杜 磊

(山西大學(xué)物理電子工程學(xué)院,山西太原 030006)

應(yīng)用克蘭克-尼克爾森法求解對(duì)稱勢(shì)阱中的 BECs波函數(shù)

杜 磊

(山西大學(xué)物理電子工程學(xué)院,山西太原 030006)

通過相互作用玻色子的二次量子化哈密頓量得出 G-P方程,說明計(jì)算雙阱中 BECs波函數(shù)的重要性,最后應(yīng)用克蘭克-尼克爾森法數(shù)值計(jì)算得出任意一維對(duì)稱雙阱中左右阱的BECs的波函數(shù).

克蘭克-尼克爾森法;G-P方程;對(duì)稱雙阱;動(dòng)力學(xué)方程

0 引言

近年來,處于兩空間分離的弱耦合玻色-愛因斯坦凝聚體 (BECs)之間的宏觀量子特性成為研究熱點(diǎn).對(duì)于兩空間分離的弱耦合 BECs,囚禁其雙勢(shì)阱對(duì)該凝聚體的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)有很大的影響,在不同的雙勢(shì)阱中BECs的動(dòng)力學(xué)特性會(huì)有很大的差異,該特點(diǎn)對(duì)我們研究BECs將會(huì)有極大的幫助.同時(shí),理論與實(shí)驗(yàn)對(duì)各種雙勢(shì)阱中 BECs動(dòng)力學(xué)性質(zhì)的研究也是近年來 BEC領(lǐng)域中的熱點(diǎn)之一[1-3].

在研究不同的雙勢(shì)阱中BECs動(dòng)力學(xué)性質(zhì)時(shí),很重要的一點(diǎn)是必須得到左右兩個(gè)阱中的凝聚體波函數(shù).一般情況下,該波函數(shù)需用數(shù)值方法才能計(jì)算出來,特別是當(dāng)勢(shì)阱形狀要任意改變時(shí).本文主要介紹了一套數(shù)值方法以研究對(duì)稱勢(shì)阱中BECs的波函數(shù).

1 對(duì)稱勢(shì)阱中弱耦合玻色-愛因斯坦凝聚體的動(dòng)力學(xué)方程

其中,^ψ+(r)和^ψ(r)分別是在r點(diǎn)玻色子場(chǎng)的湮滅和產(chǎn)生算符,U(r-r′)是兩個(gè)玻色子間的相互作用勢(shì).

當(dāng)弱相互作用的玻色氣體為非均勻凝聚體時(shí),即在有外場(chǎng)的作用下,使得凝聚體的性質(zhì),如臨界溫度、凝聚粒子數(shù)比率以及玻色氣體熱容量等等,都依賴于囚禁勢(shì)的形狀.此時(shí),玻色子的場(chǎng)算符變?yōu)?Ψ(r)+.此處,Ψ(r)=＞,即Ψ(r)是玻色子場(chǎng)算符在系綜水平上的統(tǒng)計(jì)平均值,通常稱之為凝聚體的波函數(shù).而是非凝聚體各態(tài)的場(chǎng)算符,一般在凝聚體的耗散很小時(shí)它是一個(gè)小量,滿足＜＞=0.在稀化的玻色氣體中,原子間的相互作用一般都較弱,所以我們可以使用一個(gè)簡(jiǎn)單的近似來簡(jiǎn)化原子間的相互作用勢(shì):其中m是玻色子的質(zhì)量,a為s波散射長(zhǎng)度,用δ(r)表征玻色子之間的相互作用是接觸碰撞相互作用.將玻色子的場(chǎng)算符和相互作用玻色子的二次量子化的 Hamilton量式代入到海森堡方程,并將簡(jiǎn)化后的原子間的相互作用勢(shì)代入,定義并在計(jì)算過程中考慮玻色-愛因斯坦凝聚體的特性[5],得:此即 G-P方程.

考慮置于對(duì)稱勢(shì)阱中的BECs[6-8],其波函數(shù)形式可通過求解含時(shí) G-P方程(2)得到,我們尋找如下形式的解:

2 克蘭克-尼克爾森法

由 John Crank和 Phyllis Nicholson發(fā)明的隱式差分格式[9]是基于求解網(wǎng)格中在行之間的點(diǎn)(x,t+k/2)處的拋物型方程

根據(jù)初始條件及邊界條件,式(11)中右邊的項(xiàng)都是已知的,因此可以將其化為三角形線性方程組 AX=B的形式,這樣我們就可以通過迭代的方法求得(7)的數(shù)值解.

3 對(duì)稱雙阱中波函數(shù)的數(shù)值求解

對(duì) G-P方程(2),考慮一維情況,并將其無量綱化和引入虛時(shí)間τ=it,可簡(jiǎn)化為[10]:

其中Vext為有效勢(shì),g1d描述玻色子間的相互作用強(qiáng)度.

由(4)我們知道,對(duì)稱勢(shì)阱中的玻色-愛因斯坦凝聚體,其基態(tài)及激發(fā)態(tài)波函數(shù)對(duì)應(yīng)Φ+和Φ-,且Φ+、Φ-分別具有對(duì)稱性和反對(duì)稱性.因此若初始的試探波函數(shù)為偶函數(shù),則可以通過上述方法求得Φ+,反之試探波函數(shù)取奇函數(shù)可求得Φ-.這樣通過式(14)就可求得局域于勢(shì)阱i(i=1,2)的波函數(shù)Φi(r).

圖 1 對(duì)稱勢(shì)阱中 BECs波函數(shù)Fig.1 W ave Function of BECs in 1D Symmetry Trap

總之,我們從最基本的相互作用玻色子二次量子化哈密頓量出發(fā)得出 G-P方程,再通過推導(dǎo)了兩空間分離弱耦合 BECs動(dòng)力學(xué)方程說明了計(jì)算雙阱中 BECs波函數(shù)的重要性,最后介紹了應(yīng)用克蘭克-尼克爾森方法通過數(shù)值計(jì)算得出任意對(duì)稱雙阱左右阱中 BECs的波函數(shù).這一套完整的方法可以用來研究任意對(duì)稱勢(shì)阱中BECs的波函數(shù)及其動(dòng)力學(xué)性質(zhì),大量工作表明不同的對(duì)稱勢(shì)阱對(duì)其中 BECs動(dòng)力學(xué)特性影響非常大,該特點(diǎn)為我們加深對(duì)BECs的認(rèn)識(shí)會(huì)提供極大的幫助.

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Apply Crack-Nicholson Method to Resolve GP Equation and Get the Wave function of Bose Einstein Condensates in Symmetry Trap

DU Lei
(School College of Physics and Electronic Engineering Shanxi University,Taiyuan030006,China)

We use the Hamiltonian of the quadratic quantization between the interacting bosons to obtain the G-P equation,based on which the new dynamic equation about two weak coup ling BECs(Bose Einstein Condensates)with space separated is derived.Moreover,we calculate the wave functions of the left and right well respective in arbitrary 1D symmetric dual wells with C rack-Nicholson method.

Crack-Nicholson Method;G-P Equation;symmetry dual trap;dynamics equation

文章編號(hào)：0253-2395(2010)04-0577-05

O469

A

0253-2395(2010)04-0547-04

2010-04-28;

2010-07-11

山西省研究生優(yōu)秀創(chuàng)新項(xiàng)目 (20093004)

杜 磊 (1981-),男,山西婁煩人,講師,在讀博士,主要從事凝聚態(tài)物理研究.E-m ail:dulei@sxu.edu.cn

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