梁昌洪,陳 曦

(西安電子科技大學(xué)天線與微波技術(shù)國(guó)防重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,陜西西安 710071)

0 引言

本文是電磁場(chǎng)理論教學(xué)系列札記之十。

電磁波傳播,特別是多層媒質(zhì)的入射、反射和折射不僅是一個(gè)前沿的理論問(wèn)題,而且還是一個(gè)重要的應(yīng)用課題。探礦、測(cè)地和異物檢測(cè)都離不開(kāi)它們的基礎(chǔ)——電磁波向多層媒質(zhì)的傳播。

本文根據(jù)三項(xiàng)原則構(gòu)建出電磁波斜入射到媒質(zhì)突變的平面邊界的基本模型,它可以退化為垂直入射、導(dǎo)體和磁體邊界等多種情況。將電磁波傳播和網(wǎng)絡(luò)理論有機(jī)結(jié)合,創(chuàng)新地提出了多層媒質(zhì)的[C]網(wǎng)絡(luò)理論,從而把困難的多層媒質(zhì)傳播轉(zhuǎn)化為矩陣[C]級(jí)聯(lián),由應(yīng)用實(shí)例得到一系列有用統(tǒng)一的結(jié)論,很值得作進(jìn)一步探索和推廣。

1 基本模型

不論入射、反射和折射,都涉及電磁平面波的傳播。首先,本文對(duì)基本模型提出如下三項(xiàng)原則:

(1)將媒質(zhì)突變的平面邊界作為最基本單元;

(3)當(dāng)入射角θi,反射角θr和折射角θi均為0°,即θi=θr=θi=0°,問(wèn)題應(yīng)該退化成垂直入射情況。

必須指出:正因?yàn)橛性瓌t(3),使本文的結(jié)果與大多數(shù)著作有所差異[1-12]。圖1給出了基本模型的兩種情況。

圖1 平面波斜入射平面邊界作為基本模型

[情況1]平行極化波

這種情況下,電磁場(chǎng)在平面邊界的匹配條件為

很易得到

式中,已計(jì)及Fermat原理θi=θr。由式(3)很易得到

[情況2]垂直極化波

這種情況下,電磁場(chǎng)在平面邊界的匹配條件對(duì)應(yīng)為

類似可得反射系數(shù) ?！秃驼凵湎禂?shù)T⊥分別是

根據(jù)確定基本模型第(3)原則,考察式(3)和式(6),果然在垂直入射時(shí) ,即θi=θr=θt=0°,統(tǒng)一有

并且有關(guān)系:

我們還應(yīng)該進(jìn)一步解釋把電磁波斜入射平面界面作為基本模型的深層次原因:它不僅可包含垂直入射情況,而且可以概括第二媒質(zhì)是理想導(dǎo)體,即電壁情況。這時(shí)需令η2=0,有

和第二媒質(zhì)是理想磁體,即磁壁情況,這時(shí)η2※∞,于是

讀者或許對(duì)式(10)中Tm=2有些疑惑不解。實(shí)際上只需注意到本文的Γ和T都是針對(duì)電場(chǎng)的反射和折射,后邊可清楚看出,完全滿足能量守恒關(guān)系。

2 特殊角度

平面電磁波入射到界面發(fā)生反射和折射時(shí),有兩個(gè)特殊角度值得重視:無(wú)反射Brew ster角θB和全反射臨界角θc。

[情況1]無(wú)反射Brewster角θB

對(duì)于平行極化波,由無(wú)反射條件給出

計(jì)及Fermat原理,有

易得Brew ster角為

而對(duì)于垂直極化波,這時(shí)的無(wú)反射條件是

對(duì)應(yīng)的Brewster角為

特別應(yīng)該指出,對(duì)于電介質(zhì),也即μ1=μ2,這時(shí)垂直極化波不可能出現(xiàn)Brewster角,只有在平行極化波情況下才能出現(xiàn)無(wú)反射現(xiàn)象的Brewster角。

[情況2]全反射臨界角θc

由式(3)和式(6)很易看出,只要滿足

則必然會(huì)出現(xiàn)全反射,即這時(shí)有

且由式(16)可具體給出

這時(shí)可知

它意味著電磁波只沿表面?zhèn)鞑?且不進(jìn)入第二媒質(zhì),具體發(fā)生全反射的臨界角θc與平行極化波還是垂直極化波無(wú)關(guān),為

因此,產(chǎn)生全反射的條件有

特別對(duì)于μ1=μ2的電介質(zhì),更進(jìn)一步得到

換句話說(shuō),只有光密媒質(zhì)入射到光疏媒質(zhì)界面才會(huì)出現(xiàn)全反射現(xiàn)象,正是應(yīng)用這一原理產(chǎn)生了近代的光導(dǎo)纖維。

3 電磁波傳播[C]網(wǎng)絡(luò)

為了研究斜入射多層媒質(zhì)的復(fù)雜情況,本文把電磁波傳播與網(wǎng)絡(luò)理論有機(jī)的結(jié)合起來(lái),提出[C]網(wǎng)絡(luò)理論。見(jiàn)圖2所示。

圖2 電磁波傳播[C]網(wǎng)絡(luò)

作為一個(gè)典型實(shí)例,我們研究[C]網(wǎng)絡(luò)如何表示傳播時(shí)媒質(zhì)的突變界面。

從對(duì)稱端口觀點(diǎn)看:b1,b2分別表示端口 ①和端口 ②的電場(chǎng)反射,而a1,a2則表示相應(yīng)的電場(chǎng)入射,采用矩陣有

從端口 ①至端口 ②的廣義傳輸角度看

a1——表示端口 ①的入射;a1=

b1——表示端口 ①的反射;b1=

b2——表示端口 ②的折射;b2=

a2——對(duì)于如圖2的單層媒質(zhì)突變網(wǎng)絡(luò),有

而對(duì)于多層網(wǎng)絡(luò),則a2表示第二層的反射。

[情況1]平行極化波斜入射

由式(1)和式(2)并考慮各層對(duì)稱形式,可得

進(jìn)一步寫(xiě)出

為便于推廣,引入

即可給出平行極化波的電磁波[C∥]矩陣,為

特別是,對(duì)于只有單層突變媒質(zhì)情況,計(jì)及a2=0,

可具體寫(xiě)出

很易得到

可見(jiàn),完全與式(3)結(jié)果一致。

[情況2]垂直極化波斜入射

同樣由式(5)及對(duì)稱性考慮,又得

進(jìn)一步寫(xiě)出

并得到垂直極化波[C⊥]網(wǎng)絡(luò)有對(duì)于只有單層突變媒質(zhì)情況,a2=0,可給出

最后得到

可見(jiàn),同樣與式(6)結(jié)果完全一致。

[情況3]垂直入射情況

只要計(jì)及θ1=θ2=0°時(shí),式(28)和(33)均成為同一垂直入射網(wǎng)絡(luò),為

[情況4]統(tǒng)一[C]網(wǎng)絡(luò)

本文引入統(tǒng)一阻抗Z符號(hào),定義是

于是,可寫(xiě)出統(tǒng)一的[C]網(wǎng)絡(luò)

[情況5]波傳輸段[Cl]

圖3 波傳輸[cl]段網(wǎng)絡(luò)

由定義寫(xiě)出

4 工程實(shí)例

電磁波傳輸[C]網(wǎng)絡(luò)的最大特點(diǎn)是它滿足級(jí)聯(lián)條件,如圖4所示的n個(gè)網(wǎng)絡(luò)C1,C2,……Cn級(jí)聯(lián),則總網(wǎng)絡(luò)很易寫(xiě)出

圖4 n個(gè)網(wǎng)絡(luò)C1,C2,……Cn級(jí)聯(lián)

十分明顯,這一特性十分適合多層媒質(zhì)的研究課題。

本文將給出工程應(yīng)用中三層無(wú)耗媒質(zhì)情況,如圖5所示。采用[C]矩陣可寫(xiě)出

式中,對(duì)于平行極化波,有

于是可得到

由此很易導(dǎo)出

對(duì)于a3=0,有

特別需要指出:上式反射系數(shù) Γ不論對(duì)于垂直入射,平行極化波還是垂直極化波的斜入射,形式完全統(tǒng)一,只是Z 分別對(duì)應(yīng)η,η∥,η⊥。

如果進(jìn)一步引進(jìn)輸入阻抗Zin:

則式(49)可進(jìn)一步表述為

與正確結(jié)果完全一致[2]。

另一方面,折射系數(shù)T為

對(duì)于垂直入射,平行極化波和垂直極化波斜入射,Z和A13表述有所不同。

5 能量守恒

由于本文所及限于無(wú)耗媒質(zhì)模型,所以在電磁波傳播過(guò)程中入射波,反射波和折射波的功率之間,必須存在著能量守恒關(guān)系。

首先,讓我們考察單層無(wú)耗媒質(zhì)突變情況,由式(3),式(6)和式(7)可統(tǒng)一寫(xiě)出

具體對(duì)于垂直入射情況,A12=1有

對(duì)于垂直極化波斜入射情況,由于A12=1依然成立,于是有

最后,對(duì)于水平極化波斜入射情況,這時(shí)由于A12=cosθ2/cosθ1,而 Z1/Z2=η1cosθ1/η2cosθ2,又可得

發(fā)現(xiàn)十分奇妙的是,能量關(guān)系的結(jié)果是唯一且相同的。

現(xiàn)在,讓我們進(jìn)一步觀察三層無(wú)耗媒質(zhì)情況。只要注意到式(49)和式(52),即可知

這時(shí)的能量守恒關(guān)系與第二媒質(zhì)層 φ=k2lcosθ2無(wú)關(guān)。它從概念上講是十分自然的。因?yàn)閗也可寫(xiě)成

這樣,我們有理由推廣到n層無(wú)耗媒質(zhì)情況,一般的能量守恒關(guān)系是

6 結(jié)語(yǔ)

如果說(shuō)本文還略有新意,那么可以說(shuō)是電磁波和網(wǎng)絡(luò)理論的有機(jī)結(jié)合,它把多層媒質(zhì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為矩陣?yán)碚?清晰而簡(jiǎn)單。

關(guān)于有耗媒質(zhì)或非互易多層媒質(zhì)擬由另文報(bào)道。

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