探究求解策略　感悟數(shù)學(xué)思想

劉東升

數(shù)學(xué)思想和方法是數(shù)學(xué)的血液和精髓.它是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力武器，是進(jìn)行數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的工具，又是處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的指導(dǎo)思想和基本策略，是數(shù)學(xué)的靈魂．

本學(xué)期每章都滲透了相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想，下面我們精選一些典型問(wèn)題跟同學(xué)們就本學(xué)期常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想歸類(lèi)例析，希望對(duì)同學(xué)們期末復(fù)習(xí)有所幫助．

一、感受數(shù)形結(jié)合思想

例1（2008年·湘潭市）如圖1，將一副七巧板拼成一只小貓，則圖1中∠AOB=.

【思路探究與簡(jiǎn)解】由于所給的七巧板中三角形均為等腰直角三角形，故拼成的小貓中∠AOB=45°+45°=90°．

二、理解轉(zhuǎn)化思想

例2如圖2，一只螞蟻要從正方體的一個(gè)頂點(diǎn)A處沿表面爬行到頂點(diǎn)B處，怎樣爬行路線(xiàn)最短？如果要爬行到頂點(diǎn)C處呢？說(shuō)出你的理由．

【思路探究與簡(jiǎn)解】這只螞蟻要從正方體的一個(gè)頂點(diǎn)A處沿表面爬行到頂點(diǎn)B處，沿線(xiàn)段AB爬行的路線(xiàn)最短；如果要爬行到頂點(diǎn)C處，將正方體表面展開(kāi)，易知沿圖3所示的折線(xiàn)ADC爬行的路線(xiàn)最短．這兩個(gè)結(jié)論都是利用“兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短”的性質(zhì)得出的．

三、體會(huì)整體思想

A．18 B．12 C．9 D．7

【思路探究與簡(jiǎn)解】分析所給的條件，得到一個(gè)等式3x2-4x+6=9，表面上看這個(gè)代數(shù)式的值為9對(duì)我們解題毫無(wú)幫助，因?yàn)楦鶕?jù)我們目前掌握的知識(shí)無(wú)法求出x的值，進(jìn)而不能代入求x2-x+6的值了！難道本題沒(méi)法做了嗎？應(yīng)該不會(huì).再仔細(xì)觀(guān)察已知代數(shù)式與待求的代數(shù)式，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)它們是有關(guān)系的.原來(lái)已知代數(shù)式中有3x2-4x，而待求的代數(shù)式中有x23x2-4x），經(jīng)過(guò)這樣的變形后，我們只要根據(jù)已知條件求出3x2-4x這個(gè)整體的值為3，代入變形后的代數(shù)式（3x2-4x）+6，即可求出答案為7，故選D．

四、關(guān)注由特殊到一般的歸納思想

例4（2008年·哈爾濱市）觀(guān)察圖4中的圖形，它們是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，第20個(gè)圖形共有____個(gè)★．

【思路探究與簡(jiǎn)解】本題可以從三個(gè)方面觀(guān)察和思考，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律．

方法一：從圖形的變化角度可以發(fā)現(xiàn)，第1個(gè)圖形中共有3個(gè)★，第2個(gè)圖形比第1個(gè)圖形多3個(gè)★，第3個(gè)圖形比第2個(gè)圖形多3個(gè)★，依此類(lèi)推，第20個(gè)圖形比第1個(gè)圖形多3×（20-1）=57（個(gè)）★，所以第20個(gè)圖形中有57+3=60（個(gè)）★.

方法二：從圖形中蘊(yùn)涵的數(shù)字變化規(guī)律可以發(fā)現(xiàn)，第1個(gè)圖形中的★有3×1=3（個(gè)），第2個(gè)圖形中的★有3×2=6（個(gè)），第3個(gè)圖形中的★有3×3=9（個(gè)），依此類(lèi)推可得第20個(gè)圖形中的★有3×20=60（個(gè)）.

方法三：從圖形整體的變化角度可以發(fā)現(xiàn)，每個(gè)圖形實(shí)際上是一個(gè)三角形，每條邊上的★的個(gè)數(shù)相等，且均比序號(hào)多1，所以第20個(gè)圖形中共有（20+1）×3-3=60（個(gè)）★．

五、點(diǎn)撥分類(lèi)討論思想

例5（2007年·長(zhǎng)沙市）經(jīng)過(guò)任意三點(diǎn)中的兩點(diǎn)共可以畫(huà)出的直線(xiàn)是（ ）.

A．一條或三條 B．三條

C．兩條 D．一條

【思路探究與簡(jiǎn)解】解答這道題要分兩種情況考慮：一是這三點(diǎn)都在同一條直線(xiàn)上時(shí)，就只能畫(huà)出一條直線(xiàn)；二是這三點(diǎn)不在同一直線(xiàn)上時(shí)，此時(shí)共可以畫(huà)出三條直線(xiàn)．故選A．