吳雪莎

（重慶電子工程職業(yè)學(xué)院，重慶401331）

自共軛四元數(shù)矩陣特征值和的界

吳雪莎

（重慶電子工程職業(yè)學(xué)院，重慶401331）

本文利用自共軛四元數(shù)矩陣跡與特征值的一些關(guān)系式，將求特征值和的界的問題轉(zhuǎn)化為兩個優(yōu)化問題，得到自共軛四元數(shù)矩陣的部分特征值的界。設(shè)自共軛四元數(shù)矩陣有n個特征值，如果已知自共軛四元數(shù)矩陣的最?。ㄗ畲螅┨卣髦担梢缘玫狡淝発（1≤k≤n）個最大（最?。┨卣髦档暮偷纳希ㄏ拢┙?。

自共軛；特征值；界

對于特殊的四元數(shù)矩陣，我們知道自共軛四元數(shù)矩陣的右特征值一定為實數(shù)。本節(jié)將借助于自共軛四元數(shù)矩陣跡與特征值的一些關(guān)系，得到其部分特征值和的界。

引理1 設(shè)A為自共軛四元數(shù)矩陣，λ1(A),λ2(A),…，λn(A)為A的n個右特征值，則

引理2 設(shè)為自共軛四元數(shù)矩陣，λ1(A),λ2(A),…，λn(A)為A的n個右特征值，則

證明：設(shè)λ為A的右特征值，則Aα=αλ，從而

AAα=Aαλ?AAα=αλλ?A2α=αλ2?λ2為A2的右特征值。

又因為A為自共軛四元數(shù)矩陣，所以（A2）*=（AA）*= A*A*=（A*）2=A2

故A2為自共軛四元數(shù)矩陣。又由引理（1）可得

定理1 設(shè)為自共軛四元數(shù)矩陣，λ1(A),λ2(A),…，λn(A)為A的n個右特征值，則

且當(dāng)且僅當(dāng)λ1=λ2=…=λn時等號成立。

且當(dāng)且僅當(dāng)λ1=λ2=…=λn時等號成立。

證明1 由引理1，顯然可得式（1）。

證明過程可仿照（3）的證明，顯然可得。

上面的關(guān)系式表明可以定義集合

令f(x1,x2,…，xn-1)=x1+x2+…+xk

下面解決兩個最優(yōu)化的問題：

可以得到

所以

整理得

進而得到

可以看出

因此，如果(x1,x2,…，xn-1)是拉格郎日函數(shù)L的穩(wěn)定點，則

或者

又

即得到

取x1=sk，那么由（10）得

因此x1-xk+1<0且λ2>0。

故Δ2L(x,λ)=2λ2I是正定矩陣。

f在式（11）給出的x點取得最小值，fmin=ksk。

現(xiàn)取x1=lk，由式（10），得

此時x1-xk+1>0且λ2<0，故2L(x,λ)=2λ2I是負(fù)定矩陣，fmax=klk。

因此有如下結(jié)論。

定理3 設(shè)λi(i=1,2,…n)是自共軛四元數(shù)矩陣A的右特征值，且λ1≥λ2≥…≥λn.如果λn已知，那么

且

其中

特別的，對于定理2，取k=1，有以下結(jié)論：

推論1設(shè)λi(i=1,2,…n)是自共軛四元數(shù)矩陣A的右特征值，且λ1≥λ2≥…≥λn.如果λn已知，那么

其中f(A)如式（18）。

注意：在式（19）和（20）中，我們看到給出了包含特征值的一個區(qū)間。這個區(qū)間可以不用計算A2就可以得到，因為

定理4 設(shè)λi(i=1,2,…,n)是自共軛四元數(shù)矩陣A的右特征值，且λ1≥λ2≥…≥λn≥0。那么

且

其中

特別的，λ1≤β1,a1≤λn。

定理5 設(shè)λi(i=1,2,…,n)是自共軛四元數(shù)矩陣A的右特征值，且λ1≥λ2≥…≥λn。 如果λ1已知，那么

且

其中

推論2設(shè)λi(i=1,2,…,n)是自共軛四元數(shù)矩陣A的右特征值，且λ1≥λ2≥…≥λn。 如果λ1已知，那么

且

[1]曹重光.四元數(shù)自共軛矩陣的幾個定理[J].數(shù)學(xué)研究與評論, 1988(08):346～348.

[2]FuZhen.Zhang.Quaternions and Matrices of Quaternions[J].Linear Algebra and its Applications.251(1997):21～57.

[3]李文亮.四元數(shù)自共軛矩陣跡的一些不等式 [J].長沙電力學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版)，1996(01):54～59.

[4]陳湘贇.四元數(shù)矩陣特征值的估計定理 [J].南京工程學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版),2008(06):10～12.

[5]張樹青.關(guān)于四元數(shù)矩陣之跡的幾個定理 [J].數(shù)學(xué)研究與評論，1993(04):18～22.

[6]黃禮平.關(guān)于四元數(shù)矩陣跡的不等式[J].湖南數(shù)學(xué)年刊，1992 (03):409～454.

[7]曹重光.關(guān)于四元數(shù)自共軛矩陣跡的幾個不等式 [J].數(shù)學(xué)雜志,1988(08):313～314.

[8]莊瓦金.四元數(shù)矩陣的特征值與奇異值不等式[J].數(shù)學(xué)進展, 1988(10):403～407.

責(zé)任編輯 鄭 文

Bounds of the Sum of Self-conjugate Quaternion Matrix Eigenvalues

WU Xuesha
（Chongqing College of Electronic Engineering,Chongqing 401331，China)

In this paper,by use of the relation between eigenvalue and trace of self-conjugate quternion matrix,to solve the bound of sums of eigenvalues is changed into two optimization questions and we obtain the solutions.In addition,suppose a self-conjugate matrix have n eigenvalues，if its the minimum(maximum)is known，then the bound of sums of the first k（1≤k≤n）largest(smallest)eigenvalues can be achieved.

self-conjugate；eigenvalue；bound

O17

A

1674-5787（2010）03-0139-03

2010-04-20

吳雪莎（1983—），女，重慶市人，重慶電子工程職業(yè)學(xué)院人文素質(zhì)部，助教。