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折疊型問(wèn)題是近年中考的熱點(diǎn)問(wèn)題.通常是把某個(gè)圖形按照給定的條件折疊，通過(guò)折疊前后圖形的相互關(guān)系來(lái)命題.折疊型問(wèn)題立意新穎，變幻多樣.下面我們一起來(lái)探究這種題型的解法.

折疊型問(wèn)題的規(guī)律是：折疊前后的部分圖形，關(guān)于折痕成軸對(duì)稱(chēng)，兩圖形全等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線(xiàn)被折痕垂直平分.同時(shí)，可以聯(lián)合應(yīng)用等腰三角形的性質(zhì)和判定解決問(wèn)題.

一、根據(jù)折疊性質(zhì)求角的大小

例1如圖1，把一個(gè)長(zhǎng)方形紙片ABCD沿EF折疊后，點(diǎn)D、C分別落在D′、C′的位置.若∠EFB=65°，則∠AED′=__.

解：把長(zhǎng)方形這樣折疊后，得到的四邊形D′C′FE和四邊形DCFE是全等的，根據(jù)全等形的性質(zhì)，可得到∠DEF=∠D′EF.因AD∥BC，故∠DEF=∠EFB=65°.于是得到∠AED′=180°-2∠DEF=50°.

例2如圖2，長(zhǎng)方形ABCD沿AE折疊，使D點(diǎn)落在邊BC上的F點(diǎn)處.若∠BAF=60°，則∠DAE=__.

解： 根據(jù)折疊的規(guī)律，可證△ADE≌△AFE，從而

∠DAE=∠FAE=（90°-60°）÷2=15°.

二、利用折疊得到特殊三角形

例3在一節(jié)數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師要求小明不借助任何工具在正方形的紙片上折疊出一個(gè)等邊三角形.他折疊了一會(huì)兒，沒(méi)有成功.你能幫他想想辦法嗎？

解：如圖3，先把正方形紙片ABCD對(duì)折，再展開(kāi)，折痕為MN.然后把AD邊上的A點(diǎn)折疊到MN上的E點(diǎn)，折痕為DH.則△ADE即為等邊三角形.

由折疊我們可以知道，MN是AD的垂直平分線(xiàn).點(diǎn)E在MN上，則由△ADH≌△EDH，得DA=DE.又AE=DE，故△ADE為等邊三角形.

三、求線(xiàn)段的長(zhǎng)度

例4如圖4，等腰Rt△ABC中，∠C=90°.沿著B(niǎo)D把點(diǎn)C折疊到AB上的E點(diǎn).若△ADE的周長(zhǎng)為10 cm，求AB的長(zhǎng).

解：根據(jù)折疊的規(guī)律可知△BCD≌△BED，所以BC=BE，DC=DE，△ADE的周長(zhǎng)=DE+AD+AE=AC+AE=BC+AE=BE+AE=AB，所以AB=10 cm.

點(diǎn)評(píng)：利用對(duì)稱(chēng)轉(zhuǎn)移線(xiàn)段，把三角形的周長(zhǎng)放到一條直線(xiàn)上，是解這類(lèi)周長(zhǎng)、折疊結(jié)合問(wèn)題的常用方法.

四、畫(huà)出折痕

例5如圖5，△ABC中，∠ACB=90°.將△ABC沿著一條直線(xiàn)折疊后，使A點(diǎn)與C點(diǎn)重合，如圖6．

（1）請(qǐng)?jiān)趫D5中畫(huà)出折痕所在的直線(xiàn)l．設(shè)直線(xiàn)l與AB、AC分別相交于點(diǎn)D、E，連接CD．

（2）通過(guò)觀察、測(cè)量，請(qǐng)你找出完成題（1）后所得到的圖形中的等腰三角形．（不要求證明）

解：（1）折痕為AC的垂直平分線(xiàn).如圖7.

（2）等腰三角形為△ACD、△BCD（因∠B=∠DCB）.

點(diǎn)評(píng)：折疊、垂直平分線(xiàn)總是緊密聯(lián)系著的.

例6有一個(gè)矩形ABCD，AB=2.5，AD=1.5.將矩形折疊，使AD邊落在AB邊上，折痕為AE，再將△AED以DE為折痕向右折疊，AE與BC交于點(diǎn)F（如圖8）.則CF的長(zhǎng)為（）.

A. 0.5 B. 0.75C. 1D. 1.25

解：易知折疊后的∠DAE=45°.在最右邊的圖中，可計(jì)算出AB=2×1.5-2.5=0.5.從而B(niǎo)F=AB=0.5.故CF=AD-BF=1.5-0.5=1.選C.

點(diǎn)評(píng)：要能夠從圖形的兩次折疊中發(fā)現(xiàn)邊或角之間的關(guān)系，而從折疊出發(fā)得到∠DAE=45°是解題的關(guān)鍵.