“不要讀這一頁上的任何文字”

上帝是萬能的嗎?如果是,那么請問,上帝能造出一塊連他自己也舉不起來的大石頭嗎?Yes or no? 這是一個典型的悖論。悖論包括一切與人的直覺或日常經(jīng)驗相矛盾的結(jié)論,那些結(jié)論會使我們驚異無比,或者陷入無休止的循環(huán)論證。

看看下面這些經(jīng)典的悖論,你就能初步領(lǐng)略到悖論的魔力。

雞蛋悖論——世界上是先有雞還是先有蛋?

二分法悖論——一位旅行者趕往一個目的地。他必須先走完一半的距離,然后走剩下距離的一半,接著再走剩下距離的一半……永遠有剩下距離的一半要走,因而這位旅行者將永遠也到不了目的地!

埃普門尼德悖論——埃普門尼德是克里特島人,他說:“所有的克里特島人都是說謊者?！?/p>

理發(fā)師悖論——一個村莊里只有一位理發(fā)師,他只為所有不自己動手理發(fā)的人理發(fā)。試問,理發(fā)師自己的頭發(fā)要由誰來理?

奧斯卡·王爾德悖論——“第一:我永遠是對的;第二:如果我錯了,請參見第一條?！?/p>

矛盾悖論——《韓非子》中有一則著名的寓言:“楚人有鬻盾與矛者,譽之曰:‘吾盾之堅,物莫能陷也。又譽其矛曰:‘吾矛之利,于物無不陷也?；蛟?‘以子之矛陷子之盾,何如?其人弗能應(yīng)也?！?

悖論看似荒誕,卻為邏輯思想的發(fā)展提供了動力。在數(shù)學(xué)史上,數(shù)學(xué)悖論曾導(dǎo)致了三次數(shù)學(xué)危機,有興趣的同學(xué)可以自行查閱相關(guān)資料。

說到這里,親愛的讀者,還記得本文的標(biāo)題嗎?請誠實地回答:這個要求,你做到了嗎?

反雪花曲線

上一期的雜志中我們介紹了奇妙的雪花曲線,它最大的特點就是能夠在有限的面積里擁有無限的周長。如果我們把畫雪花曲線的方向反過來又會出現(xiàn)怎樣的情形呢?即在每一步中我們不是向外畫而是向內(nèi)畫小等邊三角形(如圖1所示),同時把新三角形的底線(即原邊的三等分中段)擦掉。

我們可以看到經(jīng)過一次步驟得到的是匯集于一點的三個菱形(圖1中的乙),有點像螺旋槳的葉片。把這個過程無限繼續(xù)下去,我們會發(fā)現(xiàn)所構(gòu)造出的反雪花曲線長度也是無限的,同時它始終在一個有限的區(qū)域里,即面積是有限的。