脈沖時(shí)滯細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)周期解的存在性和指數(shù)穩(wěn)定性

李中華，王 慧

(1.樂(lè)山師范學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，四川樂(lè)山614004;2.樂(lè)山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，四川樂(lè)山614004)

1 引言

細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(CNNs)和時(shí)滯細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(DCNNs)的動(dòng)力學(xué)行為由于其在信號(hào)和圖像處理及其它領(lǐng)域的廣泛運(yùn)用具有重要研究?jī)r(jià)值，得到了幾個(gè)重要結(jié)論［1－7］。最近，人們發(fā)現(xiàn)在諸如人腦的網(wǎng)絡(luò)經(jīng)常處于周期擾動(dòng)甚至混沌狀態(tài)中，因而周期擾動(dòng)解的特征吸引了大量的研究興趣。關(guān)于周期解的存在性和指數(shù)收斂性已經(jīng)有結(jié)果報(bào)道［8－14］，同時(shí)，脈沖影響大量存在于各種進(jìn)化過(guò)程，脈沖和時(shí)滯都會(huì)影響系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為。因此，有必要考慮當(dāng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)同時(shí)具有脈沖和時(shí)滯影響時(shí)周期解的存在性與穩(wěn)定性問(wèn)題。

考察對(duì)象為如下脈沖時(shí)滯細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò):

式中:n為神經(jīng)元個(gè)數(shù);xi(t)為第i個(gè)神經(jīng)元在t時(shí)刻的狀態(tài);fj為神經(jīng)元激活函數(shù);ai＞0代表神經(jīng)元充電時(shí)間常數(shù);τij(t)代表軸信號(hào)傳輸時(shí)滯;αij(t)為第i個(gè)神經(jīng)元和第j個(gè)神經(jīng)元的連接權(quán)重;βij(t)為時(shí)滯連接權(quán)重［αij(t)和βij(t)是ω周期函數(shù)］;Δxi(tk)是在時(shí)間tk的脈沖;t1＜t2＜…為嚴(yán)格遞增序列，且滿(mǎn)足limk→∞tk=+∞ 。系統(tǒng)初始條件為:

假設(shè):(H1)fj(x)，j=1，2，…，n全局 Lipschitz連續(xù)，Lipschitz常數(shù)為 Lj，即，(H2)存在正整數(shù)m使得tk+m=tk+ω，Ii(k+m)=Iik;(H3)-2≤ Iik≤0。

定義1 稱(chēng)系統(tǒng)(1)的周期解x(t，φ*)是全局指數(shù)穩(wěn)定的，如果存在正常數(shù)α和β使得系統(tǒng)(1)的每個(gè)解x(t，φ)滿(mǎn)足:

下一節(jié)將用到連續(xù)函數(shù)f(t)的右上Dini導(dǎo)數(shù)，其定義為:

由右上Dini導(dǎo)數(shù)定義，可直接得到如下引理:

引理1 若f(t)為定義在R上的在時(shí)刻t0可微的連續(xù)函數(shù)，則:

2 主要結(jié)論

引理2 設(shè) x(t，φ)和 x(t，φ)是系統(tǒng)(1)的2 個(gè)解，若條件(H1)－(H3)成立，且如下條件滿(mǎn)足:

(H4)存在正數(shù) λi，i=1，2，…，n 使得

i，j=1，2，…，n

則存在正常數(shù) λi，i=1，2，…，n，使得:

其中:M(ε)≥1。

證明:令

1)當(dāng) t≠tk時(shí)，有:

注意到對(duì)所有的 i=1，2，…，n

因此，

在此定義

帶入并簡(jiǎn)化，得:

由條件(H4)和P(ε)的連續(xù)性知，存在一正數(shù)(不妨還是記為ε)使得P(ε)＜0。

從而D+V(t)＜0。

2)當(dāng)t=tk

故，有V(tk+0)＜V(tk)

且:

另一方面，

即

定理1：若 (H1)－(H4)成立，則系統(tǒng)(1)具有全局指數(shù)穩(wěn)定的ω-周期解。

證明:第1步，ω-周期解的存在性

定義映射P:C→C，Pφ =xω(φ)

由引理2，得到:

上式說(shuō)明Pm是Banach空間C上的一個(gè)壓縮控制映射，根據(jù)控制映射原理Pm有且僅有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)φ*。注意到 Pm(Pφ*)=P［Pm(φ*)］=Pφ*，這說(shuō)明Pφ*∈C也是Pm的不動(dòng)點(diǎn)，由Pm的不動(dòng)點(diǎn)的唯一性知Pφ*= φ*，即xω(φ*)= φ*。令x(t，φ*)是系統(tǒng)(1)的初始值為 φ*的解，則 xt+ω(φ*)=xt［xω(φ*)］=xt(φ*)，t≥0。這表明x(t+ω，φ*)=x(t+ ω，φ*)(0)=xt［xω(φ*)］(0)=xt(φ*)(0)=x(t，φ*)，t≥0。

因此，x(t，φ*)是ω-周期的。

第2步，周期解的指數(shù)穩(wěn)定性

由引理2，系統(tǒng)(1)的任意解x(t，φ)滿(mǎn)足:

x(t，φ)-x(t，φ)∞≤ M(ω)φ - φ∞e-εt，t≥0。

這就說(shuō)明了x(t，φ)指數(shù)趨向于x(t，φ*)。

由定理1直接可得

推論1：若(H1)－(H3)成立，且如下條件滿(mǎn)足:則系統(tǒng)(1)存在一全局指數(shù)穩(wěn)定的ω-周期解。

當(dāng)時(shí)滯τij(t)=0，αij(t)≡αij，得到如下推論:

推論2：假設(shè)(H1)－(H4)成立，并且如下條件滿(mǎn)足

存在正常數(shù) λi，i=1，2，…，n 使得

有一全局指數(shù)穩(wěn)定的ω-周期解。

顯然，推論2的條件(H6)比文獻(xiàn)［15］的條件(H5)更少保守性。

3 數(shù)值實(shí)例

用數(shù)值實(shí)例來(lái)說(shuō)明結(jié)論的有效性?？紤]如下兩個(gè)神經(jīng)元系統(tǒng)

【例 1】

顯然，條件(H1)－(H3)滿(mǎn)足，選取 λ1=λ2=1，則條件(H4)成立，從而存在指數(shù)穩(wěn)定的2π－周期解 (圖1)。

圖1 系統(tǒng)(2)的時(shí)間響應(yīng)曲線(xiàn)和2π－周期解相譜Fig.1 Time response curves and Phase portrait of 2π-eriodic solutions of system(2)

【例2】

圖2 tk=0.2kπ時(shí)，系統(tǒng)(3)的時(shí)間響應(yīng)曲線(xiàn)和2π－周期解相譜Fig.2 Time response curves and Phase portrait of 2π-periodic solutions of system(3)

4 結(jié)語(yǔ)

為脈沖時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)周期解的存在性和全局指數(shù)穩(wěn)定性提供了充分條件。并將文獻(xiàn)［15］中的結(jié)論一般化，它具有更少的保守性。然而，本結(jié)論也需要進(jìn)一步改善，比如脈沖律被限制在一個(gè)小范圍內(nèi)，這是下一步研究目標(biāo)。

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