呂品，王成明，趙熙，徐國強

（北京航空航天大學能源與動力工程學院，北京100191）

1 引言

自由盤是指在無限大空間里以一定角速度旋轉的圓盤，遠離轉盤的流體靜止，研究自由盤的流動和換熱是研究實際發(fā)動機中復雜盤腔內流動和換熱的基礎，如在某些情況下，轉靜系旋轉盤腔可簡化成自由盤[1]。

對自由盤層流流動，Von karman[2]通過相似變換，將控制自由盤附近流體流動的偏微分方程轉化為常微分方程并求解，得到自由盤的局部流量系數和盤面單側力矩系數；對盤面換熱，給定盤面過余溫度n（Tw為盤面溫度、Tf為主流溫度）的情況下，Dorfman[3]、Owen[4]通過積分求解能量方程分別得到盤面局部努賽爾數。對自由盤的湍流流動，Von karman[2]、Dorfman[5]、Owen[4]分別采用理論推導和實驗測量的方法，得到了盤面的流量系數和力矩系數；對盤面換熱而言，給定盤面溫度邊界條件Tw-Tf=Crn，Dorfman[6]基于對數律所求出的速度場來求解能量積分方程，得到自由盤盤面的局部和平均努賽爾數。

根據以上經典研究結果可知，自由盤盤面的換熱在一定程度上受溫度邊界條件的影響，如當盤面過余溫度按n次單項式Tw-Tf=Crn分布時，盤面局部和平均努賽爾數要受到指數n的影響。對于盤面過余溫度按一般化的n次多項式Tw-Tf=a0+a1r+a2r2+…+anrn分布時，盤面換熱結果在以上研究中沒有給出，本文通過數值方法對此進行了探討。

2 計算方法簡介

采用靜止坐標系下不可壓縮流的控制方程描述問題[7]，能量方程中忽略了壓力功及耗散項；各方程的離散采用2階迎風格式，壓力與速度的耦合采用SIMPLE算法。

2.1 計算模型及網格

計算模型為Tw-Tf=Cf(x)，C=0.2 m的自由盤，僅計算自由盤單側的流體域，如圖1所示。旋轉軸為z軸，計算域沿軸向范圍為10 R，沿徑向范圍為5 R；由于流體域的軸對稱特性，為節(jié)省計算資源可僅計算r-z截面的2維區(qū)域。計算網格采用正交4邊形網格，2坐標方向的網格數目r×z約為140×200；由于自由盤附近流體速度及溫度梯度較大，故對盤面附近網格進行加密。

2.2 物性及邊界條件

物性條件：流體為不可壓縮空氣，在開放邊處（如圖1所示），流體溫度Tf=300 K，并取此溫度下的物性參數，密度ρ=1.185 kg/m3、定壓比熱容Cp=1004.4 J/(kg·K)、黏度μ=1.831×10-5kg/(m·s)、導熱系數λ=0.0261 W/(m·K)。

邊界條件：（1）自由盤，盤面為無滑移條件并給定盤面轉速，自由盤層流向湍流過渡的臨界旋轉雷諾數Reω,c=ρπωR2/(30μ)=2×105[1]，R=0.2 m時對應的臨界轉速ωc≈740 r/min，故設置層流自由盤轉速ω=300、500、700 r/min，對應旋轉雷諾數分別為Reω≈0.813×105、1.355×105、1.898×105；盤面溫度為Tw，盤面過余溫度Tw-Tf=Crn或Tw-Tf=a0+a1r+a2r2+…+anrn，其中Tf為開放邊流體溫度，C為常數，指數n=0、1、2、3。（2）滑移邊，邊界上為無穿透、自由滑移、絕熱條件。（3）開放邊，給定壓力Pf=1.01×105

盤面過余溫度Tw-Tf=Cr2（n=2）時

而對于任意Pr，當盤面過余溫度為半徑的n次曲線分布Tw-Tf=Crn時，Owen[4]得到的結果為

式中:局部努賽爾數Nur=hrr/λ;hr=qw/(Tw-Tf)為盤面局部對流換熱系數;qw為盤面局部熱流密度；局部旋轉雷諾數Reω,r=ρπωr2/(30μ)。

由理論解可以看到，盤面的換熱只受到指數n影響而與系數C沒有關系。需要注意的是，式（1）、（2）為精確解；式（3）則為綜合值，在0.71＜Pr＜2和0＜n＜3時，與精確解相比,最大誤差為12.6%。

同樣采用不可壓縮、常物性假設和相同的邊界條件后，利用此計算程序對前述的自由盤進行數值計算，得到了盤面局部努賽爾數Nur隨無量綱半徑r/R的分布，如圖2所示。由圖中可見，計算結果在n=0、2時與Dorfman的Pa（Pf在開放邊入流時為總壓，出流時為靜壓）；給定溫度Tf=300K。（4）旋轉軸，z軸為旋轉軸，該軸上徑向、切向速度均為0，軸向速度和溫度沿半徑的梯度也為0。

2.3 計算程序驗證

對于自由盤盤面的換熱，1963年Dorfman[3]通過積分求解不可壓縮、常物性能量方程得到盤面局部努賽爾數的理論解。給定普朗特數Pr=0.72，盤面溫度為常數C（n=0）時精確理論解符合很好，最大誤差約為1%；而n=1、3時與Owen的綜合解偏差稍大，最大在5%左右，這是由于Owen的結果為綜合近似解而并非精確解所致。

3 計算結果分析

Tw-Tf=Cr2時系數C對盤面換熱的影響如圖3所示。從圖中可見，局部努賽爾數Nur不隨系數C改變，這與理論解的結論一致。圖4、5給出了2個轉速下盤面局部努賽爾數隨盤面溫度分布的變化情況，并與理論解進行了對比，二者符合較好。圖中n=0、2時的Dorfman理論解分別由式（1）、（2）得到，而n=1、3時的Owen理論解則皆由式（3）得到。很明顯，局部努賽爾數均隨半徑呈直線分布，這說明此時盤面的換熱系數為常數，不隨半徑變化。理論解和數值結果均表明，n=2時的局部努賽爾數比n=0時的約大59%；計算結果中，n=1時的局部努賽爾數比n=0時的約大32%，n=3時的局部努賽爾數比n=0時的約大81%。

自由盤面溫度分布為Tw-Tf=a+br時系數a、b分別對自由盤面局部努賽爾數的影響如圖6所示。從圖中可見，局部努賽爾數Nur隨系數a的增大而減小，隨b的增大而增大。值得注意的是，所得的局部努賽爾數，數值上位于盤面分別按最高1次（Tw-Tf=br）和最低0次（Tw-Tf=a）分布時所得的局部努賽爾數之間。

自由盤面溫度分布為Tw-Tf=br+cr2時的自由盤面局部努賽爾數如圖7、8所示。從2圖中可見，局部努賽爾數b隨最低1次系數b增大而減小，隨最高2次系數c增大而增大；同樣，所得局部努賽爾數數值上介于自由盤面分別按最高次（Tw-Tf=Cr2）和最低次cr2分布時所得的局部努賽爾數之間。

自由盤面溫度分布為Tw-Tf=a+cr2時的盤面局部努賽爾數如圖9所示。局部努賽爾數Nur隨最低0次系數a的增大而減小，隨最高2次系數c的增大而增大；計算所得的局部努賽爾數介于自由盤面分別按最高次Tw-Tf=cr2和最低次（Tw-Tf=a）分布時所得的局部努賽爾數之間。從圖中可見，此時的局部努賽爾數曲線的形狀發(fā)生改變，不再是直線，說明此時自由盤面的換熱關系式不再滿足成比例的關系，也即盤面換熱系數不再為常數。

自由盤面溫度分布為Tw-Tf=a+brcr2時系數a、b、c對自由盤面局部努賽爾數的影響如圖10～12所示。從圖中可見與前面相似的情形，盤面局部努賽爾數Nur隨最低0次系數a的增大而減小，隨最高2次系數c的增大而增大。系數b對局部努賽爾數的影響則分為2個區(qū)域，r較小時2次項cr2的影響較小，隨著1次項系數b的增大，1次項在溫度分布中占主導地位，b可近似認為是最高次項系數，故隨著b的增大，自由盤面局部努賽爾數增大；另外，在r值較大區(qū)域，由于2次項在溫度分布中的影響增大，1次項影響減小，故隨著b的增大，局部努賽爾數減小。計算所得局部努賽爾數介于自由盤面分別按最高次（Tw-Tf=cr2）和最低次（Tw-Tf=a）分布時所得的局部努賽爾數之間，不再滿足與成比例的關系。

在不同溫度分布下，當過余溫度Tw-Tf成倍變化（即Tw-Tf=Cf(x)，C任意變化）時對自由盤面局部努賽爾數分布的影響如圖13所示。由圖中可以明顯看出，溫差Tw-Tf成倍變化時，自由盤面局部努賽爾數不發(fā)生改變（即不隨C的改變而改變）。事實上這與自由盤面溫度分布為Tw-Tf=C、Tw-Tf=Crn時自由盤面局部努賽爾數不隨常數C改變而改變的結論相一致。

設盤面過余溫度為n次單項式Tw-Tf=Crn分布，且當n為0、1、2、…、n時，盤面所得的局部努賽爾數分別為Nur,0、Nur,1、Nur,2、…、Nur,n定義局部努賽爾數之比

通過對以上數據綜合分析發(fā)現：對自由盤層流換熱，當盤面過余溫度按任意多項式分布時，即

與流體外掠平板時表面換熱的結果類似[8]，自由盤面局部努賽爾數Nur可由下式計算

圖14給出了過余溫度按2次多項式分布時，盤面局部努賽爾數由式（6）計算的結果與數值模擬所得結果的比較。由圖中可以看到，二者符合極好，表明了使用式（6）計算盤面過余溫度按n次多項式分布時的局部努賽爾數的準確性。

4 結論

對不可壓縮、常物性層流流動的自由盤:（1）當盤面過余溫度Tw-Tf=a0+a1r+a2r2+…+anrn按任意多項式分布時，盤面局部努賽爾數數值上介于過余溫度單獨按多項式的最高次和最低次分布所得到的局部努賽爾數之間，且隨最高次項系數的增大而增大、隨最低次項系數的增大而減小、隨著中間次數項的系數在低半徑區(qū)域增大而增大在高半徑區(qū)域增大而減小；（2）當Tw-Tf=Cf(r)時，盤面的換熱不受系數C的影響；（3）當Tw-Tf=Crn時，局部努賽爾數在所有同次多項式溫度分布下所得局部努賽爾數中為最大值；（4）當過余溫度為半徑的任意多項式分布Tw-Tf=a0+a1r+a2r2+…+anrn時，盤面局部努賽爾數可由式（6）計算得到。

[1] 曹玉璋,陶智,徐國強,等.航空發(fā)動機傳熱學[M].北京：北京航空航天大學出版社,2005.

[2] Karman Th,Von..Uber Laminare and Turbulence Rei-bung[M].Z angew.Math.Mech.,1921,1:233-252.

[3] Dorfman L,A,Translated by Kemmer N.Hydrody-namic Resistance and the Heat Loss of Rotating Solids[M].Oliver and Boyd Ltd.,1963.

[4] Owen J M,Rogers R H.Flow and Heat Transfer in Rotating-Disc Systems Rotor-Stator Systems[M].Research Studies Press,Taunton,UK,1989.

[5] Dorfman LA.Turbulent Boundary Layer on a Rotating Disc[M].Izv.Akad.Nauk SSSR,Otd.tekh.nauk,1957,no.7:138-142.

[6] Dorfman L A.Heat Transfer from Rotating Disc[J].Inzh.-fiz.Zh.,1958,1(6):3-11.

[7] 陳懋章.粘性流體動力學基礎[M].北京：高等教育出版社,2002.

[8] Eckert E R G,Drake R M.Analysis of Heat and Mass Transfer[M].McGraw-Hill,1972.