蔡輝騰，張 穎，蔡宗文，張錦福

（福建省地震局，福建福州 350003）

強(qiáng)地震動(dòng)估計(jì)中映射法四種映射原則的數(shù)學(xué)表達(dá)①

蔡輝騰，張 穎，蔡宗文，張錦福

（福建省地震局，福建福州 350003）

運(yùn)用數(shù)學(xué)語言對(duì)四種映射原則進(jìn)行闡述，得到四種映射原則對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)映射關(guān)系；為方便地震動(dòng)衰減關(guān)系轉(zhuǎn)換數(shù)值計(jì)算設(shè)計(jì)了計(jì)算流程；并以美國西部為參考區(qū)，導(dǎo)出了云南地區(qū)的基巖水平向地震峰值加速度衰減關(guān)系。結(jié)果表明本文給出的四種數(shù)學(xué)映射關(guān)系和設(shè)計(jì)的數(shù)值計(jì)算流程在轉(zhuǎn)換過程中是可行的，最小扭曲映射原則、最小扭曲可逆映射原則得出的結(jié)果在某種程度上要優(yōu)于IR映射原則、IM映射原則得出的結(jié)果。

映射法；四種映射原則；數(shù)學(xué)映射關(guān)系；計(jì)算流程；地震動(dòng)衰減

Abstract：Four mapping principles are illustrated by means of mathematical language to attain their corresponding mathematical mapping relations.The computing process is designed to facilitate the numerical computation of transformation for ground motion attenuation relation.Taking Western America as the reference area，the horizontal earthquake peak acceleration attenuation relation on bedrock in Yunnan is deduced.The results show that four mathematical mapping relations and the designed numerical computing process are feasible in the course of transformation.Besides，the results of minimal warping mapping principle and minimal warping reversible mapping principle are superior to results of IR mapping principle and IM mapping principle.

Key words：Mapping method；Four mapping principles；Mathematical mapping relation；Computing process；Ground motion attenuation

0 引言

合理估計(jì)地震動(dòng)參數(shù)是地震工程中的重要課題之一。在有較多強(qiáng)震記錄的地區(qū)一般采用經(jīng)驗(yàn)方法建立地震動(dòng)參數(shù)衰減關(guān)系；在缺少強(qiáng)震記錄的我國大部分地區(qū)，現(xiàn)階段一般采用映射法建立地震動(dòng)參數(shù)衰減關(guān)系［1－5］。胡聿賢等曾給出四種映射原則，即IR映射原則、IM映射原則、最小扭曲映射原則、最小扭曲可逆映射原則［2］，為便于數(shù)值計(jì)算運(yùn)用，作者嘗試用數(shù)學(xué)語言對(duì)上述四種映射原則進(jìn)行闡述。

1 映射原則概述

映射目的是要在參考區(qū)a區(qū)和研究區(qū)b區(qū)的一對(duì)地震烈度衰減關(guān)系內(nèi)尋求映射地震對(duì)，即與衰減曲線a上的一個(gè)地震P（Ma，Ra）相對(duì)應(yīng)的衰減曲線b上的一個(gè)地震Q（Mb，Rb）；也就是說，在a區(qū)發(fā)生一次震級(jí)為Ma的地震、在距離Ra處的地震烈度為I，在b區(qū)內(nèi)與之相對(duì)應(yīng)的是在發(fā)生多大的地震Mb、在什么距離Rb處的地震烈度亦為同一烈度I，用解析式表為

這里要求從兩個(gè)給出的參數(shù)Ma和Ra求兩個(gè)待定參數(shù)Mb和Rb，而條件卻只有一個(gè)，即式（1），因此這樣的對(duì)應(yīng)點(diǎn)可以有無窮多個(gè)，因而還要有附加條件即映射原則，用解析式表為

聯(lián)立求解式（1）和式（2），即可求得用下式表示的映射地震對(duì)：

2 四種映射原則數(shù)學(xué)表達(dá)

（1）IR映射原則

IR映射原則即等M映射原則，要求映射對(duì)的M相等，如圖1（a）所示。映射原則解析式式（2）等價(jià)于式（5）

（2）IM映射原則

IM映射原則即等R映射原則，要求映射對(duì)的R相等，如圖1（b）所示。映射原則解析式式（2）等價(jià)于式（6）

（3）最小扭曲映射原則

最小扭曲映射原則要求映射對(duì)間距離最短，如圖1（c）所示，要使AB兩點(diǎn)間距離最短，即AB線垂直于點(diǎn)B的切線。令∠BOD＝θ，則兩映射點(diǎn)有如下關(guān)系：

可得映射原則解析式式（2）等價(jià)于式（8）

（4）最小扭曲可逆映射原則

圖1 四種映射原則示意Fig.1 Diagrams of four mapping principles.

最小扭曲可逆映射原則要求映射對(duì)間距離最短，且從A映射到B與從B映射到A的映射對(duì)又是相同的。如圖1（d）和圖2所示。要滿足上述兩個(gè)條件，即要求映射對(duì)AB是對(duì)稱映射，則兩映射點(diǎn)有如下關(guān)系，其中OA和OB分別為點(diǎn)A和點(diǎn)B的切線：

圖2 最小扭曲可逆映射原則細(xì)化圖Fig.2 Detail drawing of minimal warping reversible mapping principle.

可得映射原則解析式式（2）等價(jià)于式（12）

3 映射法數(shù)值計(jì)算

映射法已知條件是a區(qū)的地震烈度衰減關(guān)系Ia＝fa（Ma，Ra）和地震動(dòng)衰減關(guān)系lg Sa＝Y(jié)a（Ma，Ra），以及b區(qū)的地震烈度衰減關(guān)系Ib＝fb（Mb，Rb），目的是求b區(qū)的地震動(dòng)衰減關(guān)系lg Sb＝Y(jié)b（Mb，Rb）。

3.1 數(shù)值計(jì)算流程

數(shù)值計(jì)算流程：

具體步驟如下：

（1）已知（Ia，Ma）求（Ra，Sa）。根據(jù)物理?xiàng)l件限制可設(shè)Ia＝6～12，間隔為1；Ma＝5～8，間隔為0.1；根據(jù)式Ia＝fa（Ma，Ra）和lg Sa＝Y(jié)a（Ma，Ra），可求的相應(yīng)的Ra和Sa，并限制Ra＞0，不滿足的去掉，可得一組（Ia，Ma，Ra，Sa）。

（2）求（Ib，Mb，Rb，Sb）。聯(lián)立式（1）和式（2），其中式（2）據(jù)四種映射原則分別對(duì)應(yīng)式（5）、式（6）、式（8）、式（12），可得（Mb，Rb），即式（3）和式（4）。值得一提的是，在結(jié)果（Mb，Rb）中應(yīng)剔除Mb＜4或Rb＜0的組。結(jié)合映射法的假設(shè)：當(dāng)Ia＝Ib，則Sa＝Sb，可得（Ib，Mb，Rb，Sb）。

（3）求lg Sb＝Y(jié)b（Mb，Rb）。在一般情況下，從這組數(shù)據(jù)（Sb，Mb，Rb）即可用回歸方法求得適用于b區(qū)的地震動(dòng)衰減關(guān)系。

3.2 算例

參考區(qū)選美國西部，研究區(qū)選云南地區(qū)。

3.2.1 參考區(qū)和研究區(qū)地震烈度衰減關(guān)系

美國西部地震烈度衰減關(guān)系本文選用Chandra［6］對(duì)美國圣安德烈斯地區(qū)1906－1966年間的10次地震的等震線資料研究結(jié)果，并根據(jù)Gutenberg和Richter（1956）的美國加州震級(jí)與震中烈度的關(guān)系式，將Chandra公式中的震中烈度換算成震級(jí)M。烈度衰減關(guān)系為

式中I為地震烈度；M為震級(jí)；R為震中距（單位：km）；σ為標(biāo)準(zhǔn)差。

云南地區(qū)地震烈度衰減關(guān)系選用汪素云等得到的云南地區(qū)地震烈度衰減關(guān)系［3］：

3.2.2 美國西部和云南地區(qū)基巖水平向地震加速度峰值衰減關(guān)系

地震動(dòng)衰減關(guān)系的一般形式如下：

式中Sa代表峰值加速度，單位為cm／s2；C1、C2、C3、C4、C5和C6為衰減關(guān)系的系數(shù)；其余參數(shù)意義同上。

美國西部地區(qū)基巖水平向地震加速度峰值衰減關(guān)系選用俞言祥和汪素云［7－9］最新統(tǒng)計(jì)得出的美國西部基巖水平向地震加速度峰值衰減關(guān)系。

根據(jù)上述映射原則和數(shù)值計(jì)算流程，得到云南地區(qū)不同映射原則對(duì)應(yīng)的基巖水平向地震加速度峰值衰減關(guān)系，轉(zhuǎn)換標(biāo)準(zhǔn)差直接使用了美國西部的標(biāo)準(zhǔn)差。表1給出了參考區(qū)及轉(zhuǎn)換得到的研究區(qū)的地震動(dòng)衰減關(guān)系的系數(shù)及標(biāo)準(zhǔn)差。

圖3 美國西部和云南地區(qū)烈度衰減關(guān)系比較Fig.3 Comparisons of intensity attenuation relation between Western American and Yunnan Area.

圖4 云南地區(qū)不同映射原則的結(jié)果（長軸）Fig.4 Results for different mapping principles in Yunnan area（major axis）.

表1 衰減關(guān)系的系數(shù)及標(biāo)準(zhǔn)差

圖5 云南地區(qū)不同映射原則的結(jié)果（短軸）Fig.5 Results for different mapping principles in Yunnan area（minor axis）.

圖3給出了參考區(qū)（美國西部）和研究區(qū)（云南地區(qū)）烈度衰減關(guān)系的比較，圖4和圖5分別給出了參考區(qū)（美國西部）和研究區(qū)（云南地區(qū)）長軸和短軸基巖水平向地震加速度峰值衰減關(guān)系的比較?？闯隽叶人p關(guān)系的下降速度美國西部高于云南地區(qū)，這一點(diǎn)在遠(yuǎn)場更為明顯?；谠摻嵌瓤紤]，最小扭曲映射原則、最小扭曲可逆映射原則得出的結(jié)果更能體現(xiàn)本區(qū)烈度衰減關(guān)系的特征。

4 結(jié)語

本文運(yùn)用數(shù)學(xué)語言對(duì)四種映射原則進(jìn)行闡述，得到四種映射原則對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)映射關(guān)系；為方便地震動(dòng)衰減關(guān)系轉(zhuǎn)換的數(shù)值計(jì)算，給出了計(jì)算流程；并以美國西部為參考區(qū)，計(jì)算了云南地區(qū)的基巖水平向地震加速度峰值衰減關(guān)系。所得結(jié)果表明本文給出的四種數(shù)學(xué)映射關(guān)系和數(shù)值計(jì)算流程在轉(zhuǎn)換過程中是可行的，最小扭曲映射原則、最小扭曲可逆映射原則得出的結(jié)果在某種程度上要優(yōu)于IR映射原則、IM映射原則得出的結(jié)果。

［1］ 胡聿賢，張敏政.缺乏強(qiáng)震觀測資料地區(qū)地震動(dòng)參數(shù)的估算方法［J］.地震工程與工程振動(dòng)，1984，4（1）：1－11.

［2］ 胡聿賢，周克森，閻秀杰.缺乏地震動(dòng)加速度記錄地區(qū)地震動(dòng)估計(jì)的映射法［J］.地震工程與工程振動(dòng)，1996，16（3）：1－10.

［3］ 汪素云，俞言祥，高阿甲，等.中國分區(qū)地震動(dòng)衰減關(guān)系的確定［J］.中國地震，2000，16（2）：99－106.

［4］ 孫崇紹.西北黃土地區(qū)河谷城市地震動(dòng)參數(shù)小區(qū)研究［J］.西北地震學(xué)報(bào)，2007，29（1）：3－11.

［5］ 唐麗華，李錳，王海濤.伽師－巴楚地區(qū)中強(qiáng)地震加速衰減關(guān)系研究［J］.西北地震學(xué)報(bào)，2007，29（4）：377－384.

［6］ Chandra U.Attenuation of intensities in the United States［J］.Bull.Seism.Soc.Amer.，1979，69（6）：2003－2024.

［7］ 俞言祥，汪素云.美國西部水平向基巖加速度反應(yīng)譜衰減關(guān)系［A］∥新世紀(jì)地震工程與防震減災(zāi)［G］.北京：地震出版社，2002：559－565.

［8］ 俞言祥，汪素云.青藏高原東北地區(qū)水平向基巖加速度峰值與反應(yīng)譜衰減關(guān)系［J］.地震學(xué)報(bào)，2004，26（6）：591－600.

［9］ 俞言祥，汪素云.中國東部和西部地區(qū)水平向基巖加速度反應(yīng)譜衰減關(guān)系［J］.震災(zāi)防御技術(shù)，2006，1（3）：206－216.

Mathematical Representation for Four Mapping Principles of Mapping Method in Strong Ground Motion Evaluation

CAI Hui－teng，ZHANG Ying，CAI Zong－wen，ZHANG Jin－fu
（Earthquake Administration of Fujian Province，F(xiàn)uzhou 350003，China）

P315.91

A

1000－0844（2010）04－0313－05

2009－05－06

地震科技聯(lián)合基金資助（105087）

蔡輝騰（1982－），男（漢族），福建莆田人，工程師，碩士，主要從事地震工程方面的工作..