張永鋒

(四川大學數(shù)學學院,四川 成都 610064)

0 引言

在目標跟蹤或動力系統(tǒng)領域中,非線性系統(tǒng)的狀態(tài)估計越來越得到人們的青眛。中將數(shù)據(jù)融合方法運用于機器人系統(tǒng)設計中[1],使用傳統(tǒng)的方法處理了估計及濾波設計問題[2-3],文獻[4]中也使用了最小二乘的方法,但主要思想是基于泰勒展式對非線性系統(tǒng)的線性化,如擴展卡爾曼濾波(EKF)[5-6],但對高度非線性的系統(tǒng),用(EKF)的效果不是十分好,還有一些使用統(tǒng)計技術的方法,如文獻[7]中通過選取樣本粒子去離散化非線性系統(tǒng),然后基于選取的粒子去濾波,如無味濾波,粒子濾波等,遺憾的是這些方法的計算復雜度非常大,不適于實時的目標跟蹤。最近幾十年來,有控制系統(tǒng)領域的學者提出用模糊推理方法對非線性系統(tǒng)建模逼近去找狀態(tài)估計[8],其中最著名的有 T.Takagi和 M.Sugeno提出的模糊規(guī)則逼近模型(T-S模型)。

將模糊推理理論與Kalman濾波結合,提出一種對非線性系統(tǒng)目標狀態(tài)估計的新方法。這個方法的主要思想是：①用局部狀態(tài)空間模型族表示一個模糊系統(tǒng);②對每個局部狀態(tài)系統(tǒng)濾波得到局部狀態(tài)估計;③從這對 m個局部狀態(tài)估計進行模糊線性組合,并進行加權優(yōu)化處理得到全局估計。能夠證明這樣構造的全局狀態(tài)估計是一個無偏的,且穩(wěn)定的。在給出的貨車 -拖車仿真實驗中,用此方法與一般的EKF方法進行了比較,驗證了用T-S模型規(guī)則推理方法得到的估計值的有效性,并給出一些分析的結果。

1 問題闡述

一個非線性函數(shù)可以用一族線性函數(shù)去逼近,同樣,對任意一個非線性系統(tǒng)可以用下面的 m個模糊規(guī)則表示的線性系統(tǒng)去逼近它。

其中：

因為zk是xk或uk的非線性函數(shù),用上式表示的系統(tǒng)是時變的非線性系統(tǒng),為了對每個局部的線性時不變系統(tǒng)進行狀態(tài)估計,可以構造出每個局部系統(tǒng)的狀態(tài) xi(k)與輸出yi(k)如下：

定理 1 由式(3)定義的狀態(tài)xi(k)與 yi(k)的狀態(tài)方程可用下面的系統(tǒng)來表示：

把式(3)定義的矩陣代入式(5)得到：

式(6)是式(1)描述的全局系統(tǒng)的狀態(tài)模型,因此式(4)式描述的是狀態(tài)xk的動態(tài)行為。用同樣的方法可以證明觀測方程的情形。

2 模糊系統(tǒng)卡爾曼濾波

卡爾曼濾波的理論的發(fā)展已經(jīng)很成熟了,下面給出經(jīng)過修正的模糊線性系統(tǒng)的模糊卡爾曼濾波公式。模糊卡爾曼濾波方程與標準卡爾曼濾波方程不同的是式(4)表示的是個模糊的系統(tǒng),經(jīng)過下面的濾波公式,得到局部的目標狀態(tài)估計 ,利用這個局部的估計得到一個所表示的全局模型系統(tǒng)的狀態(tài)估計每個時間步,模糊卡爾曼濾波為：

有了 m個局部估計 x1[k],x2[k],…,xn[k],就可得到一個無偏估計 x?k|k=Pk|kXk其中 ：

因為對于一個非線性系統(tǒng)用T-S模糊規(guī)則的方法得到了一個全局的狀態(tài)估計為：x?k|k=Pk|kXk是對 x的線性無偏估計中,這是因為每個局部的估計是線性無偏的,全局估計是它們的一個加權和形式,根據(jù)矩陣論的理論,如此構造的全局估計仍具有無偏性,在后面的仿真實驗中,可以看到在解決高度非線性問題是時,EKF的性能并不是十分好,但用現(xiàn)提出的基于T-S模型的規(guī)則推理得到的估計可以表現(xiàn)出良好的性能,因此用現(xiàn)提出的方法處理非線性系統(tǒng)具有一定的實際可行性.

3 仿真與計算

在文獻[9]中考慮尋求非線性系統(tǒng)最優(yōu)控制時提出了下面表述的貨車-拖車系統(tǒng),由于此系統(tǒng)涉及到貨車與拖車的角度信息,所以具有高度的非線性,用EKF方法去估計系統(tǒng)的角度信息表現(xiàn)出的性能不是很好,下面用這里提出的基于T-S模糊模型的方法處理該系統(tǒng)的狀態(tài)估計問題,并將于EKF方法進行比較

其中,x0(k)是貨車的方向角,x2(k)是拖車方向角,x3(k)是拖車尾部縱向位置,x4(k)是拖車尾部水平位置,uk是轉向角.l是貨車的長度,L是拖車的長度,T是采樣時間,v是恒定的倒退速度,在仿真實驗中取L=5.5m,t=0.05 s,l=2.8 m,v=-1.0m/s。對于式(8)描述的非線性系統(tǒng),利用 T-S模糊規(guī)則理論,可以將它用下面的可加噪聲的模型來表示：

圖 1EKF方法貨車方向角誤差

圖 2 T-S方法貨車方向角誤差

4 結語

本文利用可加性噪聲的T-S模糊規(guī)則對非線性系統(tǒng)給出了一個狀態(tài)估計,是無偏的并且在線性最小誤差方差意義下最優(yōu)估計,仿真的結果表明用基于 T-S的模糊規(guī)則與EKF結合的方法對非線性系統(tǒng)進行狀態(tài)估計能取的良好的效果,并且能表現(xiàn)出很好的穩(wěn)健性。

[1]趙海,王光興,數(shù)據(jù)融合論在機器人系統(tǒng)設計中的應用[J].[EB/OL].(2010-03-01)[1995-03-01].http：//www.cnki.com.

[2]徐自勵,華偉,王一揚.多窗譜估計法估計相干函數(shù)的雙端語音檢測[J].通信技術,2007,40(05)：75-76.

[3]安勇,牟容增,陳家國,等.基于多級內插的基帶信號成形濾波設計[J].通信技術,2008,41(05)：4-6.

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