張俊青，王保紅

(1.長治學院數(shù)學系，山西 長治 046011;2.山西大學科學技術(shù)哲學研究中心，山西 太原 030006)

數(shù)學的裂變
——基于后現(xiàn)代的視閾

張俊青1，王保紅2

(1.長治學院數(shù)學系，山西 長治 046011;2.山西大學科學技術(shù)哲學研究中心，山西 太原 030006)

非歐幾何的誕生瓦解了人們關于數(shù)學是客觀真理的神圣信念，使數(shù)學從物質(zhì)世界的束縛中解放出來;數(shù)學直覺主義和哥德爾不完全定理從正、反兩個側(cè)面說明數(shù)學形式理論內(nèi)在的局限性，數(shù)學命題的邏輯真也是可望而不可即。數(shù)學的這兩次自我解構(gòu)與后來出現(xiàn)的后現(xiàn)代主義思潮的反叛精神不謀而合。由此，具有統(tǒng)一性、普遍性特征的經(jīng)典數(shù)學發(fā)生裂變，呈現(xiàn)出內(nèi)容多元化、方法多樣化和研究對象邊緣化的后現(xiàn)代主義特征。

數(shù)學哲學;后現(xiàn)代主義;非歐幾何;數(shù)學基礎運動

如果說“自然界按數(shù)學方式設計”的信念是古代先賢們的哲學幻想，那么，文藝復興以來，數(shù)學與自然科學的緊密結(jié)合以及它在解釋自然方面的巨大成功則使這一幻想得到了有力的證據(jù)支持。作為近代科學的標志，伽利略將數(shù)學方法應用于物理學，從而使科學獲得了巨大的能量。從此，以數(shù)學方式構(gòu)成的理念世界開始偷偷摸摸取代了實在的經(jīng)驗世界，其結(jié)果是人們對數(shù)學的理解和崇拜達到了前所未有的高度，逐步形成了現(xiàn)代性的數(shù)學觀。在這種認識范式之下，數(shù)學更多地被看做絕對的、超越歷史的“邏輯文本”，其要旨是本體論上的“柏拉圖主義”和形而上學;認識論上的基礎主義和表象主義;而在方法論上則是簡單論、決定論和還原論［1］。這種認識不僅對數(shù)學，而且對科學及哲學的發(fā)展產(chǎn)生了深遠的影響。然而，從對現(xiàn)代性的批判中崛起的后現(xiàn)代思潮卻表達了較為激進的觀點。在后現(xiàn)代語境中，人類以往創(chuàng)造的所有知識的合法性和真理性都受到了批判和詰問，由此，后現(xiàn)代主義者走上了對真理性和基礎性、普遍性的消解甚至否定之路。當絕對真理、“巨型敘事”、“邏各斯”中心主義、形而上學和本質(zhì)主義遭到質(zhì)疑之時，作為現(xiàn)代性和科學真理的典范——數(shù)學，理所當然成為眾矢之的，被推到了風口浪尖。

其實，數(shù)學作為西方歷史和文化的制造場所(M.克萊茵語)，一直是西方哲學的隱秘根源，這其中也包括后現(xiàn)代哲學。數(shù)學是人類思想中更為能動、自覺的部分，它更為敏感、更具有“先見之明”，并不像后現(xiàn)代主義者所批評的那樣固守絕對、基礎、普遍的現(xiàn)代主義藩籬，相反，數(shù)學在其知識的進化過程中，不論是其本身的研究對象，還是在數(shù)學家的自覺意識中，經(jīng)典理性主義和先驗性的真理模式、知識法則都已逐漸式微。換句話說，數(shù)學內(nèi)部的裂變早已孕育著后現(xiàn)代的故事，而這不僅影響了后來的后現(xiàn)代思潮，而且也開創(chuàng)了數(shù)學研究的新時代。

一、非歐幾何——后現(xiàn)代的先聲

兩千多年來，歐氏幾何一直被人們奉為精確的典范和真理的化身。解析幾何將代數(shù)方法引入幾何學，從而在很長一段時間使傳統(tǒng)的綜合方法淡出了人們的視野，但歐氏幾何本身的內(nèi)容并未因此而改變，它在數(shù)學乃至科學界的神圣地位也未動搖。許多數(shù)學家都相信歐氏幾何是絕對真理，例如，牛頓的老師巴羅認為，它概念清晰、地位明確，公理直觀可靠，而且普遍成立，公設清楚可信，易于想象，證明順序自然，因而他極力主張將數(shù)學包括微積分都建立在幾何學的基礎之上。受這種思想的影響，牛頓的微積分著作中充斥著濃厚的幾何氛圍。就連笛卡爾發(fā)明解析幾何后仍堅持對每一個幾何作圖都給出綜合證明。近代哲學家霍布斯、洛克、斯賓諾莎都從不同的出發(fā)點認為歐氏幾何是普遍和必然的真理。康德以歐氏幾何為基礎建立自己的時空觀和真理論，他認為歐氏幾何和牛頓力學適用于一切的經(jīng)驗對象，具有普遍的必然性和有效性，幾何公理及其邏輯推論是先天綜合判斷［2］?？档乱韵忍鞎r空觀和人類心智的直覺為基礎構(gòu)建的哲學理論使數(shù)學，進而使一切形而上學走上了必然之路。牛頓力學的成功表明，簡單的數(shù)學模型可以描述出整個星空的奧妙。拉普拉斯甚至宣稱，只要知道一個微粒(原子)在某一時刻的位置和速度，就能計算出世界的過去和未來。這種“拉普拉斯妖”的大膽設計所表現(xiàn)出的追求精確度和明晰性的科學理想，令那個時代的人們激情澎湃。這種理想不僅在后來的電磁學、流體力學、空氣動力學等研究中一次次變?yōu)楝F(xiàn)實，而且，它還遠遠超出自然科學的界限成為啟蒙時代的普遍文化追求［3］。例如，萊布尼茲就曾試圖發(fā)明一種“萬能數(shù)學”，以便用計算代替思考。他認為哲學家之間也正如兩個會計之間一樣無須爭論，只須計算一下就可以解決問題。至此，基于數(shù)學客觀性、真理性基礎上的數(shù)學霸權(quán)主義在哲學家的反思和科學家的實踐中最終“鑄造”成型，用后現(xiàn)代的語言比喻，正是利奧塔所稱的“元敘事”、“真理的白色恐怖”，羅蒂所稱的“大寫的真理”或褔軻所謂“大監(jiān)獄”。

然而，這個近乎科學“圣經(jīng)”的歐氏幾何并非無懈可擊。事實上，從古希臘時代開始，善于批判和反思的數(shù)學家就一直沒有放棄對它的公理和定理體系的審視，歐幾里得本人甚至在他的幾何體系公開之前就一直猶豫不決，這從他對平行公理和直線概念的使用上可以看出來。18世紀的數(shù)學家薩凱里、克呂格爾、蘭伯特等人以第五公設為基礎的研究卓有成效，他們的工作已非常接近非歐幾何的大門，但2000多年的習慣思維使他們沒有足夠的能力對其重要性作出判斷。19世紀初，高斯以其超人的智力觸摸到了非歐幾何的真諦，然而，他沒有勇氣走出康德哲學的陰影，因而，也不敢公開發(fā)表他的成果。羅巴切夫斯基和鮑耶的勇敢精神也在長時間內(nèi)為當時數(shù)學界所忽視［4］。可見，歐氏幾何的觀念在人們心目中的地位是如此根深蒂固，以與此相悖的任何思想都被拒之門外，這種“霸權(quán)主義”在一定程度上嚴重束服了人們的思維和數(shù)學的發(fā)展。

非歐幾何以平行公設的否命題和歐氏幾何其他公理為公理集合，邏輯地推導出它的全部定理，并在19世紀末逐步得到了理解和認可，在數(shù)學界引起了一場不小的震動。它在肯定了歐氏幾何第五公設獨立性的同時也動搖了長久以來人們把歐氏幾何作為唯一的、先驗的、必然性的幾何學觀點，進而推翻了人們對數(shù)學真理客觀性、終極性、永恒性的盲目崇拜。具體地說，首先，作為理論學科，歐氏空間并不是對物理空間的精確描述，而是建立于其上的思想體系。我們可以把這種體系看成是一種符合邏輯的主觀構(gòu)造，其中數(shù)學公理的選擇不必考慮它與現(xiàn)實的一致性或視覺的吻合性，而是合乎推理程序的理性與歷史的共同抉擇。由此，2000年來經(jīng)過數(shù)學家、科學家和哲學家的不斷“祛魅”而形成的抽象性或神性的產(chǎn)物——數(shù)學終于向“人性”回歸。其次，建立在物理空間命題基礎之上的思想體系與物理空間雖然不同，但卻能借助數(shù)學空間對物理空間進行思考，當它適合經(jīng)驗事實和滿足科學需要時，還可以進一步應用在科學研究中。隨著科學研究范圍的擴充，這種數(shù)學空間必然被另一種更接近事實的空間所取代。1915年，愛因斯坦將黎曼幾何應用于廣義相對論，1947年，人們在心理學的研究中發(fā)現(xiàn)，視覺空間可以用羅巴切夫斯基幾何很好地予以描述。可見，作為描述宇宙物質(zhì)空間的幾何，歐氏幾何并不是唯一的形式，各種非歐幾何也可以描述宇宙空間，它們各自反映著現(xiàn)實世界的不同范圍和方面。最后，如果說非歐幾何的創(chuàng)立使數(shù)學失去了真理性基礎，那么，另一方面它也使數(shù)學去除了置于其上的沉重枷鎖，從此，數(shù)學走上了輕裝快速的發(fā)展道路，正如M.克萊茵所說:“數(shù)學的這一階段，使數(shù)學擺脫了與現(xiàn)實的緊密聯(lián)系，并使數(shù)學本身從科學中分離出來，就如同科學從哲學中分離出來，哲學從宗教中分離出來，宗教從萬物有靈論和迷信中分離出來一樣?！?非歐幾何使數(shù)學家逐漸明白，他們可以探索任何可能的問題，探索任何可能的公理體系，只要這樣的研究具有一定的意義，這種意義主要在于理論方面。受抽象思想和邏輯思維支配，數(shù)學家可以充分發(fā)揮他們的創(chuàng)造力和想象力，創(chuàng)造出眾多的“數(shù)學作品”。19世紀以來，數(shù)學活動的大量擴張，以及在數(shù)學發(fā)現(xiàn)中的唯美傾向就是這種影響的反映。

總之，非歐幾何的誕生瓦解了長久以來關于數(shù)學是絕對真理的神圣信念，數(shù)學公理的選擇不再是唯一的，它也不具有絕對意義而只具有相對意義。因此，非歐幾何被視為幾何學中的“哥白尼革命”，標志著數(shù)學現(xiàn)代性的衰落和后現(xiàn)代思想的萌芽。

二、數(shù)學基礎運動——后現(xiàn)代的強音

非歐幾何使數(shù)學沖破了反映論、真理符合論的束縛，剝離了其同客觀現(xiàn)實的關系，進而使其走下“真理的神壇”，逐漸轉(zhuǎn)向抽象、可能的形式推理和計算的途徑，表現(xiàn)出數(shù)學中的語言學轉(zhuǎn)向。在這一時期，數(shù)學家們除了各種非歐幾何外，還創(chuàng)造出了諸如非阿基米德幾何、非勒讓德幾何、非黎曼幾何、有限幾何等眾多新作品，并且將二維、三維幾何學推廣到n維、無限維幾何學。基于同樣的思想，數(shù)學家還建立了突破人們傳統(tǒng)觀念的哈密頓四元數(shù)、享廷頓數(shù)系等奇異數(shù)系和非標準分析。這種研究理想、可能結(jié)構(gòu)的趨勢首先表現(xiàn)在幾何中;其次表現(xiàn)在數(shù)學的其他分支中，其本質(zhì)上是對“證據(jù)真理”的逐漸放棄。那么，數(shù)學理論的合法性又在哪里呢?當F·克萊茵簡潔的模型將非歐幾何的相容性問題與歐氏幾何的相容性問題緊緊捆綁在一起的時候，現(xiàn)代性數(shù)學觀的強大慣性又迫使數(shù)學家展開為數(shù)學尋找內(nèi)部基礎的新一輪的努力。隨著非歐幾何相對相容性的證明以及分析算術(shù)化運動的進一步推進，希爾伯特將歐氏幾何的相容性歸結(jié)為自然數(shù)算術(shù)系統(tǒng)的相容性，并最終歸結(jié)為集合論的相容性。然而，集合悖論使這些努力不得不停下腳步，并引發(fā)了上個世紀的數(shù)學基礎主義運動。在這次運動的主角——三大學派中，直覺主義和形式主義從正、反兩方面揭示出的數(shù)學的超越現(xiàn)代性或是某些后現(xiàn)代的特征值得深思。

形式主義的代表人物希爾伯特提出了在充分形式化和徹底公理化的基礎上重新奠定數(shù)學的堅實基礎，以加固這座業(yè)已傾斜的經(jīng)典理性主義大廈。他確信，所有的數(shù)學定理都可以在這個形式系統(tǒng)中得到證明和解釋，因而，所有的數(shù)學真理也就找到了安身立命的根本。為此，希爾伯特提出他的形式主義綱領，其要旨是首先將數(shù)學理論組成純形式系統(tǒng)，然后再根據(jù)有限的方法證明這一系統(tǒng)的無矛盾性，后者是問題的核心。在希爾伯特看來，一旦證明了算術(shù)系統(tǒng)和集合論的無矛盾性，整個數(shù)學的無矛盾性即可解決，他的雄偉計劃也就可以完全實現(xiàn)。

希爾伯特的形式主義思想既是對他所從事的數(shù)學工作的反思，同時也深深地印上了現(xiàn)代理性主義的烙印。笛卡爾以“我思故我在”的哲學命題把人們追求知識確定性的視角從自然引向人，這里的人作為認識主體，其本質(zhì)是理性。在康德哲學中，直覺的先天性使理性具有了普遍必然性，也因此成為一切知識的合法性、統(tǒng)一性的基礎，并由此導致了人們對知識的絕對、封閉和完備性的追求。與此同時，當理性在被普遍化的同時也使主體具有了抽象性，當黑格爾將主體等同于造物主時，作為主體的人已被推到至高無上的絕對存在，人性異化為神性，成為一個無所不能，又虛無縹緲的現(xiàn)代性神話。?？抡J為，主體性哲學把主體變成了共相，使其普遍地帶有一種規(guī)范性，所謂主體性就是使個體性服從定義真理和科學的普遍價值，服從普遍的行為規(guī)范，因而使個體受到限制，失去了自由［6］。理性萬能在本質(zhì)上就是語言萬能，它在主宰一切的同時也成為理性的擁有者——主體的掘墓者，這就是現(xiàn)代理性主義的悖論?？茖W，尤其是數(shù)學中的公理化、形式化傾向集中地體現(xiàn)了這種現(xiàn)代性語境的影響。

當希爾伯特著手實施自己的形式主義計劃時，哥德爾于20世紀30年代證明的不完全定理以及稍后發(fā)表的勒文海姆—斯科倫定理卻完全否定了這種設想的可能性。前者斷言，如果一個形式理論足以容納數(shù)論且無矛盾，則它是不完備的，由此得到的推論進一步說明，對任一形式公理系統(tǒng)，其相容性無法在本系統(tǒng)內(nèi)得到證明。后者則指出，滿足相容性的形式公理系統(tǒng)可以存在多種本質(zhì)不同的模型或解釋。這兩個在數(shù)學、邏輯乃至整個思想界都具有劃時代意義的定理表明，任何一組公理既不能證明它們所覆蓋的數(shù)學方向的全部內(nèi)容，也無法確定該公理系統(tǒng)的實質(zhì)。那種把數(shù)學置于僵化的、機械的、教條的終極法則之下，把一切已有的和可能的數(shù)學知識歸結(jié)為固定的、唯一的、不變的、可還原的基礎主義幻想終究無法實現(xiàn)。另一方面，哥德爾等人的結(jié)論也為形式化的理性思維劃定了一個界限，正如加拿大數(shù)學哲學家塔西奇所說，“理性中心論數(shù)學的不可靠性不僅在于它傲慢地輕視個體的人及其實際上所做的，還在于它用抽象的邏輯步驟代替了在人的心靈中持續(xù)進行的創(chuàng)造性過程，而前者已經(jīng)越過了它合法應用的范圍”［7］55。理性思維、形式化方法或數(shù)學“文本”、數(shù)學語言的邏輯運動并不是數(shù)學的全部，數(shù)學的每一個活動都具有某種藝術(shù)的品質(zhì)，即它的唯一性、個體性、異質(zhì)性或不可通約性，在形式化語言(自然語言和數(shù)學語言)不能到達的地方，非形式化語言發(fā)揮著特有的作用，而這種作用是無法還原或言說的。

如果說哥德爾不完全定理蘊涵的后現(xiàn)代思想是隱秘的，那么，以布勞威爾為代表的數(shù)學基礎運動的另一學派——直覺主義則具有明顯的后現(xiàn)代傾向。直覺主義者把數(shù)學建立在直覺的基礎之上，這與現(xiàn)代理性主義、基礎主義的思想殊途同歸。然而，直覺主義者所說的直覺與康德哲學中的直覺有本質(zhì)的不同，前者是指我們對單純時間流動的內(nèi)省，是最原始的直觀，與空間沒有關系，而后者是對時間和空間的直覺。問題的關鍵就在這里?？档抡軐W或傳統(tǒng)“理性中心論”往往按照對待空間的方式對待時間，將其劃分為“點”或“片刻”，從而使其具有了分析性或還原性，但是，直覺主義的代表人物布勞威爾把直覺描述為人類心靈的基本現(xiàn)象，是處于不斷消逝和不斷生成間的破碎的“生命瞬間”，這種瞬間永遠不能被分離出來［7］55。由此，我們看到了直覺主義思想中的后現(xiàn)代“幽靈”。首先，是對邏輯還原論和傳統(tǒng)理性主義的超越。直覺主義肯定了數(shù)學活動中人的創(chuàng)造性，這種創(chuàng)造性是人的意志的直覺，是人的內(nèi)心對時間連續(xù)統(tǒng)的直覺，數(shù)學文本是對這種直覺的解釋活動，它可以受語言的指引，受法則的規(guī)范，或者被后驗地理性化，但不能被“機械化”還原。同時，直覺主義也認為數(shù)學本質(zhì)上是超越語言或無語言，因為語言在某種意義上是離散的，不能用來表達連續(xù)的數(shù)學直覺，沒有語言，無以言說，數(shù)學的理性化、形式化也就成為不可能。其次，是對基礎主義的反叛。直覺主義認為直覺構(gòu)造是一個自發(fā)的，自由的、真正的個人的選擇，具有個體性和不可通約性，而且是一個持續(xù)的、不斷生成，具有開放性和不確定性的過程，那么也就不可能存在一個既有的、終極的、不變的、總體的數(shù)學基礎存在。最后，是對結(jié)構(gòu)主義的解構(gòu)，在這個意義上直覺主義是與后結(jié)構(gòu)主義有某種深刻聯(lián)系的。結(jié)構(gòu)主義旨在探索和建構(gòu)一種普遍適用的、現(xiàn)象背后的深層的結(jié)構(gòu)，并最后落實到二元對立上。后結(jié)構(gòu)主義，或者說解構(gòu)主義對我們長期以來形成的二元對立的思維方式(比如說非此即彼、非好即壞這樣的思維方式)持批評態(tài)度。由于直覺主義堅持數(shù)學命題是在有限步驟內(nèi)的直覺構(gòu)造，因此，拒絕使用涉及到“實無窮”的排中律，而排中律是二元思維和“同一性”邏輯的基本原理［8］。

三、后現(xiàn)代數(shù)學

非歐幾何使數(shù)學擺脫了現(xiàn)實世界的束縛，從此走上自由發(fā)展的道路。而哥德爾對數(shù)學基礎的審視終結(jié)了數(shù)學的理性主義神話。如果說非歐幾何的創(chuàng)立具有偶然性的話，那么哥德爾不完全定理和數(shù)學直覺主義則是數(shù)學家的自覺意識。數(shù)學的這兩次自我解構(gòu)深刻地表明，在認識論上囿于還原論、本質(zhì)主義、“邏各斯”中心主義、宏大敘事的，追求封閉性、嚴密性和確定性的數(shù)學知識根本不存在，關于數(shù)學真理的基礎主義和絕對主義也是徹頭徹尾的一相情愿，經(jīng)典的形而上學數(shù)學觀業(yè)已破產(chǎn)。利奧塔認為現(xiàn)代科學的實質(zhì)是“決定論”，而現(xiàn)代“巨型敘事”的衰落及其合法性危機意味著“決定論”的失敗，意味著基礎主義、普遍主義、本質(zhì)主義的失敗。利奧塔斷言，知識的模式已經(jīng)發(fā)生改變，舊的知識已不再處于霸主地位，后現(xiàn)代科學正在興起。什么是后現(xiàn)代科學，利奧塔認為，后現(xiàn)代科學主要關心突變、非決定性、語義學悖論、精確控制的局限性和信息不完全對稱下的沖突等。與現(xiàn)代的基礎主義、普遍主義和本質(zhì)主義的科學觀不同，后現(xiàn)代的科學觀是非連續(xù)的、突變性的和悖謬的 。那么，數(shù)學是否如科學一樣，也正在步入后現(xiàn)代的殿堂。事實上，從上世紀中葉以來，數(shù)學從概念到理論體系都一直處于變革之中，并呈現(xiàn)出較為明顯的后現(xiàn)代特征。具體主要表現(xiàn)在三方面。

首先，是數(shù)學發(fā)展的多元化趨勢。數(shù)學經(jīng)過近代與物理學緊密結(jié)合的經(jīng)驗發(fā)展，再到19世紀和20世紀初的形式化、公理化發(fā)展，表現(xiàn)為具有統(tǒng)一基礎的總體發(fā)展模式。但在20世紀中葉以后，數(shù)學分裂為經(jīng)驗和理論兩個方向并走向同時繁榮的局面。一方面，數(shù)學在集合論和公理化方法兩大因素的推動下越來越向抽象化發(fā)展。二者相互結(jié)合孕育了抽象代數(shù)、拓撲學、泛函分析等新的抽象分支，同時又引發(fā)了一些傳統(tǒng)數(shù)學分支(如概率論)的革新。數(shù)學的核心領域不斷拓展，研究對象不斷擴張。可以說，現(xiàn)代數(shù)學不僅研究現(xiàn)實世界的空間形式與數(shù)量關系，而且研究一切可能的空間形式與數(shù)量關系。在更廣泛的意義上，數(shù)學已經(jīng)被看做是關于“模式”(pattern)的學科，包括數(shù)的模式，形的模式，運動與變化的模式，推理的模式，行為的模式……這些模式既可以是現(xiàn)實的，也可以是想象的;既可以是定量的，也可以是定性的，等等［10］。另一方面，數(shù)學在實踐中的應用正以前所末有的速度擴展和深化?！皵?shù)學物理”、“數(shù)理化學”、“生物數(shù)學”、“數(shù)學地質(zhì)學”、“數(shù)理氣象學”……一連串交叉學科的形成說明了數(shù)學向其他自然科學領域滲透的廣度。而純粹數(shù)學中的一些新成果與其他科學的許多前沿領域的快速結(jié)合，則反映了數(shù)學滲透的深度。除了自然科學，在經(jīng)濟學、社會學、歷史學等過去認為不適用數(shù)學的社會科學部門，數(shù)學方法也開辟了廣闊的用武之地。數(shù)學正在向社會科學和文化藝術(shù)領域廣泛滲透，這是數(shù)學應用不同于以往時代的嶄新趨勢。數(shù)學與一些社會科學領域相結(jié)合也產(chǎn)生了一系列交叉學科，如數(shù)理經(jīng)濟學、數(shù)理語言學、數(shù)學考古學、史衡學等等。數(shù)學這種內(nèi)部結(jié)構(gòu)逐漸松散，外部邊界逐漸模糊的特征正是由非歐幾何所引起的數(shù)學中的“去中心化”或“邊緣化”發(fā)展趨勢的真實寫照［11］。

其次，由于計算機的影響而使數(shù)學研究方法多樣化。計算機提高了運算速度，減輕了數(shù)學家的計算和重復性工作僅僅是事情的一個方面，更重要的方面是計算機應用過程中所凝練成的新的研究方法對數(shù)學歐幾里得范式的嚴重挑戰(zhàn)，這就是數(shù)學實驗。數(shù)學實驗以計算機為工具，通過大量的個例歸納、搜尋和檢驗來獲取數(shù)學結(jié)論。數(shù)學形式系統(tǒng)的局限性說明在原則上或理論上，我們并不能獲得嚴格意義的結(jié)論，數(shù)學中存在不可證明的命題，但這些命題又是有價值的，數(shù)學實驗方法可以通過歸納、檢驗和模擬等全新的方法為這些命題的合法性提供當下最大程度的保證。在這個過程中，歸納法堂而皇之進入了數(shù)學研究過程，改變了長久以來一直占主導地位的數(shù)學是一門演繹科學的觀點。實驗數(shù)學對傳統(tǒng)數(shù)學真理觀的沖擊可謂最大，這主要表現(xiàn)在“概率性真理”這一概念，即在數(shù)學中把并末徹底嚴格證明而只是在概率意義上為真的命題作為數(shù)學定理引入。數(shù)學的發(fā)展表明所謂數(shù)學知識的嚴格性和絕對性只是一個現(xiàn)代主義的迷夢，數(shù)學中充滿了矛盾和問題，在哪里發(fā)現(xiàn)就修改到哪里，并修改到當時所能接受的程度為止，其實這就是我們所能做的一切。

第三，數(shù)學研究領域的邊緣化。20世紀以來數(shù)學發(fā)展過程中許多重大理論突破和創(chuàng)新都表現(xiàn)出數(shù)學研究從永恒的、終極的、整體的宏大目標轉(zhuǎn)向?qū)植康?、相對的、邊緣化的、奇異和非常態(tài)目標的追求，如模糊數(shù)學、突變理論、分形與混沌理論等［12］。當生命系統(tǒng)、生態(tài)系統(tǒng)、社會系統(tǒng)和極為復雜的人類思維本身進入科學的研究視野，經(jīng)典數(shù)學模型逐漸顯示出其局限性。因為這些對象不同于以往簡單化、線性化的機械系統(tǒng)，它們是非線性多變量的復雜系統(tǒng)，用經(jīng)典數(shù)學和二值邏輯無法刻畫和描述其演化發(fā)展過程。于是模糊數(shù)學、混沌理論這樣一些新的數(shù)學分支應運而生，它們描述了傳統(tǒng)數(shù)學無法把握的關于對象類屬和性態(tài)的不確定性、偶然性和隨機性。傳統(tǒng)幾何學一般研究1、2、3維，并且是光滑、連續(xù)的圖形，而分形幾何描繪、計算和思考分數(shù)維圖形的幾何性質(zhì)，它們是不規(guī)則的、凹凸不平的、零散分布的、支離破碎的圖形。分形學不僅研究自然分形，而且將這種方法推廣到社會、思維和對時間的研究中，產(chǎn)生了社會分形、思維分形、時間分形等研究領域，這是以往數(shù)學無法涉足的。

后現(xiàn)代數(shù)學，在本質(zhì)上說是一種數(shù)學觀念、思維和處理數(shù)學問題的方式，就這個意義上來說，“后現(xiàn)代數(shù)學”的提法顯得過于倉促，數(shù)學的后現(xiàn)代時代也沒有到來。因為面對數(shù)學研究對象、方法和數(shù)學發(fā)展中出現(xiàn)的種種后現(xiàn)代傾向，我們?nèi)匀痪窒拊诂F(xiàn)代性數(shù)學的思維范式之下，尋找數(shù)學理論的統(tǒng)一、總體的基礎，熱衷于給出數(shù)學命題的絕對、嚴格的證明，用簡單、線性的數(shù)學方程去刻畫復雜、有機的系統(tǒng)，用各種線性近似作為保護帶來解決非線性問題等等，仍然構(gòu)成當前數(shù)學工作的主流。未來數(shù)學或“后現(xiàn)代數(shù)學”將是什么樣子，標題中的“?”說明我們的迷茫與困惑，或許“我預言我不能預言”正是“后現(xiàn)代數(shù)學”不同于現(xiàn)代數(shù)學的一面。但數(shù)學還是有自己的發(fā)展規(guī)律，后現(xiàn)代并不意味著絕對的“斷裂”，“后現(xiàn)代數(shù)學”也必定要依賴現(xiàn)代數(shù)學的成就。因此，立足于當前數(shù)學實踐，洞悉數(shù)學發(fā)展的脈搏，并作出及時的、符合實際情景的思維和方法轉(zhuǎn)換，我們就將更容易收獲“后現(xiàn)代數(shù)學”的勝利果實。

［1］黃秦安.后現(xiàn)代主義的數(shù)學觀及其認識［J］.自然辯證法研究，2006，(4).

［2］李文林.數(shù)學史教程［M］.北京:高等教育出版社，2000:276.

［3］吳煒.科學哲學與文化價值［J］.自然辯證法研究，2003，(1).

［4］馮進.非歐幾何發(fā)展中若干認識論問題［J］.科學技術(shù)與辯證法，2003，(6).

［5］M·克萊因.西方文化中的數(shù)學［M］.張祖貴，譯.上海:復旦大學出版社，2004:430.

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［7］塔西奇.后現(xiàn)代思想的數(shù)學根源［M］.蔡仲，戴建平，譯.上海:復旦大學出版社，2005.

［8］黃秦安.布勞威爾數(shù)學哲學思想中的后現(xiàn)代萌芽及其對維特根斯坦的影響［J］.自然辯證法研究，2008，(2).

［9］姚大志.科學的合法性:現(xiàn)代與后現(xiàn)代［J］.華東師范大學學報，2004，(1).

［10］徐利治.徐利治談數(shù)學哲學［M］.大連:大連理工大學出版社，2008:155－170.

［11］呂乃基.論后現(xiàn)代科學［J］.自然辯證法研究，2000，(7).

［12］黃秦安.論數(shù)學真理觀的后現(xiàn)代轉(zhuǎn)向［J］.自然辯證法研究，2003，(5).

［責任編輯 袁曉霞］

Post－modern Perspective of Modern Mathematics

ZHANG Jun-qing1，WANG Bao-hong2

(1.Department of Mathematics，Changzhi College，Shanxi Changzhi 046011，China;2.Research Center of Science and Technology philosophy，Shanxi University，Taiyuan 030006，China)

The birth of non － Euclidean geometry collapsed people＇s holy faith that mathematic truth is objective，so that mathematics was emancipated from the material world.G?del＇s incompleteness theorem and mathematical intuitionism show that there is an inherent limitation in the mathematical formal theory from the opposite two sides and that the mathematical proposition is really elusive as a logic truth.The two self－deconstructions of mathematics happen to coincide with the rebellious spirit of the post－ modernist trend.Thus，the classic mathematics goes to split from the Characteristics of the unity and universality to the Post－modern trend，showing that the content is diverse，the method is different and the object of study is non－centralized.

mathematics philosophy;post－modern trend;non－Euclidean geometry;mathematics sports

N031

A

1009-1971(2010)02－0008－06

2009－11－12

山西省高等學校哲學社會科學研究項目(200922040)

張俊青(1971－)，男，山西保德人，講師，從事數(shù)學哲學、數(shù)學史研究;王保紅(1973－)，女，山西交城人，博士研究生，講師，從事數(shù)學史，科學史研究。