方代正 ， 王貴成

（1. 江蘇大學機械工程學院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013； 2. 安徽理工大學機械工程學院，安徽 淮南 232001）

弧面凸輪分度機構可由一個凸輪機構實現(xiàn)簡單的間歇運動，也可將兩種以上凸輪組合起來，實現(xiàn)許多復雜形式的轉動或移動。它具有高速、重載、高精度、長壽命、高效率、結構緊湊、傳動平穩(wěn)，傳遞轉矩大，動力特性好等優(yōu)點，被廣泛應用在食品、印染、印刷、包裝、沖壓、電子和機器人等機械中。目前對圓柱滾子和圓錐滾子的弧面凸輪分度機構研究較多，但以鋼球作為滾子的研究不常見，筆者將D-H 坐標系引入該機構，建立其數(shù)學模型，然后用Pro/E 進行三維造型，為以后進行加工、分析、仿真作好準備。

1 基于D-H 坐標建立嚙合方程

1.1 機構工作原理

鋼球滾子弧面凸輪分度機構的結構如圖1 所示，由凸輪軸，分度盤，鋼球，機座，環(huán)形軌道等組成。以凸輪軸為主動輸入，凸輪軸與裝在從動盤上的鋼球相嚙合，當凸輪軸轉動時，便推動鋼球滾動，從而帶動從動盤轉動[1-3]。

圖1 弧面凸輪鋼球式分度機構原理圖

1.2 D-H 坐標系簡介

D-H 坐標系由Denavit 和Hatenberg 提出，通常用來描述機械手的慣用坐標。D-H 坐標系規(guī)定： 在機械手的各個主要構件上固定有坐標系。坐標系的Z 軸可取得與運動副的軸線重合，X 軸則沿著相鄰兩個Z 軸的公垂線，而Y 軸可由右手笛卡爾法則來確定。

Denavit 和Hatenberg 提出的機器人相鄰連桿間的位姿坐標轉換關系為

其中 C、S 分別表示cos、sin。1nα?為從 1nz?到zn繞 xn?1旋轉的角度；dn為從 xn?1到 xn沿 zn方向的距離；nθ 為從 1nx?到nx 繞nz 旋轉的角度；αn?1為從 zn?1到 zn沿 xn?1方向的距離；將第n 關 節(jié)前的坐標轉換式相乘得到第n 關節(jié)相對于基礎坐標系的轉換式

1.3 根據(jù)D-H法弧面分度凸輪輪廓和嚙合方程的建立

根據(jù)D-H 法可以建立弧面分度凸輪機構的坐標系如圖2 所示，各參數(shù)意義說明如下[4-6]：

圖2 D－H 坐標系的建立

?f,ψf：球形滾子的工作曲面參數(shù)； lf：從動件的回轉半徑；

θ1、 θ2：分別為凸輪和從動件所對應的轉角；12,ω ω ：分別是凸輪和從動件相應的角速度。

根據(jù)圖中對應的關系，易知球形滾子在從動件坐標系中的向量表達式為

根據(jù)上圖所建立的弧面凸輪分度機構的坐標體系，容易求得4 個坐標系之間的相互變化矩陣，各齊次變換矩陣分別為式（4）～式（6）

將從動件坐標系中球形滾子的向量表達式通過坐標變換轉換到凸輪坐標系中，實際上得到弧面凸輪分度機構的曲面方程

其中

表達式中的滾子曲面參數(shù) ?f,ψf可以通過空間 嚙合條件進行求解。

1.4 共軛接觸方程

根據(jù)空間嚙合條件式

將有關表達式代入式（9），計算并化簡得到

基于微分幾何的相關理論，與嚙合點的切平面垂直的矢量稱為曲面在嚙合點的單位法向矢量，有

將式(10)和式(12)代入式(8)并整理得到

聯(lián)立式(7)和式(13)就可求解出空間凸輪嚙合接觸線的方程。

2 弧面凸輪的建模

現(xiàn)在三維造型軟件比較多，造型方法各異，常用的造型軟件有Pro/E 、UG、SolidWork等，即使同一種軟件造型過程不同其難易程度和精度也不一樣。弧面分度凸輪的工作廓面是空間不可展曲面，其設計與制造都比較困難，因此，如果能在加工之前應用軟件將弧面分度凸輪的三維模型制作出來，對其進行仿真分析等，就可以驗證設計過程是否正確，一旦設計有誤可以提前及時修改[7-10]。

已知實際條件：凸輪轉速n＝150r/min，連續(xù)旋轉，從動盤上均布有8個滾子，中心距C=80mm，該弧面凸輪的運動規(guī)律采用的是修正正弦曲線。

通?；赑ro/E 利用文件生成高級曲面來創(chuàng)建弧面分度凸輪的三維模型采用以下兩種方法：

方法一：利用文件創(chuàng)建弧面分度凸輪曲面。根據(jù)弧面凸輪接觸方程和分度機構的相關參數(shù)利用計算機語言自動計算出凸輪輪廓表面一系列的坐標數(shù)據(jù)，再導入文本文件，通過文本文件的數(shù)據(jù)點來建立弧面凸輪的曲面。

方法二：利用方程創(chuàng)建弧面分度凸輪曲面。根據(jù)凸輪曲線的運動規(guī)律，隨參數(shù)的取值大小不同，在各段生成符合要求的一組曲線，將各段的曲線依次混合成曲面，再將各個曲面合并成一個曲面，最后將曲面實體化，生成所需要的弧面凸輪[8]。

以上兩種方法雖然能最終生成弧面凸輪實體，但計算工作量都比較大，而且最后精度與計算過程中所取的步長直接有關。眾所周知，弧面凸輪的滾子形式常見的有圓柱滾子、圓錐滾子，鼓形滾子，球形滾子等，不論是哪種形式的滾子，都具有一個對稱面，在運動過程中可看成始終沿著對稱面上的一條線進行移動，而球形滾子更為特殊，這條線就是經(jīng)過球心的中心線。在造型過程中充分利用這一特征可以使弧面凸輪的造型變得十分簡便，而且精度高，其精度是有軟件自身運行精度所決定，不受人為所取步長的大小影響。具體操作步驟如下：

（1） 生成凸輪基體 由已知數(shù)據(jù)，可先計算出凸輪的基圓半徑和凸輪的寬度，利用旋轉工具生成凸輪基體，見圖3所示。

圖 3 凸輪基體

（2） 生成中心軌跡線 由于滾子形式是鋼球，其運動軌跡是半圓形環(huán)狀包絡線。通常情況下，隨著球的幾何參數(shù)取值不同，可形成一組曲線，然后由曲線混合成曲面。但也可以先生成中心線軌跡，利用混合掃描，沿著中心線軌跡也可以生成弧面凸輪。圓上任意相隔180°的兩點關于圓心是對稱的，因此，在選取球的角度參數(shù)時，任取相隔180°的角度參數(shù)生成關于中心線對稱的兩條線，而取平均值就會生成中心線軌跡。在生成過程中，中心線軌跡是分段曲線，可以逐段混合掃描去除材料，也可以將分段的中心線合并成一條曲線，最后再掃描，但這時會占用大量計算機內存，運行時間較長。見圖4所示。

圖 4 滾子中心線軌跡

（3） 利用混合掃描工具 繪制半圓形的截面，沿中心線軌跡切除材料，就可生成弧面凸輪輪廓面的三維模型，見圖5所示。

圖 5 沿中心線軌跡的混合掃描圖

（4） 對一些棱邊進行倒角或倒圓處理 最終生成的弧面凸輪實體如圖6所示。

圖 6 弧面凸輪的三維模型

3 結 論

（1） 建立弧面凸輪分度機構的數(shù)學模型的方法有多種，但復雜程度不一樣，文中利用D-H坐標系來建立球形滾子弧面凸輪分度機構的數(shù)學模型，這與筆者之前采用的回轉張量法等其它方法得到的結果是一致的，但D-H 方法顯得更簡單明了，減少了計算工作量。

（2） 在造型過程中要根據(jù)球形滾子的幾何特征，利用沿中心軌跡線混合掃描來生成弧面凸輪，比采用其它方法要簡便得多，而且更精確、快速，從而為下一步利用數(shù)控加工進行編程、對機構進行動力學分析和運動仿真奠定基礎，以便判斷所設計的機構的合理性。對其它形式的滾子，也可以采用類似的方法進行造型。

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