組合窗函數(shù)的短時傅里葉變換時頻表示方法

肖 瑛,馮長建

(大連民族學院機電信息工程學院,遼寧大連 116600)

0 引言

傅里葉變換方法作為一種全局的線性的處理方法[1],無法滿足頻譜結構隨時間變化的非平穩(wěn)信號的分析,用時頻聯(lián)合分析的方法來處理信號,可以揭示信號的時頻細節(jié),從而更有效地識別信號特征。目前,已經廣泛應用于語音、聲納、雷達、機械震動、生物醫(yī)學和地球物理信號等處理領域[2]。常用的時頻分析方法分為線性時頻表示和二次型時頻表示兩大類:線性時頻表示以STFT和小波變換為代表;二次型時頻表示主要包括譜圖、Cohen類時頻表示和Affine類時頻表示等。眾多時頻表示中,STFT方法計算簡單,不受二次型時頻分布固有的交叉項影響,特別適用于跳頻類信號的分析。但是,STFT方法分析中采用固定時間窗函數(shù),時間分辨率和頻率分辨率相互制約,影響STFT的時頻聚集性,為此,文中提出了一種組合窗函數(shù)的STFT時頻表示方法。

1 短時傅里葉變換(STFT)

STFT定義為[3]:

式中,g*(t)表示時間窗函數(shù),上標“*”表示復共軛,從式(1)中可看出:對于特定的時刻t,STFT是信號x(t′-t)與中心在t的平滑移動窗函數(shù)g*(t′-t)乘積的傅里葉變換。從這個意義上,STFT可以理解為信號x(t′)在分析時刻t的局部頻譜。由于分析窗的作用,在分析窗以外的信號得到抑制,對應的STFT在頻域可表示為:

比較式(1)和式(2)可看出:STFT的時域表示和頻域表示很相似。實際上,頻域中STFT的表示可以看作信號頻譜與時間窗譜乘積的反傅里葉變換。因此,STFT在時域和頻域具有同樣的局域性,能實現(xiàn)對信號的時間和頻率的局域化分析。STFT的等效低通和帶通濾波器如圖1和圖2所示。

圖1 STFT的低通實現(xiàn)Fig.1 STFT implementation by low-pass filter

圖2 STFT的帶通實現(xiàn)Fig.2 STFT implementation by band-pass filter

與其他時頻表示相比較,小波分析可根據(jù)信號頻率變化,通過時間尺度變化在時頻表示區(qū)域具有不同窗,但是小波基的選擇是一大難題。Ville-Wigner分布(WVD)已經被證明,時間帶寬積達到了Heisenberg不確定性原理的下界[4],對單分量信號具有最佳的時頻分辨率,但對多分量信號進行分析時,由于其二次型時頻表示的本質,具有交叉項的影響[5],這使得WVD的時頻表示可讀性大打折扣。

2 STFT的時頻聚集性

通過STFT等效低通和帶通濾波器實現(xiàn)的分析可知,STFT在時刻t的時頻表示是由信號x(t′)通過加窗函數(shù)g*(t′-t)作傅里葉變換得到的,如果想獲得好的時間分辨率,那么希望用短的時間窗函數(shù)來刻畫時刻的信號特征,相反,STFT在頻率 f處的STFT可看作信號x(t′)通過帶通濾波器G*(f'-f)得到的,要想具有好的頻率分辨率,則希望窄帶濾波器對應的也就是長的時間窗函數(shù),因為時域變短對應頻域展寬?？梢?STFT的時頻表示在時間分辨率和頻率分辨率之間是矛盾的,存在一個基本的折衷,即得到好的時間分辨率就要犧牲頻率分辨率,反之亦然[6]。

舉例來說明,如果時間窗函數(shù)取δ(t),那么

此時STFT變成了信號x(t),保持了信號的所有時間特征,具有完美的時間分辨率,但是頻率分辨率為0,即沒有任何頻率分辨率。另外一種極端情況,取時間窗函數(shù)無窮長,即g(t)=1,則其傅里葉變換為δ(f),此時

可見,STFT變成了傅里葉變換,有最好的頻率分辨率,但是沒有任何時間分辨率。

通常用時間帶寬積來表征STFT時頻表示的時頻聚集性,定義帶通濾波器的帶寬Δf為:

定義時間窗函數(shù)的時寬Δt為

把一個信號的時寬Δt和帶寬Δf的乘積大于等于一個常數(shù)稱為不確定性原理,即Heisenberg不等式[7]

在不確定性原理約束下,時頻表示的時間分辨率和頻率分辨率不可能同時任意好。

3 組合窗函數(shù)的STFT

STFT的缺陷是對于窗函數(shù)一旦選定,則在整個分析過程中都使用相同的窗,其分辨率在時間-頻率平面上的所有局域都是相同的。選擇最佳的時間窗函數(shù)(時間帶寬積等于下限)也是非常困難的,雖然已經有專家提出了一些改進方法,如自適應窗函數(shù)的STFT方法ASTFT[8],但是自適應窗函數(shù)是否為最佳窗函數(shù)在理論上也很難證明,并且計算復雜度相當高。

通過分析也可以發(fā)現(xiàn)STFT具有如下優(yōu)點:若信號在給定的時間間隔[-T,T]和頻率間隔[-F,F]內具有大多數(shù)能量,則其STFT將局域化在區(qū)域[-T,T]×[-F,F]上,而在信號沒有多少能量的時間和頻率間隔處,STFT接近為0,根據(jù)這一性質,給出一種組合窗函數(shù)的STFT時頻表示方法。

以離散STFT來說明組合窗函數(shù)的實現(xiàn)過程,離散STFT的表達式如式(8):

對應于每一個時刻n0,STFT都是一組DFT,考慮N點DFT,對應的ω可以表示成式(9):

可見:即使采用不同長度的窗函數(shù),如果N相等,最終得到的STFT時頻表示結果將有相同的維數(shù)。

設長、短窗函數(shù)的頻率分辨率和時間分辨率分別為 Δf 1、Δt1和 Δf 2、Δt2,顯然,Δf 1 ＜Δf 2,Δt1 ＞Δt2,并設信號x(n)的能量分布在[-T,T]×[-F,F]內,那么,對于較長窗函數(shù)得到的STFT時頻表示將局域化在[-T-Δt1/2,-T+Δt1/2]×[-f-Δf1/2,-T+Δf1/2]內,其他區(qū)域為零;同理,對于短窗函數(shù)的STFT時頻表示局域化在[-T-Δt2/2,-T+Δt2/2]×[-f-Δf2/2,-T+Δf2/2]內,其他區(qū)域為零;將兩組時頻表示點乘,可以得到最終的組合窗函數(shù)時頻表示局域化在[-T-Δt2/2,-T+Δt2/2]×[-f-Δf1/2,-T+Δf1/2]內,具有短時間窗函數(shù)的時間分辨率和長時間窗函數(shù)的頻率分辨率。

4 仿真驗證

以式(10)仿真跳頻數(shù)據(jù)為例來對文中提出的方法進行驗證,其中,f 1=100 Hz,f 2=200 Hz,采樣頻率 fs=1 000 Hz,信號的時域波形如圖3所示。

圖3 仿真跳頻信號Fig.3 Simulation frequency-hopping signal

加1/2數(shù)據(jù)長度的Hamming窗函數(shù)得到STFT時頻表示如圖4所示,加1/8數(shù)據(jù)長度的Hamming窗函數(shù)得到STFT時頻表示如圖5所示,采用組合窗函數(shù)方法得到的時頻表示如圖6所示,準確地刻畫了仿真跳頻信號包含的頻率成分以及頻率跳變時刻。從圖7中可看出WVD在兩分量信號之間明顯存在交叉項干擾,而圖8所示的小波譜的時頻分辨率不如文中提出的組合窗函數(shù)STFT方法,同時,小波時頻表示在小波基的選取上存在著困難。

圖4 STFT(加1/2數(shù)據(jù)長度的 Hamming窗)Fig.4 STFT(with 1/2 length of data Hamming window)

圖5 STFT(加1/8數(shù)據(jù)長度的 Hamming窗)Fig.5 STFT(with 1/8 length of data Hamming window)

圖6 組合窗函數(shù)的STFTFig.6 STFT with combination of time window

圖8 小波時頻表示Fig.8 Wavelet time-frequency representation

5 試驗數(shù)據(jù)驗證

以采集的遙測高頻振動信號為例來對組合窗函數(shù)STFT時頻表示方法進行驗證。該試驗數(shù)據(jù)按試驗過程中的特征時刻應有兩處明顯的頻率跳變,采用時頻分析的目的是找出頻率分布范圍和頻率跳變時刻,以確定試驗過程是否正常。其中傳感器采樣頻率為10 k Hz。圖9為信號的時域波形(經過了最小二乘趨項去除和小波軟閾值降噪),圖10和圖11為分別采用1/4和1/8數(shù)據(jù)長度的Hamming窗函數(shù)得到的STFT時頻表示,圖12為組合窗函數(shù)的STFT時頻表示,圖13為WVD時頻表示結果,圖14為小波時頻表示,比較幾種時頻表示結果可看出,組合窗函數(shù)的STFT時頻表示有效的組合了長時間窗函數(shù)和短時間窗函數(shù)對應的頻率分辨率和時間分辨率的優(yōu)點,具有最佳的時頻聚集性。

圖9 某傳感器采集高頻振動信號時域波形Fig.9 The high-frequency signal from one sensor

圖10 1/4數(shù)據(jù)長度Hamming窗的STFTFig.10 STFT(with 1/4 length of data Hamming window)

圖11 1/8數(shù)據(jù)長度Hamming窗的STFTFig.11 STFT(with 1/8 length of data Hamming window)

圖12 組合窗函數(shù)的STFTFig.12 STFT with combination of time window function

圖13 信號的WVDFig.13 The WVD of signal

圖14 信號的小波時頻表示Fig.14 Wavelet time-frequency representation

6 結論

固定時間窗函數(shù)的STFT時間分辨率和頻率分辨率相互制約,影響時頻聚集性。通過分別采用長、短窗獲得兩組STFT時頻表示并以乘積結果作為最終時頻表示的組合窗函數(shù)方法,可使STFT時頻表示方法具有長時間窗函數(shù)STFT的頻率分辨率,同時具有短時間窗函數(shù)STFT的時間分辨率。仿真和試驗數(shù)據(jù)處理結果表明:組合窗函數(shù)有效提高了STFT時頻表示的時頻聚集性,對于多分量疊加信號和跳頻類信號具有很好的時頻表示結果,而實際工程上如故障檢測、醫(yī)學信號處理等領域中,這類信號具有普遍性,因此,該法具有實際工程應用價值。

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