用整體法求解漂浮型問(wèn)題*

邵建新 張子英 曹海賓 劉云虎 林春艷 唐光輝

(石河子大學(xué)師范學(xué)院 新疆 石河子 832003)

浮力是流體靜力學(xué)中應(yīng)用性較強(qiáng)的基礎(chǔ)知識(shí)之一，也是在力、二力的合成、二力平衡、同一直線上力的合成及平衡、密度和液體內(nèi)部壓強(qiáng)等知識(shí)的綜合學(xué)習(xí)內(nèi)容，因而成為教學(xué)和考試的重點(diǎn)；由于其綜合性，又使其成為教學(xué)的難點(diǎn)．浮力中有關(guān)“漂浮型”問(wèn)題求解，則是難中之難，不少教師對(duì)此提出過(guò)一些求解方法，但我們覺(jué)得都過(guò)于繁難不便學(xué)生掌握．經(jīng)過(guò)仔細(xì)研究，我們發(fā)現(xiàn)，常見的“漂浮型”問(wèn)題，可用“整體法”統(tǒng)一求解．下面我們以常見問(wèn)題求解為例說(shuō)明之．

1 一些典型問(wèn)題的分析

問(wèn)題1：如圖1(a),裝有鐵塊的燒杯漂浮在小水池水面上，若將燒杯中的鐵塊取出并投入小水池中，如圖1(b).問(wèn)小水池水面的高度如何變化？

圖1

解析: 若將鐵塊和燒杯分別進(jìn)行研究，求解繁難.一方面，鐵塊投入小水池中后，占據(jù)一定體積，使水面上升；另一方面，由于燒杯中鐵塊的取出，燒杯的排水量減少，使水面下降 ．要綜合分析兩種因素誰(shuí)占上風(fēng)，實(shí)屬不易．但如果鐵塊投入小水池前后，始終把燒杯和鐵塊當(dāng)作一個(gè)整體作為研究對(duì)象，則問(wèn)題會(huì)明了得多．設(shè)燒杯和鐵塊的重量分別G杯、G鐵，鐵塊投入小水池前后，燒杯和鐵塊這個(gè)整體排開水的體積分別為V前、V后，要知道水面是否變化，只要比較V前、V后的大小即可．

下面分析鐵塊投入小水池前后研究對(duì)象的受力情況及其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)．

鐵塊投入小水池前，研究對(duì)象的受力情況為，豎直向下的重力G杯、G鐵，豎直向上的浮力ρ水gV前；研究對(duì)象的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為靜止(平衡態(tài))．故知研究對(duì)象受到的豎直向下的力等于豎直向上的力，即

G杯+G鐵=ρ水gV前

(1)

鐵塊投入小水池后，研究對(duì)象的受力情況為，豎直向下的重力G杯、G鐵，豎直向上的浮力ρ水gV后及池底對(duì)鐵塊的支持力N；研究對(duì)象的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為靜止(平衡態(tài))．故知研究對(duì)象受到的豎直向下的力等于豎直向上的力，即

G杯+G鐵=ρ水gV后+N

(2)

因N≠0

(3)

由(1)、(2)、(3)式可知

ρ水gV后<ρ水gV前

即

V后

即池中水面下降.

由以上解析可以看出,求解這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵在于將燒杯和鐵塊作為一個(gè)整體,分析兩者分離前后整體的受力情況,然后根據(jù)這個(gè)整體分離前后均處于平衡態(tài)得到兩個(gè)平衡方程,最后再根據(jù)所給其他條件使問(wèn)題得到解決．

問(wèn)題2：漂浮在小水池中的小船下，懸吊著重物P．若把懸吊重物的繩子剪斷，重物P將沉入水底，這時(shí)水面將________；若把重物從水中拉上來(lái)，放到船艙內(nèi)，這時(shí)的水面與重物吊在船下時(shí)的水面相比將________(填“上升”、“下降”、“不變”)．

圖2

解析: 三種情況如圖2(a)、(b)、(c)所示．選船和重物P這個(gè)整體作為研究對(duì)象．設(shè)圖(a)、(b)、(c)三種情況下船和重物P排開水的體積分別為Va、Vb、Vc，船的重量為G1，重物的重量為G2.

對(duì)圖2(a)狀態(tài)有

G1+G2=ρ水gVa

(4)

對(duì)圖2(b)狀態(tài)有

G1+G2=ρ水gVb+N

(5)

N≠0

(6)

對(duì)圖2(c)狀態(tài)有

G1+G2=ρ水gVc

(7)

由(4)、(5)、(6)式可得

ρ水gVb<ρ水gVa

所以

Vb

即池中水面下降.

由(4)、(7)式可得

ρ水gVa=ρ水gVc

故

Vc=Va

即池中水面不變．

問(wèn)題3：如圖3(a)所示，把質(zhì)量為m′的鐵塊放在木塊上面，剛好把木塊淹沒(méi)在水中.如果把質(zhì)量為m的鐵塊系在木塊下面，也剛好把木塊淹沒(méi)在水中，如圖3(b)所示.求m′與m的比值．

圖3

解析: 將木塊和鐵塊看成整體作為研究對(duì)象．設(shè)木塊的體積為V．

對(duì)圖3(a)有

m′g+ρ木gV=ρ水gV

(8)

對(duì)圖3(b)有

mg+ρ木gV=ρ水gV+ρ水gVm

(9)

式中Vm為鐵塊m的體積.

(10)

由(8)、(9)、(10)式可得

問(wèn)題4：如圖4(a)所示,盛有水的容器中,水面上浮著一塊冰．當(dāng)冰完全融化后，容器中的水面是否變化？怎樣變化？

解析: 這也是一道很流行的題目．通常的解法是先選冰為研究對(duì)象，根據(jù)它是漂浮狀態(tài)及阿基米德原理求出冰塊排開水的體積V2,再求出冰塊完全融化后所占的體積V2＇，如圖4(b).由此比較可得出

V2＇=V2，即水面位置不變，但推理過(guò)程較復(fù)雜．若用整體法求解，設(shè)冰塊在水中的體積為V2,露出水面的體積為V1，冰塊及冰塊融化為水后的重量分別為G冰、G水．選整個(gè)冰塊為研究對(duì)象.對(duì)圖4(a)有

圖4

G冰=ρ水gV2

(11)

選冰塊融化成的水為研究對(duì)象.對(duì)圖4(b)有

G水=ρ水gV2＇

(12)

注意到冰塊融化為水后,重量不變，故有

G冰=G水

(13)

由(11)、(12)、(13)式 可得

V2＇=V2

即水面位置不變.

問(wèn)題5：在問(wèn)題4中，若冰塊中有一木塊，如圖5(a)所示.當(dāng)冰塊完全融化為水后，容器中的水面是否變化？怎樣變化？

解析：將冰塊和木塊看成一整體作為研究對(duì)象．設(shè)冰塊融化前整體排開水的體積為Va,冰塊完全融化為水后整體排開水的體積為Vb，(包括冰塊完全融化為水后的體積和木塊排開水的體積之和),如圖5(b)所示.

圖5

對(duì)圖5(a)有

G冰+G木=ρ水gVa

(14)

對(duì)圖5(b)有

G水+G木=ρ水gVb

(15)

注意到冰塊融化為水后,重量不變，故有

G冰=G水

(16)

由(14)、(15)、(16)式可得

Vb=Va

即水面位置不變.

問(wèn)題6：在問(wèn)題4中，若冰塊中有一鐵塊，如圖6(a)所示.當(dāng)冰塊完全融化為水后，容器中的水面是否變化？怎樣變化？

解析: 將冰塊和鐵塊看成一整體作為研究對(duì)象．設(shè)冰塊融化前整體排開水的體積為Va；冰塊完全融化為水后整體排開水的體積為Vb(包括冰塊完全融化為水后的體積和鐵塊排開水的體積之和),如圖6(b)所示.

圖6

對(duì)圖6(a)有

G冰+G鐵=ρ水gVa

(17)

對(duì)圖6(b)有

G水+G鐵=ρ水gVb+N

(18)

注意到冰塊融化為水后,重量不變，有

G冰=G水

(19)

又容器底部對(duì)鐵塊的支持力不為零，即

N≠0

(20)

由(17)、(18)、(19)、(20) 式可得

Vb

可知水面位置下降．

請(qǐng)思考，問(wèn)題5和問(wèn)題6的結(jié)論與木塊或鐵塊在冰塊中的位置有無(wú)關(guān)系？

以上例題涉及到的均是整體的重力不發(fā)生變化的情形.若整體的重力發(fā)生變化，仍可用整體法求解．

問(wèn)題7：一木塊浮在水面上，露出水面的體積是V1；把它露出水面的部分截去，原水下部分又有體積V2露出水面．求這塊木塊的密度．

圖7

解析: 選木塊整體作為研究對(duì)象．依題意作出 圖7(a)、圖7(b) ，因在兩狀態(tài)時(shí)木塊均處于平衡態(tài)，故有

Fa浮=Ga物

(21)

Fb浮=Gb物

(22)

兩式相減，得

Fa浮-Fb浮=Ga物-Gb物

(23)

上式的物理意義是，從圖(a)態(tài)到圖(b)態(tài)的變化過(guò)程中，木塊所受浮力的減少等于其重量的減少．由此可得

ρ水gV2=ρ木gV1

即

問(wèn)題8：有一粗細(xì)均勻的蠟燭下端掛一重物后，放入水中漂浮在液面上，有1 cm露出水面．將蠟燭點(diǎn)燃，讓它一直燒至淹滅.求燃燒掉的那部分蠟燭的長(zhǎng)度為多少？(ρ蠟=0．9×103kg/m3)

解析: 設(shè) 燃燒掉的那部分蠟燭的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，在L處畫一截面MN，選蠟燭及下端掛的重物為一整體作為研究對(duì)象．依題意作出 圖8(a)、圖8(b) ，因在兩狀態(tài)時(shí)研究對(duì)象均處于平衡態(tài)，故有

Fa浮=Ga物

(24)

Fb浮=Gb物

(25)

兩式相減，得

Fa浮-Fb浮=Ga物-Gb物

(26)

上式的物理意義是，從圖(a)態(tài)到圖(b)態(tài)的變化過(guò)程中，研究對(duì)象所受浮力的減少等于其重量的減少．由此可得

ρ水g(L-1)S=ρ蠟gLS

式中S為蠟燭的橫截面積.算得

L=10 cm

圖8

2 方法總結(jié)

由以上數(shù)例可以看出，用整體法求解的基本思想是,選擇一個(gè)合適的整體作為研究對(duì)象.在具體分析整體受力時(shí),可以不考慮整體內(nèi)部物體間的相互作用，只需考慮外界物體對(duì)整體的作用力；然后利用整體在狀態(tài)變化前后均處于平衡態(tài)可得到相關(guān)方程；最后結(jié)合所給其他條件可使問(wèn)題得到解決．