鄭潔芳

一、重點和難點

1. 重點：成比例線段、黃金分割的定義，相似多邊形、相似三角形以及位似圖形的判別方法和性質(zhì)．

2. 難點：線段成比例問題，正確找出相似三角形的對應(yīng)元素，靈活選擇不同的判定方法和性質(zhì)解決相似三角形的相關(guān)問題和實際應(yīng)用問題．

二、知識精析

1. 正確理解比例的性質(zhì)：①若=，則ad=bc；②若=，則b2=ac；③若=＝…＝，且b＋d＋…＋n≠0，則=＝…＝＝．

2. 在理解相似多邊形時，應(yīng)注意：①兩個邊數(shù)不相同的多邊形一定不相似；②兩個邊數(shù)相同的多邊形，必須同時具備對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例這兩個條件時才能相似.

3. 相似三角形：

（1）定義 三角對應(yīng)相等、三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形叫做相似三角形.

（2）判定方法 除掌握課本上介紹的三種判定方法外，還應(yīng)注意以下事實（它們在解有關(guān)的選擇題、填空題時可直接應(yīng)用）：①平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；②直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原直角三角形都相似.

（3）性質(zhì) 對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例；對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線以及周長的比都等于相似比；面積的比等于相似比的平方.

（4）應(yīng)用 利用相似三角形的有關(guān)性質(zhì)測量、計算那些不易直接測量的物體的寬度或高度.

4. 黃金分割：若點C將線段AB分成AC和BC，且=時，則點C稱為線段AB的黃金分割點，AC與AB的比叫做黃金比．這時，AC∶AB=∶1≈0.618∶1，即AC≈0.618AB或AC=

AB.

5. 位似圖形：這是特殊的相似圖形（每組對應(yīng)點所在的直線都經(jīng)過同一個點——位似中心），具有相似圖形的所有性質(zhì)．利用位似的方法可以將一個圖形放大或縮?。枰⒁獾氖?，確定一個圖形的位似圖形的位置的主要因素是位似中心和位似比．畫一個圖形的位似圖形，關(guān)鍵在于畫出圖形上的特殊點經(jīng)過位似變換后的對應(yīng)點，然后順次連接這些對應(yīng)點即可得到位似圖形.

6. 思想方法：領(lǐng)悟并掌握類比、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、一般到特殊以及分類討論的思想方法.

三、解題技巧

例1 如圖1，梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=AD，AC與BD相交于點E，AE=2，CE=4，求AB的長.

解析：由AB=AD，有∠ABD=∠ADB．又易知∠ABD=∠ACD，所以∠ADB=∠ACD．從而△ADE∽△ACD，=，即AD2=AC·AE=（2+4）×2=12，故AB=AD==2．

評注：利用相似形求線段的長是解題中常用的方法．本題中成比例線段和相似形較多，關(guān)鍵是根據(jù)條件，選擇合適的相似三角形．

例2 如圖2，在一個3×5的單位正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點A、B、C在小正方形的頂點上．請你在圖中畫一個△A′B′C′，使△A′B′C′∽△ABC（相似比不為1），而且點A′、 B′、 C′都在小正方形的頂點上.

解析：由圖中信息知∠ABC=135°，AB∶BC=1∶．由此可知，所畫三角形也必有一角為135°，且夾該角的兩邊之比為1∶（也可以把這一比值看作∶2或2∶2等）．以此為突破口，在圖中連出長為和2，2和2，和的線段，即得△DEA∽△AMN∽△DGF∽△ABC（如圖3所示）.

評注：在判定三角形相似時，要靈活應(yīng)用判定方法．本題若運用“兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似”，則解題過程較復(fù)雜.

例3 如圖4，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上的一個動點，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，則PE+PF的值為（）．

A． B． 2C． D．

解析：由于PE＋PF的值是確定的，可采用特殊點法求．為此可將點P移到點D位置，過D作DQ⊥AC于Q（如圖5），則PE＋PF＝DQ．易證Rt△ADQ∽Rt△ACD，故＝，即DQ＝＝．所以PE＋PF＝DQ＝．故應(yīng)選A．

評注：本題也可利用△AEP∽△ADC，△DFP∽△DAB，先求出AP和DP（分別以PE、PF表示），然后利用AP ＋ DP＝4求解．

例4 如圖6，已知?ABCD中，＝．

（1）求△AEF與△CDF的周長之比；

（2）如果S△AEF＝6 cm2，求S△CDF ．

解析：（1）由＝，知＝．又由平行四邊形性質(zhì)知AB＝CD，所以＝＝．由AB∥CD知△AEF∽△CDF，所以，△AEF的周長∶△CDF的周長＝AE∶CD＝1∶3．

（2）由△AEF∽△CDF，有S△AEF ∶ S△CDF＝1 ∶ 9．又S△AEF＝6 cm2，所以S△CDF＝6×9＝54（cm2）．

評注：本題在求相似比時，通過運用平行四邊形的特性巧妙地把線段的比轉(zhuǎn)化成相似三角形對應(yīng)邊的比．

例5 如圖7，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 cm，BC＝4 cm．點Q與P同時分別從B、C兩點開始向C、A兩點作直線運動，速度分別為1 cm ／ s和2 cm ／ s，問：經(jīng)過多長時間后△CPQ與△ABC相似？

解析：設(shè)x s后△CPQ與△ABC相似，則CQ＝（4－x） cm，CP＝2x cm．因∠C＝90°為公共角，故△CPQ與△ABC相似應(yīng)分兩種情況：

（1）若PQ∥AB，則有△CPQ∽△CAB，這時＝，

所以＝，解得x＝2．

（2）當(dāng)∠CAB＝∠CQP時，則有△CPQ∽△CBA，＝，所以＝，解得x＝．

因為整個運動過程歷時4 s，故上面兩種情況均能出現(xiàn)．

∴ 經(jīng)過2 s或 s后△CPQ與△ABC相似．

評注：本題運用了方程思想和分類討論思想．當(dāng)有關(guān)量不能直接計算時，可設(shè)未知數(shù)，列方程（組）求解；當(dāng)相似圖形的對應(yīng)關(guān)系不確定時，應(yīng)進行分類討論．

四、易錯點直擊

1． 混淆對應(yīng)關(guān)系出錯．

例6 如圖8，小亮同學(xué)某天晚上由路燈A走向路燈B，當(dāng)他走到P點時，發(fā)現(xiàn)他的影子的最前端正好接觸路燈B的底部，這時他離路燈A為25 m，離路燈B為5 m．如果小亮的身高DP為1．6 m，那么路燈A的高度CA為（）．

A． 6．4 m B． 8 m C． 9．6 mD． 11．2 m

錯解：由題設(shè)有∠A＝∠DPB＝90°，又∠DBP＝∠CBA，所以△BDP∽△BCA，故＝，即＝．解得CA＝8 m，故應(yīng)選B．

剖析：本題的錯誤出在＝上．當(dāng)△BDP∽△BCA時，BP的對應(yīng)邊應(yīng)該是BA，而不是PA．

正解：由△BDP∽△BCA，有＝，即＝．解得CA＝9．6 m，故應(yīng)選C．

2． 性質(zhì)應(yīng)用不當(dāng)出錯．

例7 如圖9，△ABC中，DE∥BC，S△ADE∶S△ABC＝4∶9，求：（1）AE∶EC；（2）S△ADE∶S△CDE．

錯解：（1）由DE∥BC，有△ADE∽△ABC，所以 ＝

2＝，＝．于是＝2．

（2）由＝2，有＝

2＝4．

剖析：（2）中由于△ADE與△CDE不一定相似，故不能運用＝

2來計算．

正解：（1）同上．

（2）如圖10，過點D作DF⊥AC于F，則S△ADE＝DF·AE，S△CDE＝DF·EC．故 ＝＝2，即為所求．

五、相關(guān)中考題鏈接

1． （寧波市）如圖11，△ABC與△DEF是位似圖形，位似比為2∶3．已知AB＝4，則DE的長是（）．

A． 6 B． 5 C． 9D．

2． （陜西）如圖12，矩形ABCG（AB＜BC）與矩形CDEF全等，點B、C、D在同一條直線上．∠APE的頂點P在線段BD上移動，使∠APE為直角的點P有（）個．

A． 0 B． 1C． 2 D． 3

3． （棗莊市）如圖13，路燈高8 m．身高1．6 m的小明從距離路燈的底部（點O）20 m的點A處，沿AO所在直線行走14 m到達(dá)點B處，這時人影BN的長度較原來人影AM的長度（）．

A． 增加3．5 mB． 增加2．5 mC． 縮短3．5 mD． 縮短2．5 m

4． （錦州市）點P是△ABC中AB邊上的一點，過點P作直線截△ABC，使截得的三角形與△ABC相似．滿足這樣條件的直線最多可以作 條．

5． （河南）要拼出和圖14中的菱形相似且較長對角線長為88 cm的大菱形（如圖15所示），需要圖14中的菱形個．

6． （樂山市）如圖16，在邊長為a的正方形ABCD中，M是邊AD的中點．能否在AB上找到點N（不包括A、B），使得△CDM與△MAN相似？若能，請給出證明；若不能，請說明理由．

7． （內(nèi)江市）如圖17，四邊形ABCD中，E、F、G、H分別為各邊的中點．順次連接E、F、G、H，把四邊形EFGH稱為中點四邊形．容易證明：中點四邊形EFGH一定是平行四邊形．連接AC、BD．

（1）如果改變原四邊形ABCD的形狀，那么中點四邊形的形狀也隨之改變．通過探索可以發(fā)現(xiàn)：

當(dāng)四邊形ABCD的對角線滿足 時，四邊形EFGH為菱形；

當(dāng)四邊形ABCD的對角線滿足 時，四邊形EFGH為矩形；

當(dāng)四邊形ABCD的對角線滿足時，四邊形EFGH為正方形．

（2）探索△AEH、△CFG與四邊形ABCD的面積之間的關(guān)系．請寫出你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，并加以證明．

（3）如果四邊形ABCD的面積為2，試求中點四邊形EFGH的面積．

相關(guān)中考題鏈接參考答案

1． A2． C3． C4． 45． 1216． 當(dāng)AN＝a時，△CDM∽△MAN．證明略． 7． （1）AC＝BD AC⊥BD AC⊥BD且AC＝BD （2）S△AEH＋S△CFG＝S[四邊形]ABCD ．證明：在△ABD中，EH∥BD且EH＝BD， 故△AEH∽△ABD， ＝

2＝．即S△AEH＝S△ABD ．同理可證S△CFG＝S△CBD ． 所以S△AEH＋S△CFG＝（S△ABD＋S△CBD）＝S[四邊形]ABCD ．（3）由（2）的結(jié)論，S△AEH＋S△CFG＝S[四邊形]ABCD．同理也有S△BEF＋S△DHG＝S[四邊形]ABCD．于是S[四邊形]EFGH＝S[四邊形]ABCD ＝1．