的寬度.

圖6 圖7 圖8方案設(shè)計1 利用相似三角形的知識.

(1)測量工具：卷尺，測角儀.

(2)測量平面圖：如圖7.

(3)測量步驟：

①在河對面找一個特別明顯的標(biāo)志點(diǎn)O；

②在河的這一側(cè)選點(diǎn)A，B，D，使AB⊥AO，DB⊥AB；

③確定DO和AB的交點(diǎn)C，用卷尺測得AC=a，BC=b，BD=c；

(4)根據(jù)三角形相似的知識，可以計算得出AO=acb.

方案設(shè)計2 利用解直角三角形的知識

(1)測量工具：卷尺，測角儀.

(2)測量平面圖：如圖8.

(3)測量步驟：

①在河對岸選一明顯的標(biāo)志點(diǎn)A，在河這岸取兩點(diǎn)B，C；

②用測角儀測得∠ABC=α∠ACB=β；

③用卷尺測得BC的長為m米；

(4)根據(jù)解直角三角形的知識，可得河的寬度為mcotα+cotβ.

特別的，當(dāng)α=β=60°時，利用等邊三角形的知識，當(dāng)α=β=45°時，利用等腰直角三角形的知識.

2 求地面上某物體的高度

2.1 測量底部可直接到達(dá)的物體的高度.

問題1 在一次實(shí)踐活動中，某課題學(xué)習(xí)小組要測量學(xué)校旗桿的高度，如圖9，請你幫他們設(shè)計一種測量方案.

要求：

(1)畫出你設(shè)計的測量平面圖；

(2)簡述測量方法，寫出測量數(shù)據(jù)

(3)根據(jù)你測量的數(shù)據(jù)，計算旗桿的高度.

圖9 圖10 圖11方案設(shè)計1 利用陽光下的影子，根據(jù)同一時刻物高與影長成正比例的知識.

(1)測量工具：卷尺，標(biāo)桿.

(2)測量背景：晴朗的天氣.

(3)測量平面圖：如圖10.

(4)測量步驟：

①測量旗桿的影長為AB=a；

②測量標(biāo)桿的影長為CD=b；

③測出標(biāo)桿的長為c.

(5)根據(jù)同一時刻物高與影長成正比例，算的旗桿的高度為acb.

方案設(shè)計2 利用標(biāo)桿，根據(jù)三角形相似的知識.

(1)測量工具：卷尺，標(biāo)桿.

(2)測量平面圖：如圖11.

(3)測量步驟：

①在觀測者與旗桿之間的地上直立一根高度適當(dāng)?shù)臉?biāo)桿；

②觀測者調(diào)整自己的位置，使旗桿的頂端、標(biāo)桿的頂端與眼睛在一條直線上；

③測出觀測者與旗桿底端的距離BF=a，以及觀測者的腳到旗桿底端的距離FD=b.

④測出標(biāo)桿的高度CD=c，以及觀測者的身高EF=d

(4)根據(jù)相似三角形的知識，可得旗桿的高度為ac-ad+bdb.

方案設(shè)計3 利用鏡子的反射，根據(jù)三角形相似的知識.

(1)測量工具：鏡子，卷尺.

(2)測量平面圖：如圖12.

(3)測量步驟：

①在觀測者與旗桿之間的地面上平放一面鏡子，在鏡子上做一個標(biāo)記；

②觀測者看著鏡子來回移動，直到看到旗桿頂端在鏡子中的像與鏡子上的標(biāo)記重合.

③用卷尺測量出觀測者的身高DE=a，以及觀測者與鏡子的距離DC=b，旗桿底部與鏡子的距離BC=c.

(4)根據(jù)相似三角形的知識，可得旗桿的高度為acb.

方案設(shè)計4 利用解直角三角形的知識.

(1)測量工具：卷尺，測傾儀.

(2)測量平面圖：如圖13.

(3)測量步驟：

①在測點(diǎn)D處安置測傾儀，測得旗桿頂部A的仰角∠ACE=α；

②測出測點(diǎn)D與旗桿底部B的水平距離DB=m；

③測出測傾儀的高度CD=h.

(4)根據(jù)解直角三角形的知識，可算得旗桿的高度為mtanα+h.

2.2 測量底部不可直接到達(dá)的物體的高度.

問題2 如果把問題1中的旗桿換成一座小山，請設(shè)計一個測量小山高度的方案. 如圖14.

要求：

(1)在圖14中畫出你測量小山高度MN的示意圖，標(biāo)上適當(dāng)?shù)淖帜福?/p>

(2)寫出你的設(shè)計方案.

設(shè)計方案：利用解直角三角形知識.

(1)測量工具：卷尺，測傾儀.

(2)測量平面圖：如圖15.

(3)測量步驟：

圖14 圖15①在觀測點(diǎn)A處安放測傾儀，測得此時山頂M的仰角∠MCE=α；

②在觀測點(diǎn)A與小山間的B處安置測傾儀(A，B與M在同一條直線上)，測得此時山頂M的仰角∠MDE=β；

③量出測傾儀的高度AC=BD=h；量出AB之間的距離為m.

(4)根據(jù)解直角三角形的知識，可求得小山的高度MN為mcotα-cotβ+h.

數(shù)學(xué)測量方案設(shè)計問題的實(shí)踐活動，充分調(diào)動了學(xué)生的積極性. 在實(shí)踐活動的過程中，每一個學(xué)生都認(rèn)真思考、積極參與，不僅培養(yǎng)了學(xué)生的觀察能力、動手能力、更重要的是培養(yǎng)了學(xué)生解決問題的靈活性、多樣性，增強(qiáng)了學(xué)生對數(shù)學(xué)的創(chuàng)新意識，讓學(xué)生理解到數(shù)學(xué)就在我們身邊，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)在社會實(shí)踐中的應(yīng)用價值.

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