胡林順，李連煌，郭福源

（1. 五邑大學(xué) 應(yīng)用物理與材料學(xué)院，廣東 江門 529020；2. 福建師范大學(xué) 激光與光電子技術(shù)研究所，福建 福州 350007）

光纖LP01模遠場發(fā)散角與歸一化頻率關(guān)系的研究

胡林順1，2，李連煌2，郭福源2

（1. 五邑大學(xué) 應(yīng)用物理與材料學(xué)院，廣東 江門 529020；2. 福建師范大學(xué) 激光與光電子技術(shù)研究所，福建 福州 350007）

根據(jù)折射率階躍對稱分布的光纖LP01模端面衍射遠場的振幅分布，分析了衍射光束的半值全角寬度及振幅下降到1/e處對應(yīng)的遠場發(fā)散角全角各自隨光纖歸一化頻率變化的關(guān)系；采用等效匹配效率法分析了遠場發(fā)散角角半徑，擬合出遠場發(fā)散角角半徑隨歸一化頻率變化的函數(shù)表達式，并通過誤差分析證明了擬合函數(shù)表達式的精確性.

遠場發(fā)散角；半值全角寬度；等效匹配效率法；相對誤差

評價和描述光纖激光器光束的方法有許多，例如采用遠場發(fā)散角、光斑半徑及模式等，根據(jù)不同的定義即使同一參數(shù)也會有不同的結(jié)論，因此在實際應(yīng)用中很難做出選擇. Petermann K[1-2]根據(jù)光纖LP01模衍射遠場的振幅分布，給出了光纖遠場發(fā)散角的第一、第二定義，即二階矩遠場發(fā)散角和微分算子遠場發(fā)散角，它們被廣泛用于光纖出射光束的分析計算[3-7]. 本文根據(jù)折射率階躍對稱分布的光纖 LP01模端面衍射遠場的振幅分布[8]，參考高斯光束遠場發(fā)散角的定義[9]，分析了衍射光束的遠場發(fā)散角與光纖歸一化頻率的關(guān)系，并建立數(shù)學(xué)模型擬合得出其近似函數(shù)表達式. 因為二階矩算法和微分算子算法定義的遠場發(fā)散角角半徑存在一定的差異，所以本文采用等效匹配效率法[10]分析遠場發(fā)散角角半徑.

1 半值全角寬度

當(dāng)端面不受限時，折射率階躍對稱分布的光纖LP01模衍射遠場振幅分布的函數(shù)表達式為[8]282

式中：F=kasinθ為空間頻率；U為光纖芯層駐波參量；W為光纖包層倏逝波參量；v為光纖歸一化頻率，v=，它包含了光纖的基本結(jié)構(gòu)參數(shù)芯層半徑a、芯層折射率n1和包層折射率n2.由式（1）可知，光纖 LP01模端面不受限衍射光束遠場的振幅分布S(θ)與光纖歸一化頻率v、光纖芯層駐波參量U、光纖包層倏逝波參量W有關(guān).

參考高斯光束遠場發(fā)散角的定義之一：衍射光束遠場振幅下降到中心最大值 1/2處與z軸的夾角即為半值全角寬度. 由式（1）可得光纖 LP01模衍射光束的半值全角寬度θFWHM與光纖歸一化頻率v的關(guān)系，如圖1所示.由圖1中的實線可知：光纖LP01模端面無受限衍射光束的半值全角寬度θFWHM隨光纖歸一化頻率v的增大而單調(diào)遞增.

圖1 半值全角寬度與光纖歸一化頻率v的關(guān)系曲線

為了確定半值全角寬度與光纖歸一化頻率的函數(shù)關(guān)系，分析實際曲線建立如下數(shù)學(xué)模型：

式中a、b、c、d為待定系數(shù). 取實線上的4個點(1, 0.016 56)，(5, 0.252 2)，(10, 0.297 7)，(25, 0.321 5)代入式（2）計算可得：a=-0.919 9，b=1.06 7，c=0.538 3，d=0.322 5，即半值全角寬度與光纖歸一化頻率的擬合函數(shù)關(guān)系可表示為

由式（3）可得圖1所示的虛線. 由圖 1可知：虛線與實線基本重合，即由式（3）近似表達的半值全角寬度與光纖歸一化頻率v的函數(shù)關(guān)系和實際情況吻合.

為詳細分析擬合曲線的精度，需計算出擬合遠場發(fā)散角的相對誤差，相對誤差的通用表達式

式中，θ為實際遠場發(fā)散角，θ′為擬合遠場發(fā)散角. 由式（3）、（4）可計算其相對誤差，當(dāng) 2

2 振幅下降到1/e處的遠場發(fā)散角全角

高斯光束遠場發(fā)散角半角的一般定義：遠場高斯光束振幅下降到中心最大值1/e處與z軸的夾角，其對應(yīng)的束內(nèi)功率為 86.5%[9]64. 常用遠場發(fā)散角全角θ1/e作為描述和評價衍射光束的參量之一.

參考高斯光束遠場發(fā)散角全角θ1/e的定義，由式（1）可得出光纖LP01模遠場發(fā)散角全角θ1/e隨光纖歸一化頻率v變化的關(guān)系，如圖 2所示.由圖 2實線可知：光纖遠場發(fā)散角全角θ1/e隨光纖歸一化頻率v的增大而單調(diào)遞增. 當(dāng) 1

(4)煤泥回收能力偏低，嚴重制約重介質(zhì)選煤生產(chǎn)。主要表現(xiàn)在脫水設(shè)備老化，不能及時有效回收浮選精礦，從而制約浮選正常生產(chǎn)，并且由于浮選精煤水分偏高對外銷造成了不利影響；尾煤泥不能有效回收，導(dǎo)致循環(huán)水濃度增高，從而影響整個洗煤生產(chǎn)。

圖2 遠場發(fā)散角全角與光纖歸一化頻率v的關(guān)系曲線

采用式（2）的指數(shù)函數(shù)擬合圖2中的實線，取實線上的4個點(1.5, 0.152)，(5, 0.422 9)，(10, 0.494 8)，(25,0.529 5)代入式（2）計算得：a=-3.011，b=1.76，c=0.386 8，d=0.536 2，即遠場發(fā)散角全角θ1′/e與光纖歸一化頻率v的函數(shù)關(guān)系式

由式（5）可得圖2所示的虛線. 由圖2可知：由式（5）描述的遠場發(fā)散角全角與光纖歸一化頻率v的函數(shù)關(guān)系與實際情況吻合. 為了定量分析擬合函數(shù)關(guān)系表達式的精確度，需計算出擬合遠場發(fā)散角全角的相對誤差，當(dāng) 1

3 等效匹配遠場發(fā)散角角半徑

根據(jù)定義Petermann I和Petermann II計算光纖遠場發(fā)散角角半徑，即二階矩遠場發(fā)散角角半徑和微分算子遠場發(fā)散角角半徑，它們的表達式分別為

由式（1）、（6）和（7）可得二階矩遠場發(fā)散角角半徑θSM和微分算子遠場發(fā)散角角半徑θDO與光纖歸一化頻率v的關(guān)系，如圖3所示. 由圖3可知：二階矩遠場發(fā)散角角半徑θSM、微分算子遠場發(fā)散角角半徑θDO隨著光纖歸一化頻率v的增大差異越來越大；因此本文采用等效匹配效率法計算光纖遠場發(fā)散角角半徑θeq，即

由式（8）可得等效匹配效率遠場發(fā)散角角半徑θeq隨光纖歸一化頻率v的變化關(guān)系，如圖3所示. 由圖3知：等效匹配遠場發(fā)散角角半徑θeq介于二階矩發(fā)散角角半徑θSM和微分算子發(fā)散角角半徑θDO之間，且隨光纖歸一化頻率v的增大而單調(diào)遞增.當(dāng)1

為評價3種遠場發(fā)散角角半經(jīng)，需計算它們各自擬合得到的高斯近似分布與實際振幅場分布的匹配效率，表達式[11]為

圖3 遠場發(fā)散角角半徑與光纖歸一化頻率v的關(guān)系曲線

圖4 等效匹配效率遠場發(fā)散角角半徑與光纖歸一化頻率v的關(guān)系曲線

式中：SG(θ)為高斯近似衍射光束的遠場空間頻譜分布；Sreal(θ)為實際衍射光束的遠場空間頻譜分布. 以v=2為例，由式（9）可得二階矩高斯近似衍射場分布、微分算子高斯近似衍射場分布、等效匹配效率高斯近似衍射場分布分別與實際衍射場分布的匹配效率為：ηSM=99.86%，ηDO=99.83%，ηeq=99.93%. 結(jié)果表明：等效匹配效率法優(yōu)于二階矩算法和微分算子算法.

為明確等效匹配效率遠場發(fā)散角角半徑θeq與光纖歸一化頻率v的函數(shù)關(guān)系，采用指數(shù)函數(shù)式（2）擬合圖3中的粗實線. 取粗實線上4個點(1.5, 0.094 62)，(5, 0.206 1)，(10, 0.234 4)，(18, 0.245 4)代入式（2）計算得：a=-2.077，b=2.263，c=0.324 5，d=0.251 8，因此擬合的等效匹配效率遠場發(fā)散角角半徑θe′q與光纖歸一化頻率v的函數(shù)關(guān)系表達式

由式（10）可得擬合的等效匹配效率遠場發(fā)散角角半徑θe′q隨光纖歸一化頻率v的變化關(guān)系（圖4中虛線）. 由式（10）、（4）計算出擬合的等效匹配效率遠場發(fā)散角角半徑θe′q與實際的等效匹配效率遠場發(fā)散角角半徑θeq的相對誤差絕對值小于 2%. 結(jié)果說明：擬合函數(shù)表達式（10）描述的等效匹配效率遠場發(fā)散角角半徑與實際情況基本吻合.

4 結(jié)論

本文根據(jù)光纖 LP01模端面無受限衍射遠場振幅分布的解析函數(shù)表達式計算出衍射光束的半值全角寬度和振幅下降到 1/e處所對應(yīng)的遠場發(fā)散角全角各自隨光纖歸一化頻率變化的函數(shù)關(guān)系；采用等效匹配效率法得出遠場發(fā)散角角半徑隨光纖歸一化頻率變化的關(guān)系，用指數(shù)函數(shù)y=aexp(?bxc)+d進行曲線擬合，并通過相對誤差分析了擬合函數(shù)表達式的精確度，結(jié)果表明：擬合得到的函數(shù)表達式能很好地描述實際情況，方便工程實際應(yīng)用.

[1]PETERMANN K. Fundamental mode microbending loss in graded-index andWfibers [J]. Optical and Quantum Electronics, 1977, 9(2): 167-175.

[2]PETERMANN K. Constraints for fundamental-mode spot size for broadband dispersion-compensated singlemode fibers [J]. Electronics Letters, 1983, 19(18): 712-714.

[3]ARTIGLIA M, COPPA G, VITA P D, et al. Mode field diameter measurements in single-mode optical fibers [J]. Journal of Lightwave Technology, 1989, 7(8): 1 139-1 152.

[4]THIRUMENI S, POOPALAN P, HASSAN A A, et al. Effects of scan angles in the far-field scanning method on the measurement of the mode field diameter[C]//Proceedings of IEEE International Conference on Semiconductor Electronics, New Jersey: IEEE Service Center, 1998, 121-123.

[5]LI Lianhuang, GUO Fuyuan, WANG Lixiang, et al. Relationship between the beam parameters and structure parameters of single mode fiber [J]. Acta Photonica Sinica, 2007, 36(7): 1 219-1 223.

[6]李連煌，郭福源，胡林順，等. 平面波導(dǎo)基模端面衍射光束參量與波導(dǎo)結(jié)構(gòu)參數(shù)關(guān)系的研究[J]. 福建師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2007, 23(2): 45-48.

[7]LIN Bin, WEN Xuejin, GUO Fuyuan. Influence of cladding layer field of slab waveguide onM2factor [J]. Chinese Optics Letters, 2003, 1(8): 441-443.

[8]郭福源，林斌，陳鈺清，等. 光纖端面衍射場光束的特征參數(shù)[J]. 浙江大學(xué)學(xué)報：工學(xué)版，2004, 38(3): 1 281-285.

[9]呂百達. 激光光學(xué)：光束描述、傳輸變換與光腔技術(shù)物理[M]. 3版. 北京：高等教育出版社，2003.

[10]LI Lianhuang, GUO Fuyuan, GAO Rui, et al. Analysis on the Gaussian approximation of LP01mode[C]// 1 Proceedings of SPIE, Beijing: [s.n.], 2007, 2: 6 837.

[11]葉培大，吳彝尊. 光波導(dǎo)技術(shù)基礎(chǔ)理論[M]. 北京：人民郵電出版社，1981.

[責(zé)任編輯：孫建平]

Research on the Relationship Between Divergence Angles of Fiber LP01Mode and Normalized Frequency

HU Lin-shun1,2, LI Lian-huang2, GUO Fu-yuan2
(1. School of Applied Physics & Materials Engineering, Wuyi University, Jiangmen 529020, China; 2. Institute of Laser & Optoelectronics Technology, Fujian Normal University, Fuzhou 350007, China)

Based on the far-field diffraction amplitude distribution of fiber LP01mode, the relationships between full angle at half maximum and the far-field divergence full angle of the amplitude drop to 1/e point with fiber normalized frequency are analyzed. The equivalent matching efficiency method is employed for the calculation of far-field divergence angle, and the function expression of the angle along with the fiber normalized frequency is fitted, and its accuracy is proved through error analysis.

far field divergence angle; full angle at half maximum; equivalent matching efficiency method; relative error

TN25；O436

A

1006-7302（2010）02-0005-24

2010-01-11

福建省科技廳F5類項目（2007F5040）；福建省自然科學(xué)基金資助項目（A0540001）

胡林順（1983—），男，江西吉安人，實驗師，碩士，研究方向：光纖和激光光束質(zhì)量，E-mail: hulinshun@yahoo.com.cn.