一種新的聚焦類寬帶DOA估計(jì)算法*

曹金亮,劉志文,徐友根

(北京理工大學(xué)信息與電子學(xué)院,北京 100081)

1 引言

空間信號DOA估計(jì)一直是陣列處理研究的一個(gè)重要問題。隨著跳頻、擴(kuò)頻、線性調(diào)頻信號等寬帶信號的廣泛應(yīng)用,寬帶信號的檢測和定位越來越受到人們關(guān)注。目前,寬帶信號DOA估計(jì)算法主要有最大似然方法(M LM)和信號子空間方法(SSM)兩類。M LM運(yùn)算量極大,難以具體實(shí)現(xiàn)[1-2]。SSM具有相對小的計(jì)算量和較高的分辨率,因而更受關(guān)注。

SSM最初是由Schm idt[3]等人針對窄帶信號提出的,寬帶源模型下導(dǎo)向矢量依賴于頻率參量,一般是通過DFT或窄帶帶通濾波器組將寬帶信號分解為多個(gè)窄帶信號,再進(jìn)行處理。按照處理方式的不同,SSM可分為基于不相干(ISM)[4]和基于相干(CSM)[5]兩類。

隨著研究的深入,人們提出了更多寬帶DOA估計(jì)算法,這些算法的貢獻(xiàn)主要體現(xiàn)在消除預(yù)估計(jì)[6-7]、提高估計(jì)性能[8-11]以及減小運(yùn)算量[12]等幾個(gè)方面。其中有不少算法與最初的CSM方法一樣都屬于聚焦類算法,這些算法給出了不同的聚焦矩陣構(gòu)造方法。文獻(xiàn)[10]提出了RSS方法,文獻(xiàn)[11]表明RSS方法是SST方法的一個(gè)特例,文獻(xiàn)[12]提出了M TLS方法,并且指出M TLS方法比RSS和SST有更小的運(yùn)算量。眾所周知,實(shí)時(shí)性在通信、雷達(dá)、聲納等應(yīng)用領(lǐng)域中是至關(guān)重要的,因而如何大幅度減小運(yùn)算量同時(shí)兼顧估計(jì)精度就成為實(shí)際應(yīng)用中面臨的重要問題。

本文通過對導(dǎo)向矢量矩陣的初等變換來構(gòu)造聚焦矩陣,并利用信號子空間和噪聲子空間的正交性得到一種簡化的聚焦矩陣構(gòu)造方法。

2 頻域信號模型

式中,sp為第p個(gè)源信號,nm(t)為第m個(gè)陣元上的噪聲,τm(θp)為第p個(gè)信號源到達(dá)第m個(gè)陣元相對于到達(dá)參考陣元的時(shí)延。假定nm(t)與入射信號不相關(guān),且在時(shí)域和空域均為白噪聲。假定觀測時(shí)間足夠長,第m個(gè)陣元輸出的離散時(shí)間傅里葉變換(DTFT)為:

實(shí)際處理時(shí)是對采樣信號進(jìn)行DFT(假設(shè)為J點(diǎn)),從而把寬帶信號分解成多個(gè)窄帶信號,寫成矢量形式為:

式中x(ωj)和n(ωj)分別為M×1維陣列輸出矢量和噪聲矢量,s(ωj)為P×1維信號矢量。A(ωj,θ)是M×P維導(dǎo)向矢量矩陣,其第p個(gè)列矢量為:

對于均勻線陣,τm(θp)=(m-1)d sinθp/c,其中d為陣元間距,c為信號傳播速度。為描述方便,將式(3)簡寫為:

頻率ωj處的數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣為:

式中,Sj=E[sjs]。如果P個(gè)信號源不相關(guān),則P×P矩陣S j滿秩,通過特征值分解可以得到信號子空間F j和噪聲子空間W j為:

式中,y j,1,…,y j,M是相互正交的特征矢量,對應(yīng)于降序排列的各特征值。另外,由子空間類方法可知,Fj與A j(θ)張成的空間相同。

3 寬帶聚焦算法

寬帶信號的導(dǎo)向矢量依賴于頻率,每一頻率點(diǎn)所對應(yīng)的導(dǎo)向矢量矩陣是不同的。CSM方法的中心問題是構(gòu)造J個(gè)聚焦矩陣,把不同頻率點(diǎn)對應(yīng)的導(dǎo)向矢量矩陣聚焦到某一參考頻率ω0處,即:

聚焦后的數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣為:

式中,αj是正比于SNR的加權(quán)系數(shù),不失一般性,在后面仿真中假定αj=1。對聚焦后的協(xié)方差矩陣運(yùn)用窄帶子空間類方法,如MUSIC算法,就可以實(shí)現(xiàn)對寬帶源的DOA估計(jì)。在實(shí)際情況下,各頻率點(diǎn)數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣以及聚焦后的協(xié)方差矩陣只能通過估計(jì)得到:

由上文可知,聚焦的目的是找到矩陣T j,使得(9)式成立,那么聚焦類算法的關(guān)鍵就在于聚焦矩陣的選取,不同算法Tj的構(gòu)造方法也不同。為表述方便,以下將A j(θ)和A0(θ)分別簡寫為A j和A0。

文獻(xiàn)[10]構(gòu)造聚焦矩陣的公式為:

式中‖?‖F(xiàn)表示二范數(shù),對(13)式進(jìn)行求解,可得

RSS聚焦矩陣為:

式中Uj和Vj分別為AjA的左右奇異矢量。文獻(xiàn)[10]表明,當(dāng)聚焦矩陣為酉矩陣時(shí),聚焦前后無信噪比損失。

文獻(xiàn)[12]給出了一種修正總體最小二乘聚焦算法,該方法通過矩陣極分解來構(gòu)造聚焦矩陣,最終的聚焦矩陣表達(dá)式為:

文獻(xiàn)[12]還指出,M TLS方法由于在構(gòu)造聚焦矩陣時(shí)不需要矩陣分解運(yùn)算,因而比其它聚焦類算法有著更小的運(yùn)算復(fù)雜度。

4 基于矩陣初等變換的新算法

由于每一頻率點(diǎn)對應(yīng)的導(dǎo)向矢量矩陣都是列滿秩的,即rank(A j(θ))=P,j=1,…,J,由矩陣分析理論知,存在M×M維滿秩矩陣Q j和Q0,使得

式中I P×P和O(M-P)×P分別為單位矩陣和零矩陣。因?yàn)镼0滿秩,故其逆矩陣存在,可得:

對比(17)和(9)式,顯然可以取T j=Q0-1Q j,所以聚焦矩陣的構(gòu)造問題,就轉(zhuǎn)化為確定兩個(gè)初等變換矩陣Q j和Q0的問題,下面討論如何確定Q j和Q0。

令Q j=[QTj1 QTj2]T,Q j1、Q j2分別為P×M和(MP)×M維矩陣,由(16)式得,Q j1 A j=I,Q j2 A j=O。根據(jù)上述關(guān)系,可以取

式中W j為式(8)所示的噪聲子空間。由于導(dǎo)向矢量矩陣與信號子空間張成空間是同一空間,并且信號子空間正交于噪聲子空間,可得:

同理構(gòu)造Q0,并得到其逆矩陣Q=[A0W0],此時(shí)聚焦矩陣為:

實(shí)際中是應(yīng)用聚焦矩陣Tj對頻域接收數(shù)據(jù)進(jìn)行變換,對于無噪頻域數(shù)據(jù)x j=A j s j,得:

則在構(gòu)造聚焦矩陣的過程中避免了特征分解。理論上,此時(shí)有T j A j=A0,稱之為完美聚焦,但實(shí)際中真實(shí)DOA是需要估計(jì)的量,T j的構(gòu)造只能根據(jù)不太精確的DOA預(yù)估計(jì)值,即:

所以T j A j和A0不一定完全相等,但是可以通過迭代使不斷接近真實(shí)DOA值θ,從而逐漸實(shí)現(xiàn)完美聚焦。由(22)式得rank(T j)=P,實(shí)際中由簡單方法(如CBF)得到DOA預(yù)估計(jì)值,可以通過在估計(jì)值附近加入幾個(gè)角度值來構(gòu)造聚焦矩陣,此時(shí)rank(T j)=P,為用于構(gòu)造T j的角度數(shù)目,一般取P≤＜M。

對比(15)和(22)兩式,可以看出在構(gòu)造聚焦矩陣時(shí),新方法比M TLS方法有更小的運(yùn)算量。如果按照(20)構(gòu)造聚焦矩陣,由式(10)可得,聚焦后數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣的噪聲項(xiàng)為:

如果根據(jù)(22)式構(gòu)造聚焦矩陣,得:

這說明(22)式的聚焦矩陣能更好地抑制噪聲,從而有利于提高DOA估計(jì)性能。

綜上所述,本文算法流程如下:①應(yīng)用常規(guī)波束形成法進(jìn)行預(yù)估計(jì),在估計(jì)值附近再增加幾個(gè)值,得接收數(shù)據(jù)進(jìn)行分段,通過DFT得到每一頻點(diǎn)下的陣列采樣數(shù)據(jù);③按照式(22)構(gòu)造聚焦矩陣Tj;④根據(jù)式(10)得到聚焦后的協(xié)方差矩陣R;⑤應(yīng)用MUSIC等陣列處理高分辨算法獲得DOA估計(jì);⑥為了提高性能,可以重復(fù)步驟③～⑤,直到滿足設(shè)定的估計(jì)精度或終止條件。

5 計(jì)算機(jī)仿真及性能分析

設(shè)置仿真條件如下:8陣元均勻線陣(ULA),陣元間距為信號中心頻率對應(yīng)波長的一半。信號源為不相關(guān)的高斯平穩(wěn)隨機(jī)信號,DOA為0°、20°,中心頻率均為300H z,相對帶寬均為66.7%,采樣頻率為1kH z,信號觀測時(shí)間為6.4s,分為100段,蒙特卡洛仿真次數(shù)為100。信噪比定義為單個(gè)陣元上單個(gè)信號與噪聲的功率之比,仿真中信噪比范圍為0dB～30dB。

為驗(yàn)證本文算法的有效性,實(shí)驗(yàn)一對RSS法、M TLS法和本文方法進(jìn)行了仿真。圖1給出了三種算法DOA估計(jì)偏差和均方根誤差(RMSE)隨信噪比的變化曲線。由圖1(a)～(b)可以看出三種算法都有著不錯(cuò)的估計(jì)偏差性能(偏差絕對值都在0.06°以內(nèi)),相比較而言新方法偏差最小,且隨著信噪比的增加呈減小趨勢,RSS和M TLS法的偏差隨信噪比的變化趨勢并不明顯。由圖1(c)～(d)可以看出本文方法有著最優(yōu)的均方根誤差性能。

為了檢驗(yàn)新算法對鄰近信號源的分辨能力,在實(shí)驗(yàn)二中增加信號源個(gè)數(shù)并減小角度間隔,取真實(shí)DOA為0°、4°、12°,同時(shí)增加陣元個(gè)數(shù)到16,其余仿真條件

圖1 三種算法的DOA估計(jì)性能比較(兩個(gè)信號源)

圖2 三種算法的DOA估計(jì)性能比較(三個(gè)信號源)

為了檢驗(yàn)新算法對鄰近信號源的分辨能力,在實(shí)驗(yàn)二中增加信號源個(gè)數(shù)并減小角度間隔,取真實(shí)DOA為0°、4°、12°,同時(shí)增加陣元個(gè)數(shù)到16,其余仿真條件同實(shí)驗(yàn)一。圖2給出了三種算法的偏差和均方根誤差隨信噪比的變化曲線。對比實(shí)驗(yàn)一和實(shí)驗(yàn)二的仿真結(jié)果可以看出,三種算法對鄰近信號源(尤其是0°和4°處的信號源)的估計(jì)性能都有所下降。這是一個(gè)可以預(yù)料的結(jié)果,因?yàn)閷τ卩徑盘栐?常規(guī)波束形成法帶來的預(yù)估計(jì)誤差會比較大,從而使最終的估計(jì)性能下降。還可以看出RSS方法和M TLS方法受預(yù)估計(jì)誤差的影響比較大,兩種方法的偏差和均方根誤差隨信噪比的增大而減小的趨勢并不明顯。而本文方法對預(yù)估計(jì)誤差的魯棒性更好,隨著信噪比的增大,DOA估計(jì)偏差和均方根誤差都趨于零。

6 結(jié)束語

本文基于對導(dǎo)向矢量矩陣的初等變換,給出了一種寬帶源DOA估計(jì)新方法,該算法在構(gòu)造聚焦矩陣的過程中不需要特征分解,從而大大提高了運(yùn)算效率。理論分析表明,相對于RSS和M TLS等聚焦類算法,本文算法聚焦矩陣的構(gòu)造運(yùn)算量更小,為寬帶源測向的工程應(yīng)用提供了更好的理論基礎(chǔ);另外,仿真實(shí)驗(yàn)表明,相對于RSS和MTLS算法,本文方法在DOA估計(jì)偏差和均方根誤差方面有著更優(yōu)的性能?！?/p>

1 Doron MA,Weiss AJ,M esser H.M aximum-likelihood direction finding of wide-band sources[J].IEEE Trans.on Signal Processing,1993,41(1):411-414.

2 Agraw al M,Prasad S.DOA estimation of w ideband sources using a harmonic source model and uniform linear array[J].IEEE Trans.on Signal Processing,1999,47(3):619-629.

3 Schm id t RO.Mu ltiple em itter location and signal parameter estimation[J].IEEE Trans.On Antennas Propagation,1986,34(3):276-280.

4 Wax M,Shan TJ,Kailath T.Spatio-temporal spectral analysis by eigenstructure methods[J].IEEE T rans.on A coustics,Speech,and Signal Processing,1984,32(4):817-827.

5 Wang H,Kaveh M.Coherent signal-subspace processing for the detection and estimation of ang les o f arrival ofmultip le wideband sources[J].IEEE T rans.on A coustics,Speech,and Signal Processing,1985,33(4):823-831.

6 Doron MA,Doron E,W eiss AJ.Coherent wide-band processing for arbitrary array geometry[J].IEEE Trans.on Signal Processing,1993,41(1):414-417.

7 Yoon YS,Kaplan LM,M cClellan JH.TOPS:New DOA estimator for wideband signals[J].IEEE Trans.on Signal Processing,2006,54(6):1977-1989.

8 Claudio EDm,ParisiR.WAVES:weighted average of signal subspaces for robust wideband direction finding[J].IEEE Trans.on Signal Processing,2001,49(10):2179-2190.

9 Valaee S,Kabal P.W ideband array p rocessing using a twosided correlation transformation[J].IEEE Trans.on Signal Processing,1995,43(1):160-172.

10 Hung H,Kaveh M.Focusingmatrices for coherent signalsubspace p rocessing[J].IEEE T rans.on A coustics,Speech,and Signal Processing,1988,36(8):1272-1281.

11 Doron MA,Weiss AJ.On focusing matrices for w ideband array p rocessing[J].IEEE Trans.on Signal Processing,1992,40(6):1295-1302.

12 Valaee S,Champagne B.Localization of wideband signals using least-squares and tota l least-squares app roaches[J].IEEE T rans.on Signal Processing,1999,47(5):1213-1222.