程毛林

(蘇州科技學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，江蘇 蘇州 215009）

0 引言

在很多實(shí)際問題中，有時(shí)采集的歷史數(shù)據(jù)不多，因而多數(shù)統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)方法的效果往往不理想，而灰色預(yù)測(cè)方法特別適合于貧信息場(chǎng)合，在原始時(shí)間序列點(diǎn)數(shù)較少的情況下仍能作出很好的預(yù)測(cè)，尤其適合于原始數(shù)據(jù)近似符合指數(shù)規(guī)律變化且變化速度不是很快的場(chǎng)合，但通常建立的灰色模型如常用的GM（1，1）模型處理的是等間隔時(shí)間序列，在其它時(shí)間序列預(yù)測(cè)模型中如移動(dòng)平均法、指數(shù)平滑法等也要求數(shù)據(jù)為等間隔時(shí)間序列。然而，在某些問題的考察中，原始數(shù)據(jù)為非等間隔時(shí)間序列，本文就此問題作些探討，對(duì)非等間隔時(shí)間序列分別為單調(diào)型和起伏型建立灰色模型。

1 不等間隔動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)的灰色建模方法

1.1 單調(diào)型序列灰色建模

事物的發(fā)展大體上分為單調(diào)型和起伏型兩大類，單調(diào)型是指事物隨著時(shí)間呈遞增態(tài)勢(shì)，設(shè)單調(diào)型序列為不等間隔動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)，記為其中為第ti年的數(shù)值，這里首先假定X(0)為非負(fù)遞增型時(shí)間序列。

對(duì)X(0)進(jìn)行一次累計(jì)計(jì)算，得生成序列：

這是連續(xù)型微分方程模型，下面關(guān)鍵是估計(jì)出b0，b1為此需要進(jìn)行離散化。這里設(shè)X(0)作一次累計(jì)。(1）式為

由差分和微分的關(guān)系

Δt+εt得

這樣得到灰色預(yù)測(cè)模型為

若序列是遞增的，但其值是負(fù)的或開頭的某些值是負(fù)的，則只要將數(shù)據(jù)作轉(zhuǎn)換就得到一個(gè)非負(fù)的遞增序列。若序列是遞減的，則只要作轉(zhuǎn)換就可得到遞增序列，上式M為常數(shù)，按數(shù)據(jù)量級(jí)取某一值。

1.2 起伏型序列的灰色建模

若原始序列為不等間隔起伏型動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)，在呈近似指數(shù)規(guī)律變化同時(shí)，還呈現(xiàn)周期性的波動(dòng)。記原始序列為為第 ti年的數(shù)值。

對(duì)X(0)進(jìn)行一次累計(jì)計(jì)算，得生成序列：

規(guī)定ω0=0，為求（3）式的解，我們先給出一般變系數(shù)線性微分方程設(shè)數(shù)據(jù)累加后X(1)滿足微分方程的解.

滿足初值問題的特解為

對(duì)（3）式，fi(t)=aicos(ωit)+bisin(ωit)

這樣（3）式的解為

于是由

得到原始序列預(yù)測(cè)值。

現(xiàn)在需要對(duì)式（3）中未知變量 a、a0、a1、b1、a2、b2…am、bm、ω進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。這里給出線性化估計(jì)方法。先給出ωk的取值，N'為的 1≤N'≤N 某數(shù)值，可以通過多取幾個(gè)值，建立模型后比較誤差選取N'。

（3）式改寫成

式中

表1 蘇州虎丘塔傾斜觀測(cè)值及預(yù)測(cè)結(jié)果

這樣求出 a、a0、a1、b1、a2、b2…am、bm

于是得到（6）式，再由得原始序列的估計(jì)值。

2 不等間隔動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)的灰色建模應(yīng)用于蘇州虎丘塔傾斜預(yù)測(cè)

虎丘塔現(xiàn)有形變監(jiān)測(cè)系統(tǒng)近年來建立,近年來對(duì)虎丘塔的監(jiān)測(cè)一直在進(jìn)行，積累了大量的觀測(cè)數(shù)據(jù)。本文采用塔基加固以后的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理和分析，討論虎丘塔維修以后至今塔體傾斜的發(fā)展趨勢(shì)。由于第八層（最頂層）的形變量代表了虎丘塔的最大形變，是判斷虎丘塔傾斜量的主要指標(biāo)（見表1），這里就第八層的形變量進(jìn)行預(yù)測(cè)，由于觀測(cè)的數(shù)據(jù)是不等間隔時(shí)間序列，所以采用本文方法。

從表1中的數(shù)據(jù)可以看出時(shí)間序列在緩慢上升的同時(shí)，還存在季節(jié)性的變化（溫度、雨量等季節(jié)性干擾）。

這里取 ωk=2πk/7(k=1,2,3，4)

由（8）式計(jì)算得

于是

[1]魏風(fēng)英等.長(zhǎng)期預(yù)測(cè)的數(shù)學(xué)模型及其應(yīng)用[M].北京：氣象出版社，1990.

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