插值節(jié)點(diǎn)不完全具有導(dǎo)數(shù)信息的 Hermite插值算法

□高 紅

( 國(guó)家廣電總局725臺(tái)，山西 榆次 030600)

不少實(shí)際的插值問(wèn)題不但要求在各插值節(jié)點(diǎn)上插值多項(xiàng)多式函數(shù)與原函數(shù)的函數(shù)值相等，而且還要求對(duì)應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值也相等，甚至要求更高階的導(dǎo)數(shù)相等。在所有節(jié)點(diǎn)上具有同階導(dǎo)數(shù)信息，且要求插值函數(shù)與被插函數(shù)對(duì)應(yīng)的同階導(dǎo)數(shù)相等的Hermite插值問(wèn)題研究已經(jīng)有了良好的算法設(shè)計(jì)，也有學(xué)者研究不是所有的節(jié)點(diǎn)上都要求插值函數(shù)與被插函數(shù)導(dǎo)數(shù)值相等的問(wèn)題，文獻(xiàn)僅給出了導(dǎo)數(shù)相等的節(jié)點(diǎn)是有序節(jié)點(diǎn)集中相鄰節(jié)點(diǎn)的情況。本文提出的插值節(jié)點(diǎn)不完全有導(dǎo)數(shù)信息的Hermite插值算法(簡(jiǎn)稱(chēng)IDIH)，研究了插值節(jié)點(diǎn)集中部分節(jié)點(diǎn)上插值多項(xiàng)式與被插函數(shù)導(dǎo)數(shù)相等的情況。

一、插值節(jié)點(diǎn)不完全有導(dǎo)數(shù)信息的Hermite插值算法

1.問(wèn)題描述

f(x)∈C1[a,b]，設(shè)x0

xj∈Ω1時(shí)，H(xj)=yjj=1,2,3…n；xij∈Ω2時(shí)，H′(xij)=mjj=0,1,2…r (1)

可以證明滿足條件(1)的次數(shù)≤n+r+1多項(xiàng)式H(x)是唯一的。證明：因(1)中包含n+r+2個(gè)條件，所以能夠確定次數(shù)≤n+r+1的代數(shù)多項(xiàng)式H(x)，用反證法，假設(shè)P(x)與H(x)一樣均滿足條件，且次數(shù)≤n+r+1，于是：φ(x)=H(x)-P(x)也是次數(shù)≤n+r+1的多項(xiàng)式，但φ(x)關(guān)于集合Ω2中點(diǎn)是二重零點(diǎn)，關(guān)于集合Ω1-Ω2中點(diǎn)是一重零點(diǎn)，共n+r+2個(gè)零點(diǎn)，故φ(x)≡0，唯一性得證。

2.H(x)的構(gòu)造

其中：

βk(xj)=0 j=0,1,2,…n;k=0,1,2…r (4)

其中以xij標(biāo)出的節(jié)點(diǎn)屬于Ω2。

αk(x)和βk(x)為次數(shù)≤n+r+1的多項(xiàng)式。

顯然只要αk(x)和βk(x)符合以上條件必然使H(x)滿足插值條件(1)，注意到αk(x)為次數(shù)≤n+r+1的多項(xiàng)式和條件(3)和(5)：

利用αk(xk)=1可求出bk，可得：

注意到βk(x)為次數(shù)≤n+r+1的多項(xiàng)式和條件(4)和(6)：

將(7)(8)(9)代入(2)得相應(yīng)的Hermite插值多項(xiàng)式。

二、IDIH算法描述

㈠輸入Ω1各節(jié)點(diǎn)及相應(yīng)的相用函數(shù)值yj和Ω2各節(jié)點(diǎn)及相應(yīng)導(dǎo)數(shù)值mj，x；H=0

㈡對(duì)k=0,1,2,…n

若xk∈Ω2用(8)計(jì)算αk(x)

否則用(7)計(jì)算αk(x)

H=H+αk(x)×yk

㈢對(duì)k=0,1,2,…r

用(9)計(jì)算βk(x)

H=H+βk(x)×mk

三、實(shí)驗(yàn)結(jié)果

表1 初始數(shù)據(jù)信息

表2 IDIH計(jì)算示例

四、結(jié)束語(yǔ)

實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，IDIH方法在內(nèi)插值時(shí)精度可達(dá)到較高要求，可以證明當(dāng)f(x)∈Cn+r+2[a,b]，x∈[a,b]，其截?cái)嗾`差為：其中ξ∈[a,b]

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