非等間距GM(1,1)模型的改進(jìn)及預(yù)測(cè)分析

梅 紅,孫澤信

(河海大學(xué)地球科學(xué)與工程學(xué)院,江蘇南京 210098)

壩堤的變形分析與預(yù)測(cè),在壩堤的建設(shè)和使用過(guò)程中極為重要.目前針對(duì)這類問(wèn)題的研究理論和方法都很多,在沉降變形的小樣本監(jiān)測(cè)離散數(shù)列方面,灰色GM(1,1)模型以其特有的優(yōu)勢(shì)得到了很好的應(yīng)用.灰色GM(1,1)模型對(duì)數(shù)據(jù)的處理,不是求得數(shù)據(jù)的概率分布和統(tǒng)計(jì)規(guī)律,而是根據(jù)數(shù)據(jù)的處理方法找出數(shù)據(jù)間的規(guī)律,因而只需較少的數(shù)據(jù)[1-2].大量文獻(xiàn)表明,灰色GM(1,1)存在一些預(yù)測(cè)精度不高的情況,因此,對(duì)灰色GM(1,1)模型進(jìn)行深入的研究,找出影響模型精度的關(guān)鍵性因素并進(jìn)行改進(jìn),提高灰色GM(1,1)預(yù)測(cè)模型的精度,具有非常重要的理論意義和實(shí)際價(jià)值.

本文從非等間距GM(1,1)模型的基本原理出發(fā),在對(duì)模型精度的主要影響因素進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上,對(duì)模型初值選取以及背景值的構(gòu)造2個(gè)方面進(jìn)行改進(jìn),最后結(jié)合某壩堤沉降監(jiān)測(cè)實(shí)例進(jìn)行預(yù)測(cè)分析.

1 非等間距GM(1,1)模型的建模過(guò)程

傳統(tǒng)的灰色GM(1,1)模型是以等間隔數(shù)列為基礎(chǔ)的,但在實(shí)際工程的變形監(jiān)測(cè)中,觀測(cè)數(shù)據(jù)的時(shí)間間隔往往呈現(xiàn)非等間隔的狀態(tài),這就限制了傳統(tǒng)灰色GM(1,1)模型的應(yīng)用.這時(shí),需要把非等時(shí)間間隔轉(zhuǎn)化為等時(shí)間間隔序列.本文主要采用單位時(shí)段差系數(shù)修正法對(duì)原數(shù)據(jù)進(jìn)行處理,再進(jìn)行一次累加生成處理,進(jìn)而形成非等間距GM(1,1)模型[3-5].

設(shè)X(0)={x(0)(ti)i=1,2,…,n},ti∈R,ti與ti+1之間為任意非等間距,即 Δti=ti+1-ti不為常數(shù).則平均時(shí)間間隔Δt0為

單位時(shí)間差系數(shù) μ(ti)為

于是得到等間隔序列為

將x(1)1(t)擬合成一階線性微分方程,即

式中:a,u為待定常數(shù).a稱為發(fā)展系數(shù),其大小反映了序列 x(0)的增長(zhǎng)速度;u稱為灰色作用量.則可得到方程組:

其中

其法方程組為

則最小二乘解為

得到時(shí)間響應(yīng)函數(shù)為

還原為非等間距數(shù)列中與時(shí)間t有關(guān)的函數(shù)(t為距首次周期的時(shí)間間隔)為

則

將預(yù)測(cè)時(shí)間t代入式(12),即可求得預(yù)測(cè)值.

2 非等間距GM(1,1)模型精度檢驗(yàn)

建模的主要目的在于預(yù)測(cè).為了評(píng)價(jià)預(yù)測(cè)的精度和效果,有必要對(duì)所建模型精度進(jìn)行檢驗(yàn).灰色模型的精度通常采用后驗(yàn)差方法檢驗(yàn),其基本過(guò)程如下[6]:

a.計(jì)算殘差.記k 時(shí)刻 x(0)(k)與(0)(k)之差為

b.計(jì)算原始數(shù)列和殘差數(shù)列的方差:

其中

c.計(jì)算后驗(yàn)差比值C和小誤差概率p:

d.模型精度評(píng)定.指標(biāo)C越小越好,C越小,表示S1越大而S2越小.S1大,表示原始數(shù)據(jù)離散程度大;S2小,表示殘差離散程度小.指標(biāo)p越大越好,p越大,表明殘差與殘差平均值之差小于給定值0.6745S1的數(shù)據(jù)比較多.根據(jù)C與p 2個(gè)指標(biāo),可綜合評(píng)定模型精度.模型精度評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)如表1所示.

3 非等間距GM(1,1)模型精度影響因素分析

由非等間距GM(1,1)模型的建立過(guò)程及其基本原理可知,影響該模型預(yù)測(cè)精度的因素主要有以下幾個(gè)方面:(a)原始數(shù)據(jù)的選取.構(gòu)成非等間距GM(1,1)模型的原始數(shù)據(jù)必須在正常的類似條件下得到,否則擬合所得的模型不具有較強(qiáng)的規(guī)律性.(b)初值的選取.在傳統(tǒng)的GM(1,1)預(yù)測(cè)模型中,取 x(0)(1)作為初值顯然不太合理,因?yàn)槟Ｐ偷淖罴褦M合曲線有可能不通過(guò) x(1)序列中任何一個(gè)數(shù)據(jù)[7-8].(c)模型背景值的構(gòu)造.傳統(tǒng)的灰色GM(1,1)預(yù)測(cè)模型是基于對(duì)積分函數(shù)的近似,與實(shí)際情況不符.(d)非等間距GM(1,1)模型是一指數(shù)模型,它反映的是變形體單純隨時(shí)效的變化情況.如果有其他外界因素對(duì)變形或沉降產(chǎn)生較大影響,如荷載的突然變化,則會(huì)大大影響所建模型的精度[9-10].(e)數(shù)據(jù)維數(shù)的影響.灰色模型針對(duì)不同的實(shí)際情況,存在著不同的最佳維數(shù),只有選擇了合適的維數(shù),才可以使模型精度達(dá)到最佳[11-12].

表1 模型精度評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)Table 1 Assessment criteria for model precision

4 非等間距GM(1,1)模型的改進(jìn)

4.1 初值的改進(jìn)

在傳統(tǒng)的灰色GM(1,1)模型中,取x(0)(1)作為初值.但是由于模型的最佳擬合曲線有可能不通過(guò) x(1)序列中任何一個(gè)數(shù)據(jù),因此,x(0)(1)作為初值并不合理,故須對(duì)其改進(jìn).若要提高模型的精度,必須使殘差數(shù)列的方差最小,故本文利用最小二乘法對(duì)初值進(jìn)行改進(jìn).即使達(dá)到最小.

求解方程

其中

4.2 背景值構(gòu)造的改進(jìn)

由式(6)可得

其中

稱為模型背景值.但在傳統(tǒng)的灰色GM(1,1)模型中,其背景值的構(gòu)造采用

從式(20)可以看出背景值z(mì)(1)(k+1)是x(1)(t)在區(qū)間(k,k+1)上的定積分,而傳統(tǒng)的背景值實(shí)際上是該定積分的近似算法,把x(1)(t)近似成一條直線.近似公式的誤差有可能很大,導(dǎo)致模型預(yù)測(cè)的精度較低.因此,在其他條件不變的情況下,若要提高模型的預(yù)測(cè)精度,只有盡可能減少模型中背景值的計(jì)算誤差.

從非等間距GM(1,1)模型的求解結(jié)果來(lái)看,可設(shè)

式中 m,p,q為3個(gè)獨(dú)立的未知數(shù).由此可知,每3個(gè)相鄰的 x(1)(t)即可確定一個(gè)(1)(t)函數(shù),即(1)(k),x(1)(k+1),x(1)(k+2)確定(1)(k+1),這樣就可以把整個(gè) x(1)(t)擬合成 n-1個(gè)獨(dú)立的指數(shù)函數(shù).這將大大減少背景值構(gòu)造計(jì)算誤差,從而提高模型的預(yù)測(cè)精度.

則背景值計(jì)算公式為

其中

5 實(shí)例分析

某壩堤位于地質(zhì)條件很差的軟土地區(qū),需要在壩堤全部施工階段進(jìn)行沉降觀測(cè),并通過(guò)變形分析和預(yù)報(bào)調(diào)節(jié)施工速度,以保證壩堤的施工安全.表2為壩堤某一沉降監(jiān)測(cè)點(diǎn)的部分觀測(cè)數(shù)據(jù).

按照本文改進(jìn)方法進(jìn)行建模,并用改進(jìn)的非等間距GM(1,1)模型對(duì)沉降進(jìn)行預(yù)測(cè)分析.所建模型精度與改進(jìn)前模型比較結(jié)果如表3所示.對(duì)模型進(jìn)行不同的改進(jìn),改進(jìn)后模型的精度等級(jí)如表4所示,沉降預(yù)測(cè)結(jié)果如表5所示.

表2 沉降觀測(cè)數(shù)據(jù)Table 2 Observed data of settlement

表3 模型精度比較Table3 Comparative results of model precision

表4 模型的改進(jìn)與精度等級(jí)Table4 Improvement and accuracy grade of model

從表3可以看出,非等間距GM(1,1)模型改進(jìn)后擬合值與實(shí)測(cè)值更加接近,改進(jìn)前平均相對(duì)誤差為1.04%,改進(jìn)后平均相對(duì)誤差為0.76%,模型的擬合精度有較大提高;從表4可以看出,所建的非等間距GM(1,1)模型的精度等級(jí)為一級(jí),對(duì)模型進(jìn)行改進(jìn)后,后驗(yàn)差比值C變小,表明模型的改進(jìn)是有效的;從表5預(yù)測(cè)結(jié)果來(lái)看,預(yù)測(cè)值和實(shí)測(cè)值相當(dāng)接近,改進(jìn)前預(yù)測(cè)值的最大相對(duì)誤差為5.61%,最小相對(duì)誤差為0.73%,平均相對(duì)誤差為2.40%,改進(jìn)后預(yù)測(cè)值的最大相對(duì)誤差為2.76%,最小相對(duì)誤差為0.34%,平均相對(duì)誤差為1.07%,表明改進(jìn)后的非等間距GM(1,1)模型可靠性更強(qiáng),精度更高.

表5 沉降預(yù)測(cè)結(jié)果Table5 Results of predicted settlement

6 結(jié) 論

a.從根據(jù)某壩堤沉降監(jiān)測(cè)的5組數(shù)據(jù)所建模型的精度等級(jí)來(lái)看,非等間距GM(1,1)模型比較適合小樣本離散數(shù)據(jù)的處理,利用很少數(shù)據(jù)即可進(jìn)行較為準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)分析.

b.對(duì)某壩堤沉降的預(yù)測(cè)分析結(jié)果表明:非等間距GM(1,1)模型初值的選取及背景值的構(gòu)造方法,都是影響GM(1,1)模型預(yù)測(cè)精度的重要因素;改進(jìn)后模型的預(yù)測(cè)精度有了更大的提高.

c.運(yùn)用改進(jìn)后的非等間距GM(1,1)模型對(duì)后續(xù)5個(gè)觀測(cè)時(shí)間的累積沉降量進(jìn)行了預(yù)測(cè),預(yù)測(cè)值較模型改進(jìn)前與實(shí)測(cè)值更加接近,表明改進(jìn)后的模型可靠性更強(qiáng),精度更高,更適用于壩堤的沉降預(yù)測(cè)分析.

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