基于有限元法的楔環(huán)參數(shù)概率約束優(yōu)化

杜宏偉 姚 進(jìn) 羊海濤

1.四川大學(xué),成都,610065 2.中國(guó)工程物理研究院總體工程研究所,綿陽(yáng),621900

0 引言

在一般的有限元結(jié)構(gòu)分析中,有限元問(wèn)題的所有參數(shù)是確定不變的,如幾何尺寸及拓?fù)湫螤?、材料屬性及載荷等,計(jì)算結(jié)果也是確定的。在實(shí)際產(chǎn)品中這些參數(shù)均由于制造和測(cè)量誤差、使用環(huán)境而具有隨機(jī)性,因此載荷對(duì)產(chǎn)品作用的實(shí)際結(jié)果也具有隨機(jī)性。利用有限元概率分析,將每個(gè)輸入?yún)?shù)視為服從一定分布的隨機(jī)變量,通過(guò)大量采樣點(diǎn)模擬其分布并進(jìn)行數(shù)值分析,獲得系列解,進(jìn)而計(jì)算輸出變量的分布及可靠度。在有限元概率分析的基礎(chǔ)上開(kāi)展可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì),目的之一是在產(chǎn)品工作可靠度不低于規(guī)定水平的條件下,其性能達(dá)到最佳。由于設(shè)計(jì)變量和參數(shù)具有隨機(jī)性,約束中含有概率約束,可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)模型比確定性優(yōu)化模型的求解困難得多。可靠性優(yōu)化模型按優(yōu)化目標(biāo)的不同可分為均值E模型、方差V模型、概率P模型、混合模型等。其中最有代表性且最常用的是E模型,這時(shí)的目標(biāo)函數(shù)可以表示尺寸、質(zhì)量、成本或某項(xiàng)性能指標(biāo)[1]。

楔環(huán)是近年來(lái)發(fā)展的用于圓筒連接的一種新型結(jié)構(gòu),該結(jié)構(gòu)連接緊湊、表面平順、拆卸方便,因而具有優(yōu)良的流體動(dòng)力學(xué)性能及維修性能,在魚(yú)雷部件連接中得以應(yīng)用。隨著整體厚度的減小,局部應(yīng)力及變形對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)及材料性能更為敏感,楔環(huán)結(jié)構(gòu)強(qiáng)度及剛度降低,工作可靠性隨之下降。卜廣志等[2]、毛昭勇等[3]利用楔環(huán)最大應(yīng)力解析式,視強(qiáng)度與應(yīng)力為正態(tài)分布的隨機(jī)變量,在強(qiáng)度可靠度約束下對(duì)楔環(huán)結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化,減小其厚度及體積;黃鵬等[4]采用有限元接觸分析及一階方法對(duì)楔環(huán)結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化,降低了應(yīng)力水平。前者的解析方法未考慮復(fù)雜的接觸問(wèn)題,后者的有限元分析未考慮結(jié)構(gòu)變量及狀態(tài)變量的隨機(jī)性。

本文利用有限元法對(duì)楔環(huán)在配合尺寸、材料性能偏差、載荷等不同條件下的強(qiáng)度、剛度進(jìn)行接觸仿真分析,采用響應(yīng)面中心組合(centrl composite)設(shè)計(jì)抽樣并擬合輸出變量的響應(yīng)面,獲得在設(shè)計(jì)參數(shù)范圍內(nèi)的二次多項(xiàng)式。在研究考慮概率約束的優(yōu)化問(wèn)題時(shí),以得到的簡(jiǎn)化模型為基礎(chǔ),采用一次二階矩方法將隨機(jī)約束等價(jià)轉(zhuǎn)換為確定型約束,然后求解確定性的優(yōu)化問(wèn)題,獲得滿足概率約束條件下的楔環(huán)厚度優(yōu)化結(jié)果。

1 概率優(yōu)化方法

本文的目的是在概率約束條件下對(duì)設(shè)計(jì)隨機(jī)參數(shù)均值進(jìn)行優(yōu)化,因此選擇概率優(yōu)化模型為均值E模型。對(duì)這種模型的求解,就是在概率可行域內(nèi)尋找E{f(X)}最小值時(shí)的設(shè)計(jì)點(diǎn)X*,即是概率優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的最優(yōu)解,其優(yōu)化模型如下：

式中,X為隨機(jī)設(shè)計(jì)變量和隨機(jī)參數(shù)(如材料性能)組成的向量;f(X)為目標(biāo)函數(shù);gu(X)為受概率約束的函數(shù);hu(X)為一般約束函數(shù)。

為便于優(yōu)化計(jì)算,采用一次二階矩法[5-6]將隨機(jī)約束等價(jià)轉(zhuǎn)換為確定型約束。

將gu(X)在均值處以泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi),并取其線性項(xiàng)：

則gu(X)的均值及標(biāo)準(zhǔn)差分別為

假設(shè)隨機(jī)約束函數(shù)gu(X)服從正態(tài)分布,則由隨機(jī)約束P{gu(X)≥0}≥au可得

即

則

若隨機(jī)約束為P{gu(X)≤0}≥au,則

2 分析模型

2.1 幾何模型

圖1所示為楔環(huán)結(jié)構(gòu)軸對(duì)稱(chēng)幾何模型,同時(shí)該結(jié)構(gòu)具有上下對(duì)稱(chēng)形式。楔環(huán)結(jié)構(gòu)主要由三部分組成：A、B件分別為開(kāi)環(huán)槽的被連接圓筒;C件為用于連接圓筒的環(huán)帶,由兩條楔狀環(huán)帶組合而成。兩條楔狀環(huán)帶通過(guò)外筒B表面局部U形孔穿入圓筒組合槽中并楔緊。裝配完成后環(huán)帶C上邊右段與圓筒B接觸,下邊左段與圓筒A接觸。在受軸向拉伸載荷作用下,A、B圓筒有脫開(kāi)趨勢(shì),通過(guò)環(huán)帶C上下兩邊分別與A、B接觸連接,此時(shí)環(huán)帶C處于擠壓狀態(tài)。由于圓筒變形及環(huán)帶滑移,環(huán)帶C左右邊均可能與圓筒接觸,因此總計(jì)設(shè)置4對(duì)接觸,如圖1a右視圖所示。

圖1 楔環(huán)模型及結(jié)構(gòu)變量

2.2 有限元模型

在軸向拉伸載荷下,楔環(huán)結(jié)構(gòu)中A、B件的結(jié)構(gòu)與受力具有一定相似性,楔環(huán)結(jié)構(gòu)參數(shù)縮減為4個(gè)(x1、x2、x3、x4),見(jiàn)圖 1b。根據(jù)ANSYS 軟件中APDL參數(shù)化設(shè)計(jì)語(yǔ)言編制概率分析程序[7],建立有限元參數(shù)化模型。4個(gè)結(jié)構(gòu)變量與材料屈服強(qiáng)度x5、軸向拉伸載荷 x6均為服從GAUSS(正態(tài))分布的輸入變量,見(jiàn)表1。為考察楔環(huán)連接結(jié)構(gòu)強(qiáng)度及剛度,確定輸出變量為強(qiáng)度與應(yīng)力之差SS(強(qiáng)度為材料屈服強(qiáng)度,應(yīng)力為最大von Mises等效應(yīng)力)、最大橫向(徑向)位移UX。

表1 輸入變量及分布

材料為 45鋼,根據(jù)雙線性隨動(dòng)強(qiáng)化材料(BK IN)設(shè)置參數(shù),模擬材料塑性行為、PLANE82軸對(duì)稱(chēng)單元。為避免結(jié)構(gòu)參數(shù)變化后網(wǎng)格密度差異對(duì)應(yīng)力結(jié)果的影響,不采用自適應(yīng)網(wǎng)格,通過(guò)線段單元份數(shù)控制網(wǎng)格尺寸,高應(yīng)力區(qū)網(wǎng)格加密。根據(jù)裝配接觸部位及受力后可能的變形接觸,按圖1a右視圖設(shè)置4對(duì)面-面接觸。接觸對(duì)設(shè)置參數(shù)法向剛度因子FKN=1,滲透容差因子FTOLN=0.1,摩擦因數(shù)MU=0.1。采用Augment Lagrange算法處理接觸、Full Newton Raphson法求解,計(jì)算時(shí)采用自動(dòng)時(shí)間步長(zhǎng)和線性搜索以保證求解效率和穩(wěn)定性[4]。

有限元概率分析過(guò)程如下：首先根據(jù)設(shè)計(jì)變量初值對(duì)參數(shù)化有限元模型進(jìn)行分析,提取輸出變量 SS及 UX,生成 APDL命令流文件 *.PDAN;然后初始化程序并重新讀入 APDL文件,進(jìn)入Prob Design進(jìn)行隨機(jī)輸入輸出變量設(shè)置、計(jì)算方法選擇、計(jì)算分析并處理結(jié)果。

3 計(jì)算分析

3.1 初始概率分析

采用 Monte Carlo計(jì)算方法中拉丁超立方(Latin Hypercube)方法抽樣100次,按表1所列參數(shù)值進(jìn)行有限元概率分析,檢查變量 x1樣本,圖2表明其符合GAUSS分布,均值及標(biāo)準(zhǔn)差與表1要求相當(dāng),樣本抽樣數(shù)足夠;其余樣本檢查同此。計(jì)算輸出結(jié)果見(jiàn)表2,滿足可靠度要求并有一定的優(yōu)化空間。輸出靈敏度圖見(jiàn)圖3,在表1變量標(biāo)準(zhǔn)差確定的初始設(shè)計(jì)區(qū)間,對(duì)SS影響顯著的結(jié)構(gòu)參數(shù)為x1,為正相關(guān);對(duì)UX影響顯著的結(jié)構(gòu)參數(shù)為x 3、x1、x4,其中 x3、x1為負(fù)相關(guān),x4為正相關(guān)。在減小楔環(huán)厚度時(shí),由于 x3、x4減小將增大UX(因x3影響大于x4影響),可以通過(guò)增大x1進(jìn)行補(bǔ)償。

圖2 x1樣本分布及均值

表2 初始概率分析結(jié)果

3.2 概率優(yōu)化設(shè)計(jì)

圖3 SS及UX對(duì)輸入變量相對(duì)靈敏度直方圖

以隨機(jī)變量X=(x1,x2,x3,x4,x 5,x6)為輸入?yún)?shù),其中包括4個(gè)設(shè)計(jì)變量均值和2個(gè)狀態(tài)變量均值;優(yōu)化目標(biāo)為楔形環(huán)厚度。根據(jù)強(qiáng)度及剛度的可靠度要求,楔環(huán)結(jié)構(gòu)屈服強(qiáng)度大于等于最大von Mises等效應(yīng)力的概率不小于0.95,楔環(huán)結(jié)構(gòu)最大橫向(徑向)位移小于等于0.2mm的概率不小于 0.95,由正態(tài)分布函數(shù)表查得

采用響應(yīng)面中心組合(centrl composite)設(shè)計(jì)抽樣計(jì)算,6個(gè)隨機(jī)變量,循環(huán)計(jì)算出45個(gè)樣本點(diǎn)。運(yùn)用向前分步回歸方法擬合輸出變量SS及UX的響應(yīng)面,略去不顯著項(xiàng),獲得在設(shè)計(jì)參數(shù)范圍內(nèi)的二次多項(xiàng)式如下：

式中,x1,x2,x3,x4的取值均為以毫米為單位的數(shù)值;x5、x6的取值分別為以兆帕、牛為單位的數(shù)值。

根據(jù)式(2)～式(5)將隨機(jī)約束等價(jià)轉(zhuǎn)換為確定型約束,其中屈服強(qiáng)度x5、軸向力x6的均值及標(biāo)準(zhǔn)差在優(yōu)化求解中考慮為常量,優(yōu)化后設(shè)計(jì)參數(shù)均值為(10mm,9.25mm,1.81mm,1mm,450MPa,90000N),調(diào)整后見(jiàn)表3,楔環(huán)總厚度從10mm減小為6mm。根據(jù)表3優(yōu)化參數(shù)進(jìn)行有限元概率分析驗(yàn)算的結(jié)果見(jiàn)表4,滿足優(yōu)化約束條件。從表 2、表 4 對(duì)比可以看出,優(yōu)化后 x1、x 2、x3、x4參數(shù)變化對(duì)UX影響不大,主要原因是 x1、x2、x4引起的變化對(duì)x3引起的變化有相互抵消的趨勢(shì),因此在優(yōu)化過(guò)程中主要是SS的約束在起作用。

表3 優(yōu)化后輸入變量及分布

表4 優(yōu)化后概率分析結(jié)果

4 結(jié)論及討論

本文綜合利用有限元概率分析、響應(yīng)面設(shè)計(jì)、概率約束優(yōu)化設(shè)計(jì)對(duì)楔環(huán)結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化,在滿足楔環(huán)強(qiáng)度、剛度可靠度要求的條件下減小楔環(huán)厚度,使得楔環(huán)連接更加緊湊。本文方法在具體應(yīng)用中應(yīng)注意：

(1)有限元接觸分析的應(yīng)力結(jié)果受計(jì)算參數(shù)設(shè)置、網(wǎng)格劃分影響較大,需要反復(fù)選擇并進(jìn)行調(diào)試,使計(jì)算易于收斂,結(jié)果合理。

(2)要以響應(yīng)面精度保證約束精度,這需要選擇具有代表性的樣本及合適的擬合方法,準(zhǔn)確描述極限狀態(tài)曲面的概率特征。本文采用中心組合抽樣及最小二乘法擬合,SS響應(yīng)面標(biāo)準(zhǔn)差約為9.2MPa,UX響應(yīng)面標(biāo)準(zhǔn)差約為0.0022mm,不超過(guò)仿真最小應(yīng)力及位移的3%,擬合精度滿足分析要求。更高精度的響應(yīng)面擬合可采用高階擬合或神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),但高階擬合計(jì)算量大,神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)不能顯式表達(dá),需要處理與優(yōu)化計(jì)算的銜接問(wèn)題。

(3)當(dāng)輸出變量不為正態(tài)分布時(shí),可以采用設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)法中的R-F方法,反復(fù)迭代進(jìn)行概率約束優(yōu)化計(jì)算。

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