范宜仁，張文靜，鄧少貴，孟凡增

（1.中國石油大學(xué)，山東東營257061；2.中國石油渤海鉆探工程有限公司測井公司，天津300200）

0 引 言

在信號處理中，與傳統(tǒng)傅里葉（Fourier）變換和窗口傅里葉變換相比，小波變換具有在時(shí)間域和頻率域?qū)π盘栠M(jìn)行局部化的特點(diǎn)，在聲波信號處理中有著廣泛的應(yīng)用前景。陣列聲波測井可對井壁及井壁附近傳播的整個(gè)波列進(jìn)行記錄，位于滑行縱波和滑行橫波之間的反射縱波在井旁裂縫識別中有很好的應(yīng)用效果［1－3］，但反射縱波的能量一般都比較弱，難于提取。本文利用多尺度相關(guān)方法處理聲波全波列，提取反射縱波［4］，在實(shí)際應(yīng)用中取得了很好的效果。

小波的多尺度特性能夠?qū)⒙暡ㄈ兄胁煌Ｊ讲ǚ纸庠诓煌某叨壬?，選取合適的小波及尺度，壓制其他高能量模式波，增強(qiáng)小信號，實(shí)現(xiàn)反射縱波的初步提?。?－7］。反射縱波與滑行縱橫波的頻率比較接近，僅僅通過多尺度分析不能將二者分離，利用小波變換保留時(shí)域特征這一特點(diǎn)，將常用的慢度時(shí)間相關(guān)法［8］與多尺度方法結(jié)合，求得不同尺度下的慢度－時(shí)間相關(guān)圖，保留相關(guān)性好的反射縱波區(qū)域，切除其它區(qū)域，得到能量小的反射縱波。

1 多尺度慢度－時(shí)間相關(guān)法基本理論

1.1 多尺度理論

本文所研究的多尺度分析方法基于小波的基礎(chǔ)之上，根據(jù)聲波全波的特征和所要達(dá)到的目標(biāo)，選用Kingsbury等人提出的雙樹復(fù)小波［9－11］。

雙樹復(fù)小波（DT-CWT）采用二叉樹結(jié)構(gòu)的2路DWT，一樹生成變換的實(shí)部；一樹生成虛部（見圖1）。對于第1層分解，如果2樹濾波器之間的延遲恰是1個(gè)采樣間隔，就可以確保b樹中第1層的二抽取正好采樣到a樹中因二抽取所丟掉的采樣值；對于以后的各層分解，為了保證2樹在該層和所有前層上產(chǎn)生的延遲差的總和相對于原始輸入為1個(gè)采樣周期，2樹對應(yīng)濾波器的相頻響應(yīng)之間應(yīng)有1／2個(gè)采樣周期的群延遲，且2個(gè)濾波器的幅頻響應(yīng)相等。為了保證線性相位而采用雙正交小波變換，要求一樹的濾波器為奇數(shù)長；另一樹的濾波器為偶數(shù)長。如果在每樹的不同層次間交替采用奇偶濾波器，那么這2樹就會呈現(xiàn)好的對稱性。Q-Shift雙樹復(fù)小波變換以更巧妙的方法實(shí)現(xiàn)2樹對應(yīng)濾波器之間的1／2采樣周期延遲。雙樹復(fù)小波變換具有近似平移不變性、良好方向選擇性、完美重構(gòu)性、有限數(shù)據(jù)冗余性等優(yōu)點(diǎn)。

為了尋找空間L2（R）的基，先從L2（R）的某個(gè)子空間出發(fā)，在這個(gè)子空間中先建立基底，然后利用簡單變化，把這個(gè)基底擴(kuò)充到空間L2（R）上，以形成一組基，這就是多尺度分析方法。

以一維情況為例，信號的多尺度分析算法可表示為

圖1 雙樹復(fù)小波變換

因cj＋1，n是cj，k的低頻逼近，dj＋1，n是cj，k的高頻細(xì)節(jié)，所以h和g可看作低通和高通濾波器系數(shù)。引入濾波器H和G，其中H＝h（k－2n），G＝g（k－2n），則式（1）簡化為

當(dāng)j取一系列整數(shù)時(shí)，便實(shí)現(xiàn)了對信號的多尺度分解。j是多尺度分解的層數(shù)。相應(yīng)的多尺度重構(gòu)算法為

其簡寫形式為

式中，H＊和G＊分別是H和G的對偶算子。分解和重構(gòu)算法示意圖分別見圖2（a）和圖2（b）。

圖2 信號的多尺度分解和重構(gòu)算法

1.2 慢度－時(shí)間相關(guān)法（STC）

慢度－時(shí)間相關(guān)法適用于頻散的偶極子陣列信號分析以提取橫波慢度。由聲波測井原理可知，井中激發(fā)的模式波在遠(yuǎn)場可以看作沿井軸勻速傳播。因而在接收器陣列上各模式波應(yīng)該具有一定的相關(guān)性。通過設(shè)置對比窗口，得到依賴于慢度和時(shí)間的相關(guān)函數(shù)

式中，S是慢度；T是對比窗口的起始位置；m是總的接收器數(shù)目；t是對比窗口長度；Xm（t）表示第m道聲波信號；d表示聲波間距。

2 反射縱波的產(chǎn)生及特點(diǎn)

在XMAC測井的全波列中，反射縱波一般具有以下特點(diǎn)［2］。

（1）反射縱波速度大于或接近地層滑行縱波速度，說明該反射縱波來自于地層內(nèi)部，屬于體波；

（2）反射縱波幅度比較小，在實(shí)測全波列波形中常常難于直接觀測到；

（3）反射縱波到達(dá)時(shí)間大于縱波首波到時(shí)，而小于橫波首波到時(shí)，并且在時(shí)間軸上延續(xù)很短。

3 實(shí)際全波列波形處理

圖3為實(shí)際測量的某一深度段的共源距全波列波形。圖3中直線標(biāo)注出了存在比較明顯的反射縱波，選取其中1個(gè)深度點(diǎn)的數(shù)據(jù)采用本文所提的方法進(jìn)行研究。

圖4為所選深度點(diǎn)的全波波形，由上到下依次為8個(gè)不同源距的接收器接收到的8道波形，組成共炮點(diǎn)道集，明顯觀測到斯通利波，縱波和橫波幅度較小，觀測不到反射縱波。圖5為圖4中波形的慢度－時(shí)間相關(guān)圖，可以看出，原始的波形進(jìn)行STC處理后，只有斯通利波表現(xiàn)出較好的相關(guān)性，在相關(guān)圖中，很難確定其他模式波的慢度－時(shí)間區(qū)域。

圖3 某一深度段共源距全波列波形

圖4 共炮點(diǎn)實(shí)測聲波全波陣列波形

對圖4中的8道波形分別進(jìn)行雙樹復(fù)小波變換，選取尺度4，進(jìn)行4級小波分解，再通過單尺度小波重構(gòu)，得到不同尺度上的重構(gòu)波形，相同尺度上的波形組成共尺度道集。通過對不同尺度上共尺度道集的觀測，發(fā)現(xiàn)在尺度3的共尺度道集上顯示出比較明顯的反射縱波，在源距較遠(yuǎn)的6道波形上可觀測到明顯的反射縱波（直線標(biāo)注）。

圖5 圖4中的陣列聲波的慢度－時(shí)間相關(guān)圖

圖6 尺度3上的重構(gòu)波形

由圖6可以看出，雖然反射縱波比在原始波形下更明顯了，但由于頻率接近，在該尺度上依然存在縱波、橫波等多種模式的波，通過多尺度方法還難以實(shí)現(xiàn)反射縱波的完全提取。

由于小波變換保留了時(shí)間域的特征，利用這一特點(diǎn)可以將慢度－時(shí)間相關(guān)法與多尺度相結(jié)合，用STC法對尺度3上的共尺度道集（見圖6）進(jìn)行處理，得到慢度－時(shí)間相關(guān)圖。圖7中，相關(guān)性較好的模式波為縱波、反射縱波和橫波，其在圖7中的區(qū)域分別為［40，70］×［300，900］、［20，60］×［900，1 200］、［80，110］×［1 200，1 800］，同時(shí)也計(jì)算出了反射縱波的慢度為36μs／ft（非法定計(jì)量單位，1ft＝12in＝0.304 8m，下同）。根據(jù)所確定的反射縱波的區(qū)域，即可得知在第1道波形上反射縱波的時(shí)間段為900～1 200μs，結(jié)合已經(jīng)得到的慢度值即可計(jì)算出其他波形道上反射縱波的時(shí)間段。保留所確定的反射縱波時(shí)間段內(nèi)的小波系數(shù)值，時(shí)間段外的小波系數(shù)值置0，就得到了最終要提取的反射縱波（見圖8）。

用多尺度-STC方法處理了某一深度段的全波波形，圖9為某一深度段共源距的全波波形處理結(jié)果。

圖7 尺度3下的共尺度道集的慢度－時(shí)間相關(guān)圖

圖8 反射縱波

圖9 某一深度段共源距的反射縱波

4 結(jié) 論

（1）小波變換具有在時(shí)間域和頻率域?qū)π盘栠M(jìn)行局部化的特點(diǎn)，雙樹復(fù)小波克服了傳統(tǒng)離散小波變換不具有平移不變性和方向選擇性的缺陷，對于非平穩(wěn)離散信號的處理具有更好的優(yōu)勢。

（2）基于小波的多尺度分解中尺度對應(yīng)頻率，根據(jù)不同模式波的頻率特性，能夠?qū)⑷ㄐ盘栔胁煌Ｊ降牟ǚ蛛x在不同的尺度上，在合適的尺度上重構(gòu)波形，能夠達(dá)到壓制頻率相差較大的高能量模式波，提取低能量信號的目的。

（3）小波變換很好地保留了時(shí)間域的特征，能夠?qū)TC與小波變換相結(jié)合。對不同尺度上重構(gòu)的全波列進(jìn)行STC處理，在得到的慢度－時(shí)間相關(guān)圖上能夠很好地確定相關(guān)性好的模式波的區(qū)域，進(jìn)而對頻率接近的模式波在時(shí)間上進(jìn)行了分離。

（4）通過多尺度慢度－時(shí)間相關(guān)法對全波信號在頻域和時(shí)域分別進(jìn)行處理，達(dá)到了反射縱波的完美提取，為小信號的提取提供了一種新的方法。

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