基于時(shí)態(tài)的模糊描述邏輯初探*

昌 霞，孫 瑜，冉 婕，李 靜，章秀君

(云南師范大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與信息學(xué)院，云南 昆明650092)

在很長(zhǎng)的一段歷史時(shí)期內(nèi)，邏輯學(xué)中討論的主要是二值邏輯，隨著人工智能與認(rèn)知科學(xué)等的不斷深入，人們認(rèn)識(shí)到用二值邏輯來模擬人的思維是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。因此，非經(jīng)典邏輯的產(chǎn)生成為必然。

時(shí)態(tài)邏輯包括命題時(shí)態(tài)邏輯和謂詞時(shí)態(tài)邏輯[1]，在計(jì)算機(jī)科學(xué)中應(yīng)用較為廣泛的命題線性時(shí)態(tài)邏輯系統(tǒng)PLTL，是由 PNUELI A和 MANNA Z給出的。PLTL包含可數(shù)無窮多個(gè)命題變?cè)约斑壿嬄?lián)結(jié)詞┐(否定)、∧(合 取)、∨(析 取)、?(蘊(yùn) 含)與≡(等 價(jià))和 時(shí) 態(tài) 算 子 □(意為“任一時(shí)刻”)、◇(意為“某一時(shí)刻”)、○(意為“下一時(shí)刻”)與＞(意為“直到”)[2]。模糊邏輯從研究模糊性出發(fā)，把元素屬于集合的觀念模糊化，承認(rèn)論域上存在著既是又非的元素；它又把屬于概念量化，承認(rèn)論域上的不同元素對(duì)同一集合有不同的隸屬度。模糊集合論著力研究模糊推理的規(guī)律，在{0，1}中取值，恰當(dāng)?shù)靥幚砟：?，以適應(yīng)現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展。但模糊邏輯在表達(dá)知識(shí)的過程中并沒有與時(shí)間相關(guān)聯(lián)，將時(shí)態(tài)算子加入模糊描述邏輯中也是一個(gè)非常值得探討的課題。因此，本文在模糊描述邏輯中增加適當(dāng)?shù)臅r(shí)態(tài)算子□、◇和○得到一種新的時(shí)態(tài)模糊描述邏輯。

1 時(shí)態(tài)邏輯基礎(chǔ)和模糊描述邏輯

時(shí)態(tài)邏輯是關(guān)于隨著時(shí)間變化而不斷改變其值的動(dòng)態(tài)變?cè)?稱為時(shí)序變?cè)?的一種模態(tài)邏輯。它除含有經(jīng)典邏輯的邏輯聯(lián)結(jié)詞和量詞外，還含有一些時(shí)態(tài)算子。時(shí)態(tài)邏輯包括命題時(shí)態(tài)邏輯和謂詞時(shí)態(tài)邏輯，選擇不同的時(shí)態(tài)算子將導(dǎo)致不同的時(shí)態(tài)邏輯系統(tǒng)。在時(shí)態(tài)邏輯中，時(shí)間的結(jié)構(gòu)可以是線性的或分支的、離散的或連續(xù)的、基于時(shí)間點(diǎn)的或時(shí)區(qū)的?；诓煌膽?yīng)用背景，可采用不同的時(shí)間結(jié)構(gòu)。

針對(duì)模糊知識(shí)處理，Umberto Straccia結(jié)合模糊邏輯對(duì)傳統(tǒng)描述邏輯ALC進(jìn)行了擴(kuò)充，提出了一種模糊描述邏輯FALC，從而使得描述邏輯能表示和推理模糊或不精確知識(shí)[3]。在之后的模糊描述邏輯研究中，李言輝提出了一種支持?jǐn)?shù)量約束的擴(kuò)展模糊描述邏輯EFALCN；Stoilos提出了比EFALCN表達(dá)能力更強(qiáng)的兩種模糊描述邏輯f-SHIN和f-SHOIN，并且給出了f-SHOIN的ABox約束下的可滿足性推理算法；蔣運(yùn)承老師等人提出了一種新的面向語義Web語義表示的模糊描述邏輯FSHOIQ(fuzzy SHOIQ)[4]。

2 時(shí)態(tài)模糊描述邏輯

時(shí)態(tài)模糊描述邏輯是對(duì)模糊邏輯的擴(kuò)充，模糊邏輯是針對(duì)二值邏輯表達(dá)能力不完備的一種擴(kuò)展，是為解決現(xiàn)實(shí)世界中存在的模糊現(xiàn)象而發(fā)展起來的,它考慮被討論概念屬于某一類的程度,一個(gè)命題可能亦此亦彼,存在部分真和部分假。例如,張三身高1.74 m，在經(jīng)典邏輯中若把1.78 m定為高個(gè)子，那么張三就不是高個(gè)子[5]。事實(shí)上，經(jīng)常會(huì)這樣說：“張三個(gè)子比較高”，“比較高”這樣的不精確信息在二值邏輯中就無法表達(dá)。除帶模糊信息之外，在現(xiàn)實(shí)生活中，許多的信息具有時(shí)間屬性，比如說，有一個(gè)命題是“以后我將成為名人”[5]，在這個(gè)命題里，“名人”具有模糊性，并且“以后”是個(gè)時(shí)間屬性，所以主要來研究在已有的模糊邏輯的基礎(chǔ)上，增加時(shí)態(tài)算子□、◇和○，構(gòu)建時(shí)態(tài)模糊描述邏輯的語法、語義以及形式化公理體系。本文所研究的模糊描述邏輯是基于vague集的模糊描述邏輯，所增加的時(shí)態(tài)算子□表達(dá)的是在過去的任一時(shí)刻，◇表達(dá)的是在過去的某一時(shí)刻，比如指已過去的某一天，而○表達(dá)的是下一時(shí)刻，延伸為未來。

2.1 vague集

vague集[6]有獨(dú)特的特征來處理vague數(shù)據(jù)。與普通集合相比，它具有更好的表達(dá)能力。

定義1 設(shè)U是論域，u是論域U上的元素，U上的vague集V由真隸屬函數(shù)tV和假隸屬函數(shù)fV來刻畫。其中tV(u)是從支持u的證據(jù)中導(dǎo)出的u的隸屬度下界；而fV(u)是從反對(duì)u的證據(jù)中得到的u的否定隸屬度下界。tV(u)和 fV(u)都將區(qū)間[0，1]上的實(shí)數(shù)值與 U中的每一個(gè)元素相關(guān)聯(lián)。 tV：U→[0，1]，fV：U→[0，1]，tV(u)+fV(u)≤1。

設(shè) U={u1，u2，…，un}那么論域 U 上的 vague集 V 可以表示為：

其中，tV(ui)≤μV(ui)≤1-fV(ui)，?ui∈U，1≤i≤n。

這種方法是把u的隸屬度函數(shù)限定到[0，1]的子區(qū)間[tV(u)，1-fV(u)]上。u的隸屬函數(shù) μV(u)的隸屬值通過tV(ui)≤μV(ui)≤1-fV(ui)來限定。與u相關(guān)知識(shí)的精確差異度用1-fV(u)-tV(u)來表示。如果差異度較小，與u相關(guān)的知識(shí)就相對(duì)地更精確。如果tV(u)等于1-fV(u)，與u相關(guān)的知識(shí)就是精確的，此時(shí)，vague集退化為模糊集，其中如果 tV(u)和 1-fV(u)都等于 1或 0，則vague集退化為普通集合。例如，模糊集{0.6/u}可以表示成vague集{[0.6，0.6]/u},普通集合{u}也可以用 vague 集{[1，1]/u}表示[6]。

2.2 語法

時(shí)態(tài)模糊描述邏輯的語法是模糊描述邏輯ALCN的語法的擴(kuò)充。

定義2 在時(shí)態(tài)模糊描述邏輯中,概念定義為：

(1)原子概念A(yù)、全概念 ┬、和空概念⊥都是概念；

(2)如果 C和 D 是概念，則┐C、C∩D、C∪D、□C、◇C、○C都是概念；

(3)如果R為關(guān)系，C為概念，則?R.C和?R.C都是概念。

定義3 在T-FALC中，關(guān)系定義為：

(1)原子關(guān)系P是關(guān)系；

(2)如果R是關(guān)系，則□R、◇R、○R也是關(guān)系。

定義 4 模糊術(shù)語公理有概念包含A?C[4]，其中A是原子概念，C是任意概念。

定義5 在時(shí)態(tài)模糊描述邏輯中，公式定義為(用<>來表達(dá)公式)：

(1)形如<π[m，n]>(又寫作 π?[m，n])的表達(dá)式，這類是不帶變?cè)模渲?π 為 C(a)、R(a，b)、□C(a)、◇C(a)、○C(a)、□R(a，b)、◇R(a，b)或 ○R(a，b)；a 和 b 是 個(gè) 體常元，□、◇和○為時(shí)態(tài)算子，0≤m≤n≤1；C為概念，R為關(guān)系，稱這樣的公式為斷言公式；

(2)形如<π[m，n]>(又寫作 π?[m，n])的表達(dá)式，它們是 帶 變 元 的 ， 其 中 π 為 C(x)、R(x，y)、 □C(x)、 ◇C(x)、○C(x)、□R(x，y)、◇R(x，y)或○R(x，y)；x 和 y 是個(gè)體變?cè)?，□、◇和○為時(shí)態(tài)算子，0≤m≤n≤1；C為概念，R為關(guān)系，稱這樣的公式為一般公式；

(3)斷言公式和一般公式都是公式；

(4)假設(shè) ψ 和 φ 是公式，形如┐ψ、ψ∧φ、ψ∨φ、φ→ψ、?xψ、?yψ 都稱為公式；

(5)假設(shè)φ是公式，則□φ、◇φ、○φ也是公式。

例如，<藍(lán)色（天空）[0.6,0.8]>、<優(yōu)秀學(xué)生(張三）[0.4,0.5]>、<◇天氣晴朗(昆明)[0.7,0.9]>、<◇萬里無云(昆明)[0.6,0.75]→◇天氣晴朗(昆明)[0.6,0.75]>，這些都為T-FALC的公式。

在該系統(tǒng)中，時(shí)間隱含了在某個(gè)可能世界里面狀態(tài)間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，一個(gè)時(shí)間片對(duì)應(yīng)一個(gè)狀態(tài)，對(duì)于某個(gè)概念或個(gè)體而言，它從一個(gè)狀態(tài)u到另一個(gè)狀態(tài)v，依賴于在狀態(tài)u和v處是否分別滿足公式集。例如，一塊農(nóng)田，現(xiàn)在處于輕微干旱階段，若當(dāng)前時(shí)期降雨量非常小，則該農(nóng)田到下一階段干旱現(xiàn)象會(huì)加重[7]。這樣的一個(gè)簡(jiǎn)單狀態(tài)轉(zhuǎn)換可以描述為：當(dāng)前狀態(tài)u的公式集為{Drought(a)[0.2,0.4]，Rainfall(a)[0.1,0.3]}，下一狀態(tài) v 的公式集為{Drought(a)[0.5,0.7]}，其中Drought是一個(gè)概念（表示對(duì)于某個(gè)具體的個(gè)體的地理狀態(tài)），a代表一個(gè)個(gè)體。從狀態(tài)u到狀態(tài)v的推理在后面會(huì)詳細(xì)說明，通過當(dāng)前狀態(tài)u中的公式(前提條件)推導(dǎo)出下一狀態(tài)可能出現(xiàn)的概念的隸屬度，來綜合決策下一狀態(tài)具有哪些屬性（概念）。

2.3 語義

時(shí)態(tài)模糊描述邏輯的語義模型用一個(gè)三元組K=(Δ，D，I)來表示：

(1)非空集合Δ，是該系統(tǒng)中所討論的所有個(gè)體對(duì)象的集合，又稱為論域；

(2)非空集合D，是時(shí)態(tài)模糊描述邏輯模型中所有狀態(tài)的集合，稱為狀態(tài)集；

(3)對(duì)該系統(tǒng)中的個(gè)體常元、概念和關(guān)系加以解釋的映射 I。

在模糊描述邏輯中的語義是將概念解釋為一定論域的模糊子集，關(guān)系是該論域上的模糊二元關(guān)系[3，8]。本文應(yīng)用的是 vague 模糊解釋 FI=(ΔFI，·FI)，其中，解釋論域ΔFI是非空的個(gè)體集合，·FI是模糊解釋函數(shù)。其中解釋函數(shù)·FI是將概念解釋為論域 ΔFI的模糊子集，關(guān)系是該論域上的模糊二元關(guān)系。模糊解釋的定義為：

定義6 對(duì)于時(shí)態(tài)模糊描述邏輯時(shí)態(tài)模糊描述邏輯中的一個(gè)狀態(tài) α，該狀態(tài)下的模糊解釋為 FI(α)=(ΔFI(α)，·FI(α))， 其 中 ΔFI(α)是 解 釋 論 域 ， ·FI(α)為 解 釋 函 數(shù),并 且 解釋函數(shù)·FI(α)滿足以下幾點(diǎn)：

(1)對(duì)任意 個(gè)體 a 和 b，如果 a≠b，則 aFI(α)≠bFI(α)；

(2)對(duì)任意概念 C，解釋函數(shù)·FI(α)將 C映射為一個(gè)隸屬函數(shù)，即 CFI(α)：ΔFI(α)→[α，β]；

(3)對(duì)任意關(guān)系 R，解釋函數(shù)·FI(α)將R映射為一個(gè)隸屬函數(shù)，即 RFI(α)：ΔFI(α)×ΔFI(α)→[α，β]。 其中 α∈[0，1]，β∈[0，1]，α 和 β分別是從 vague集的真隸屬函數(shù) tv和假隸屬函數(shù)fv中得到的隸屬度。在狀態(tài)α下的概念C的模糊解釋 CFI(α)是相對(duì)于 FI(α)的模糊概念集 C的隸屬函數(shù) ， 例 如 d∈ΔFI(α)是 論 域 ΔFI(α)的 一 個(gè) 個(gè) 體 ， 則 CFI(α)(d)表示在模糊解釋FI(α)下個(gè)體d屬于模糊概念C的程度。

定義7 時(shí)態(tài)模糊描述邏輯概念和關(guān)系的語義如下(對(duì)任意 c，d∈ΔFI(α))：

其中χ，δ代表兩個(gè)不同的狀態(tài)，滿足在其所屬世界里直接可達(dá)關(guān)系，π是指□和◇。例如，現(xiàn)有兩個(gè)狀態(tài)u和v，在 u 狀態(tài)里只有一個(gè)公式{□Tall(張三)[0.7,0.9]，Tall(李四)[0.6,0.7]}，在 v狀態(tài)里有兩個(gè)公式{Tall(張三)[0.75,0.85]，Height(張三)[0.4,0.7]}，在通過 u狀態(tài)和 v狀態(tài)里，只有 Tall(張三)是相同的概念描述，就可以通過第9個(gè)算式對(duì)該概念的隸屬區(qū)間加以修正。

3 一個(gè)簡(jiǎn)單的知識(shí)實(shí)例

現(xiàn)給出一個(gè)簡(jiǎn)單的描述某地天氣狀況的實(shí)例，在這里總共有 4個(gè)狀態(tài)，依次定義為 t1，t2，t3，t4，再假設(shè)描述的地區(qū)對(duì)象為昆明，則通過專家系統(tǒng)可以獲取天氣在t1狀態(tài)下，有公式集{fine(a)[0.5,0.8]，wind(a)[0.35,0.55]，overcast(a)[0.45,0.6]}；t2 狀 態(tài) 下 ， 有 {fine(a)[0.45,0.65]，wind(a)[0.3,0.5]，cloud(a)[0.4,0.6]}；t3 狀 態(tài) 下 ， 有 {wind(a)[0.35,0.65]，rain(a)[0.3,0.5]，cloud(a)[0.4，0.6]}；t4 狀 態(tài) 下 ， 有 {rain(a)[0.4,0.7]，overcast(a)[0.45,0.6]}。每個(gè)狀態(tài)都有相應(yīng)的公式集，通過相應(yīng)的推理規(guī)則，可得到下一狀態(tài)的概念隸屬度。將所得到的概念與系統(tǒng)已有的同概念進(jìn)行隸屬區(qū)間比較，綜合判定后得到下一狀態(tài)會(huì)具有的屬性（概念）。假設(shè)在t1狀態(tài)下，通過相應(yīng)的推理機(jī)制可得到 wind(a)[0.3,0.45]，overcast(a)[0.1,0.3]，fine(a)[0.2,0.4]，則通過將這些結(jié)論與 t2狀態(tài)下的公式集進(jìn)行比較，可簡(jiǎn)單地對(duì)t2狀態(tài)下公式進(jìn)行修正，得到wind(a)[0.3,0.45]。

本文首先分析了現(xiàn)有描述邏輯的研究現(xiàn)狀,特別是時(shí)態(tài)邏輯和模糊描述邏輯，針對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中，有許多的信息具有時(shí)間屬性并且?guī)в心：⒉痪_的特點(diǎn)，在時(shí)態(tài)邏輯和模糊描述邏輯基礎(chǔ)上，提出一種新的描述邏輯，即時(shí)態(tài)模糊描述邏輯，在此基礎(chǔ)上給出了時(shí)態(tài)模糊描述邏輯的語法和語義。進(jìn)一步的工作主要是完善語法、語義及知識(shí)庫的解釋，并研究時(shí)態(tài)模糊描述邏輯的推理機(jī)制，包括斷言公式集的一致性推理以及證明該可滿足性推理算法的正確性。

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