張勇赴

數(shù)學概念是一類對象空間形式或數(shù)量關系方面本質屬性的反映,是構建數(shù)學理論大廈的基石,是導出數(shù)學定理和數(shù)學法則的邏輯基礎,是提高解題能力的前提,是數(shù)學學科的靈魂和精髓.高中數(shù)學課程標準指出:“高中數(shù)學課程應該返璞歸真,努力揭示數(shù)學概念、法則、結論的發(fā)展過程和本質。數(shù)學課程要講邏輯推理,更要講道理,通過典型例子的分析和學生自主探索活動,使學生理解數(shù)學概念?結論逐步形成的過程,體會蘊涵在其中的思想方法,追尋數(shù)學發(fā)展的歷史足跡,把數(shù)學的學術形態(tài)轉化為學生易于接受的教育形態(tài)”。

實際教學過程中,許多教師都存在“重解題技巧教學。輕數(shù)學概念教學”的傾向,一些教師刻意追求概念教學的“最小化”與習題教學的“最大化”,并美其名曰“大容量、快節(jié)奏”。實際上這是一種應試教育思想指導下典型的舍本逐末的錯誤做法,致使學生在沒有理解數(shù)學概念的情況下,無法形成能力,只會盲目模仿老師對某些典型題的特定解法;一旦碰到新穎的題目就束手無策。在教學實踐中,筆者深切感受到:必須加強概念教學,唯有如此才可以夯實數(shù)學基礎,提高學生的解題能力,培養(yǎng)學生的邏輯思維能力,這是當前提高高中數(shù)學教學質量的“治本”之策。以下結合實踐談談概念教學的一些具體做法與體會。

一、從具體而直觀的實例中認識概念

數(shù)學概念的引入,應從實際出發(fā),創(chuàng)設情景,提出問題。通過與概念有明顯聯(lián)系、直觀性強的例子,學生在對具體問題的體驗中感知概念,形成感性認識。通過對一定數(shù)量感性材料的觀察、分析,提煉出感性材料的本質屬性。如在“異面直線”概念的教學中,教師應先展示概念產(chǎn)生的背景,如長方體模型和圖形,當學生找出兩條既不平行又不相交的直線時,教師告訴學生像這樣的兩條直線就叫做異面直線,接著提出“什么是異面直線”的問題,讓學生相互討論,嘗試敘述,經(jīng)過反復修改補充后,給出簡明、準確、嚴謹?shù)亩x:“我們把不在任何一個平面上的兩條直線叫做異面直線”。在此基礎上,再讓學生找出教室或長方體中的異面直線,最后以平面作襯托畫出異面直線的圖形。學生經(jīng)過以上過程對異面直線的概念有了明確的認識,同時也經(jīng)歷了概念發(fā)生發(fā)展過程的體驗。

二、在尋找新舊概念間聯(lián)系的基礎上講清概念

數(shù)學概念具有很強的邏輯系統(tǒng)性,多數(shù)數(shù)學概念都是在原始概念的基礎上形成的。比如“單調遞增函數(shù)”的概念就是建立在“函數(shù)”、“區(qū)間”、“自變量”、“函數(shù)值”、“不等式”等一系列原有概念的基礎上,并加以邏輯推理而形成的。又如三角函數(shù)的定義,經(jīng)歷了以下三個循序漸進、不斷深化的過程:(1)用直角三角形邊長的比刻畫的銳角三角函數(shù)的定義;(2)用點的坐標表示的銳角三角函數(shù)的定義;(3)任意角的三角函數(shù)的定義。由此概念衍生出:(1)三角函數(shù)的值在各個象限的符號;(2)三角函數(shù)線;(3)同角三角函數(shù)的基本關系式;(4)三角函數(shù)的圖象與性質;(5)三角函數(shù)的誘導公式等?？梢?三角函數(shù)的定義在三角函數(shù)教學中可謂重中之重,是整個三角部分的奠基石,它貫穿于與三角有關的各部分內容并起著關鍵作用。

如果學生對原始概念不清,新舊概念之間的聯(lián)系不明,對新概念的學習就會產(chǎn)生困難。另一方面,學生“獲得知識,如果沒有完滿的結構把它們聯(lián)系在一起,那將是一種多半會被遺忘的知識”。因此在教學中應首先講清相關概念,講明概念之間的聯(lián)系,幫助學生了解概念的體系。

三、從關鍵字、詞入手理解概念

一般來說,數(shù)學中的每一概念在下定義時,總是用最簡潔的語言、符號表述,給出概念后,應多角度、多層次地剖析概念,才有利于深刻地理解概念。通常應從以下三個方面進行“逐字逐句”地推敲:(1)找出概念中的“中心詞”,并分層確定“限定語”。以“直線的傾斜角”的定義為例,其“中心詞”顯然是“直線與x軸所成的角”,但對此有幾種限定:一是“直線向上的方向”,“x軸正向”;二是“最小正角”;三是補充規(guī)定:“當直線與x軸平行或重合時,傾斜角為0”。(2)特別注意分析概念中對范圍的約束。如“橢圓定義”中,要求“定值”必須大于“兩定點之間的距離”。(3)教學中要常常引導學生反問,如“橢圓定義”教學中,反問“若2a≤|F_{1F2|,動點軌跡會是什么樣的呢?”通過分析得:當2a=|F1F2|時,動點P的軌跡是線段F1F2,當2a<|F1F2|時,平面上不存在這樣的點。}

四、在實際應用中鞏固概念

學習數(shù)學概念是為了應用概念解決實際問題,概念的實際應用反過來也可以促進學生對數(shù)學概念的學習。通過數(shù)學概念的實際應用,可以幫助學生及時鞏固對數(shù)學概念的理解,培養(yǎng)學生重視概念學習的習慣,提高學生分析理解新概念,應用新概念解決實際問題的能力。如,當我們學習完“向量的坐標”這一概念之后,進行向量的坐標運算,提出問題:已知平行四邊形的三個頂點A、B、C的坐標,試求頂點D的坐標。學生展開充分的討論,不少學生運用平面解析幾何中學過的知識(如兩點間的距離公式、斜率、直線方程、中點坐標公式等),結合平行四邊形的性質,提出了各種不同的解法。有的學生應用共線向量的概念給出了解法;還有一些學生運用所學過向量坐標的概念,把點A、C的坐標和向量D聯(lián)系起來,巧妙地解答了這一問題。學生通過對問題的思考,盡快地投入到新概念的探索中去,從而激發(fā)了學生的好奇以及探索和創(chuàng)造的欲望,使學生在參與的過程中產(chǎn)生內心的體驗和創(chuàng)造。

除此之外,教師通過反例、錯解等進行辨析,也有利于學生鞏固概念。如奇(偶)函數(shù)是函數(shù)中重要的概念,課本中的定義正確簡練,但是在新授或高三復習時,發(fā)現(xiàn)有些學生對奇(偶)函數(shù)的內涵及判斷方法沒有完整領會,直接影響解題的正確率。原因之一是定義中由于沒有突出函數(shù)的定義域在研究函數(shù)的奇偶性中的作用,因而容易給人造成錯覺,以為只要形式上有f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x),f(x)就是奇函數(shù)或偶函數(shù)了。這時可以舉例,判斷函數(shù)f(x)=x^{2,x∈(0,2)的奇偶性,使學生進一步理解函數(shù)的定義域在判斷函數(shù)奇偶性中作用。}

總之,在概念教學中,要根據(jù)課標對概念教學的具體要求及有關概念的自身特點,靈活選用適當?shù)慕虒W方法,優(yōu)化教學過程,使學生深刻理解和牢固掌握相應概念,同時也是提高教學效率,減輕師生負擔,提高教學質量的有效途徑。