李春來　羅曉曙

摘 要：針對變形耦合發(fā)電機混沌系統(tǒng)的結構特點，設計統(tǒng)一形式的非線性追蹤控制器。根據非線性系統(tǒng)的線性化穩(wěn)定理論，對系統(tǒng)同步誤差穩(wěn)定性進行分析和證明。這里所設計的控制器可以實現(xiàn)變形耦合發(fā)電機系統(tǒng)的狀態(tài)變量與任意給定參考信號的廣義同步。以追蹤常值信號、周期信號和混沌信號為例，進行數(shù)值仿真，進一步表明該控制方法的有效性。

關鍵詞：變形耦合發(fā)電機;追蹤控制;廣義同步;非線性控制器

中圖分類號：TP29;O415.5 文獻標識碼：B 文章編號：1004 373X(2009)02 068 03

Tracking Control of Modified Coupled Dynamos Chaotic System

LI Chunlai1,LUO Xiaoshu2

(1.Hunan Institute of Science and Technology,Yueyang,414000,China;2.College of Physics & Electronics Engineering,Guangxi Normal University,Guilin,541004,China)

Abstract：An uniform nonlinear tracing controller is designed aiming at the characteristics of modified coupled dynamos chaotic system structure.Andthe stability of the synchronous error according to the linearization－stability theory of nonlinear system is analysed and proved.The controlled system can track reference signals in arbitrary form.Constant signal,periodic signal and chaotic systems are taken as examples respectively.Numerical simulation shows the validity of the controller.

Keywords：modified coupled dynamos system;tracking control;generalized projective synchronization;nonlinear controller

0 引 言

混沌系統(tǒng)的控制和同步是當前自然科學基礎研究的熱門課題，它在通信、信息科學、醫(yī)學、生物、工程等領域得到了廣泛的應用，各種控制和同步方法也應運而生［1,2］。在混沌控制研究中，追蹤問題是研究的一個熱點。追蹤問題即通過施加控制使受控系統(tǒng)的輸出信號達到事先給定的參考信號，更具有一般性。特別是，如果追蹤的參考信號是由混沌系統(tǒng)產生的，這種追蹤控制便演化成為驅動系統(tǒng)和響應系統(tǒng)的同步，它包括自同步和異結構同步，這方面的工作已經有了許多研究［3－7］。電網之間的互聯(lián)是現(xiàn)代電力系統(tǒng)發(fā)展的必然趨勢，它將使電網的發(fā)電和輸電變得更經濟、更高效。與此同時，電力系統(tǒng)運行的穩(wěn)定性受到前所未有的挑戰(zhàn)。隨著分岔、混沌理論在電力系統(tǒng)非線性動力學行為研究中的應用，人們發(fā)現(xiàn)電力系統(tǒng)中除了低頻振蕩外，還存在混沌振蕩。這種振蕩不僅對系統(tǒng)的穩(wěn)定具有極強的破壞力，而且不能依靠附加傳統(tǒng)的勵磁控制器來抑制或消除。自20世紀90年代以來，國內外許多研究人員對電力系統(tǒng)的分岔、混沌振蕩產生機理進行了充分、有益的探討［8－11］，但對電力系統(tǒng)混沌控制方法的研究尚屬少見。在此針對變形耦合發(fā)電機混沌系統(tǒng)的結構特點，并基于非線性系統(tǒng)的線性化穩(wěn)定理論，設計了一個統(tǒng)一形式的非線性追蹤控制器，可以實現(xiàn)變形耦合發(fā)電機系統(tǒng)的狀態(tài)變量與任意給定參考信號的廣義同步。該控制器簡單、易于實現(xiàn)。

1 系統(tǒng)模型

耦合發(fā)電機系統(tǒng)由一個具有混沌特征的三維自治方程組來描述，它是由連接在一起的2臺發(fā)電機組成，其中任何一臺發(fā)電機都處于另一臺發(fā)電機產生的電流所形成的磁場之中。文獻［12］在基于耦合發(fā)電機系統(tǒng)的基礎上，給出了變形耦合發(fā)電機系統(tǒng)：

x·1=－ux1+x2(x3+a)

x2·=－ux2+x1(x3－a)

x·3=x3－x1x2(1)

式（1）中，u和a是正的控制參數(shù)，當u= 2和a=1時系統(tǒng)出現(xiàn)混沌行為。圖1所示為系統(tǒng)1的典型混沌吸引子。由圖可見，系統(tǒng)1的混沌吸引子除具有低維混沌吸引子的一般特點外，還具有其獨特之處；吸引子的二維投影具有更復雜的折疊和拉伸軌線。這說明系統(tǒng)1在局部上比低維混沌系統(tǒng)具有更強的不穩(wěn)定性。這使得對系統(tǒng)1的控制難度大大增加。

圖1 系統(tǒng)1的混沌吸引子

2 控制器的設計

對系統(tǒng)1施加控制，使系統(tǒng)的狀態(tài)變量x璱(i=1,2,3)追蹤給定參考信號，受控后的系統(tǒng)方程為：

x·1=－ux1+x2(x3+a)+u1

x2·=－ux2+x1(x3－a)+u2

x·3=x3－x1x2+u3 (2)

不論參考信號的形式如何，設計如下統(tǒng)一形式的控制器：

u1=1+ur1－ax2－x3r2

u2=2+ur2+ax1－x1r3

u3=3+r3－2x3+x1x2(3)

式中，r1,r2,r3為給定參考信號。

定理 對于受控系統(tǒng)2，當采用式(3)所示的控制器時，系統(tǒng)狀態(tài)變量x璱(i=1,2,3)可以追蹤任意連續(xù)可微的參考信號r璱(i=1,2,3)。

證明 設追蹤誤差變量為e璱=x璱－r璱（i=1,2,3），結合式(2)和式(3)，可得追蹤誤差系統(tǒng)為:

e·1=－ue1+x3e2

e·2=－ue2+x1e3

e·3=－e3(4)

式(4)的平衡點為(0，0，0)。由式（4）可知，誤差變量的零點即為誤差系統(tǒng)的平衡點。式(4)在平衡點處的Jacobian陣為:

J= －ux30

0－ux1

00－1(5)

特征方程為：(λ+u)(λ+u)(λ+1)=0，可解得矩陣J的特征根為λ1=－u，λ2=－u，λ3=－1，由于參數(shù)u為正，所以矩陣J的所有特征根均為負數(shù)。由非線性系統(tǒng)的線性化穩(wěn)定理論，誤差系統(tǒng)的零解漸近穩(wěn)定。即limt→∞|e璱|=0。

3 數(shù)值仿真

3.1 追蹤常值信號

系統(tǒng)1有5個平衡點，分別為S0(0,0,0)，S1(1.175 6,-1.902 1,-2.236 1)，S2(-1.175 6,1.902 1,-2.236 1)，S3,4(±1.902 1,±1.175 6,2.236 1)。取參考信號為系統(tǒng)平衡點S1，即r1=1.175 6，r2=－1.902 1，r3=－2.236 1。由式(3)得控制器為:

u1=1.175 6u－ax2+1.902 1x3

u2=－1.902 1u+ax1+2.236 1x1

u3=－2.236 1r3－2x3+x1x2

采用四階龍格庫塔法進行數(shù)值仿真，系統(tǒng)2的初值為(0.02，0.006，0.001)，仿真步長為0.01，仿真結果如圖2所示。由圖可知，系統(tǒng)變量x(t)經6 s后追蹤上給定的常值參考信號，廣義同步誤差穩(wěn)定在零值處。

圖2 追蹤常值信號仿真結果

3.2 追蹤周期信號

取參考信號為正弦周期信號r1=sin 4t，r2=cos 2t，r3=sin t，此時控制器為:

u1=4cos 4t+usin 4t－ax2－x3cos 2t

u2=－2sin 2t+ucos 2t+ax1－x1sin t

u3=cos t+sin t－2x3+x1x2

同樣采用四階龍格庫塔法進行數(shù)值仿真，系統(tǒng)2的初值為(0.02，0.006，0.001)，仿真步長為0.01，仿真結果如圖3所示。由圖可知，變量x1(t)，x2(t)和x3(t)在2 s前追蹤上參考信號，而廣義同步誤差e(t)穩(wěn)定在零值附近。

3.3 追蹤混沌信號

Lorenz系統(tǒng)是一個典型的混沌系統(tǒng)，其系統(tǒng)方程為：

1=－σ(y1－y2)

2=ry1－y2－y1y3

3=－by3+y1y2

當參數(shù)σ=10,r=28,b=8/3，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。取Lorenz系統(tǒng)的狀態(tài)變量為參考信號，即r1=y1，r2=y2，r3=y3時，控制器為：

u1=－σ(y1－y2)+uy1－ax2－x3y2

u2=ry1－y2－y1y3+uy2+ax1－x1y3

u3=－(b－1)y3+y1y2－2x3+x1x2

系統(tǒng)2的初值為(0.02，0.006，0.001)，Lorenz系統(tǒng)的初值為(0.2，0.07，0.1)，仿真步長為0.01，仿真結果如圖4所示。由圖可知，變量x1(t)，x2(t)和x3(t)在7 s前追蹤上參考信號，廣義同步誤差e(t)穩(wěn)定在零值處。

圖3 追蹤周期信號仿真結果

4 結 語

針對變形耦合發(fā)電機混沌系統(tǒng)的結構特點，并基于非線性系統(tǒng)的線性化穩(wěn)定理論，設計了一個統(tǒng)一形式的非線性追蹤控制器。該控制器可以實現(xiàn)變形耦合發(fā)電機系統(tǒng)的狀態(tài)變量與任意給定參考信號的廣義同步，分別以常值信號，周期信號和混沌信號為參考信息進行了數(shù)值仿真，仿真結果與理論分析一致。設計的控制器使用范圍很廣，在控制混沌和利用混沌系統(tǒng)進行數(shù)字保密通信方面有很廣的應用前景。

圖4 追蹤混沌信號仿真結果

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作者簡介 李春來 男，1976年出生，湖南平江人，湖南理工學院講師，碩士。研究方向為非線性動力學。

羅曉曙 男，1961年出生，湖北應城人，廣西師范大學教授，博士，碩士生導師。