張 英,喬世東

(山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西大同037009)

時(shí)間模上一階非線性邊值問題的三個(gè)正解

張 英,喬世東

(山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西大同037009)

運(yùn)用Legget-Williams不動(dòng)點(diǎn)定理,在錐上討論一階非線性兩點(diǎn)邊值問題至少有三個(gè)正解的存在性問題.

正解 邊值問題 不動(dòng)點(diǎn)定理 時(shí)間模 錐

在2005年，J.P.Sun和W.T.Li[1]運(yùn)用錐上的不動(dòng)點(diǎn)定理研究了邊值問題(1)當(dāng)β=1時(shí)至少有一個(gè)正解；在2008年，Jian-Ping Sun[2]利用Avery和Henderson兩解不動(dòng)點(diǎn)定理研究了邊值問題(1)至少有兩個(gè)正解；本文在錐上運(yùn)用Legget-Williams不動(dòng)點(diǎn)定理，討論時(shí)間模上的一階非線性邊值問題

至少有三個(gè)正解.另外，我們還假設(shè)以下的條件成立：

(A)f∶[0,T]×[0,∞)T→[0,∞)是連續(xù)的且0<β<1.

1 預(yù)備知識(shí)

下面我們給出幾個(gè)引理.這些引理基于下面的線性邊值問題

引理1設(shè)0<β<1,y∈Crd［0,σ(T)］,則邊值問題(2)有唯一的解

證明 因uΔ(t)=y(t),從0到t積分后有u(t)=u(0)+.利用邊值條件u(0)=βu(σ(T)),可得到u(t)=

而

故

引理2設(shè)0<β<1,y∈Crd［0,σ(T)］,則方程(2)的解u(t)滿足u(t)≥0,t∈［0,T］T.

我們令E=Crd［0,σ(T)］是一個(gè)巴拿赫空間，其上泛數(shù)定義為定義一個(gè)錐P?E

P={u∈E∶u(t)≥0,增加的和u(0)=βu(σ(T))

引理3[3]設(shè)u∈P則u(t)≥β‖u‖,

證明 令x(t)=u(t)-β‖u‖,t∈［0,σ(T)］T.因?yàn)閤Δ(t)>0,則可知x(t)在t∈［0,σ(T)］T上是增加的,又

由(6)和(7)可得到x(t)=u(t)-β‖u‖≥0,即u(t)≥β‖u‖.

2 解的存在性

定理1[4]設(shè)p是實(shí)巴拿赫空間E的一個(gè)錐,集合

且Ψ(Φu)>q對(duì)所有的u∈P(Ψ,q,l)；

(2)當(dāng)‖u‖≤p時(shí)，有‖Φu‖≤p；

(3)當(dāng)u∈P(Ψ,q,r)時(shí)，Ψ(Φu)>q且‖Φu‖>l，則Φ至少有三個(gè)不動(dòng)點(diǎn)u1,u2,和u3∈滿足‖u1‖ q,p<‖u3‖,當(dāng)Ψ(u2)>q.定義一個(gè)全連續(xù)積分算子Φ∶P→E滿足:

其中u∈P,t∈［0,T］T,

對(duì)于u∈P,t∈［0,T］T易知(Φu)(t)滿足方程(1).因此, P中的每個(gè)不動(dòng)點(diǎn)y滿足方程(1).

另外,當(dāng)u∈P,t∈［0,T］T,(Φu)Δ(t)≥0知(Φu)(t)是增加的,這意味著ΦP?P.故Φ是全連續(xù)的.因此,找方程(1)的解就等價(jià)于找錐P中的不動(dòng)點(diǎn)y.

定理2[5]設(shè)條件(A)成立,又設(shè)存在常數(shù)0

則邊值問題(1)至少有三個(gè)正解u1,u2,,u3滿足u1(t)

證明驗(yàn)證定理1的所有條件都滿足.定義非負(fù)連續(xù)的凹函數(shù)

Ψ∶P→[0,∞)滿足Ψ(u)=u(h),

P的定義如(4),我們有Ψ(u)≤‖u‖,u∈P,t∈［0, σ(T)］.設(shè)y∈,則‖u‖≤c,由假設(shè) (C1)f(s,u)≤當(dāng)0≤u≤c這時(shí)有

因此，我們有

對(duì)

從而定理1的條件(1)滿足.

從而定理1的條件(2)滿足.

從而定理1的條件(3)滿足.

由于定理1的所有條件都被滿足,所以邊值問題(1)至少有三個(gè)正解u1,u2,u3,當(dāng)u3(t)b,a

[1]Sun J P,Li W T.Positive Solutions for System of Nonlinear First-Order PBVPs on Time Scales[J].Nonlinear Anal,2005,62:131-139.

[2]Jian Ping Sun.Twin Positive Solutions of Nonlinear First-Order Boundary Value Problems on Time Scales[J].Nonlinear Anal.,2008, 68:1754-1758.

[3]Ismail Yaslan.Existence of Positive Solutions for Nonlinear Three-point Boundary Value Problems on Time Scales[J].J Comput Appl Math,2007,206:888-897.

[4]Legget R W,Williams L R.Multiple Positive Fixed Points of Nonlinear Operators on Ordered Banach Spaces[J].Indiana Univ Math J,1979,28:673-688.

[5]Jian Ping Sun,Wan-Tong Li.Existence of solutions to nonlinear first-order PBVPs on time scales[J].Nonlinear Anal,2007,67:883-888.

Abstract:In this paper,by means of the Legget-Williams fixed point theorems in cones,we study the existence of at least three positive solutions of a nonlinear second-order boundary value problem on time scales.

Key words:positive solution;boundary value problem;fixed point theorem;time scales;cone

〔編輯 高海〕

Existence of Positive Solutions to Nonlinear First-order Boundary Value Problems on Time Scales

ZHANG Ying,QIAO Shi-dong
(School of Mathematics and Computer Science,Shanxi Datong University,Datong Shanxi,037009)

O175.14

A

1674-0874(2010)05-0001-02

2010-03-02

山西省高?？萍佳芯块_發(fā)項(xiàng)目[200811043]

張英(1964-)，女，山西大同人，碩士，教授，研究方向：常微分方程.