馬亞麗, 葉萬(wàn)洲

(上海大學(xué) 理學(xué)院,上海 200444)

Hil ber t空間中加權(quán)框架的擾動(dòng)性及其應(yīng)用

馬亞麗, 葉萬(wàn)洲

(上海大學(xué) 理學(xué)院,上海 200444)

加權(quán)框架具有良好的冗余性,從而為信號(hào)重構(gòu)和圖像處理提供了非常有用的信息.借鑒對(duì) Hibert空間中Riesz框架擾動(dòng)和攝動(dòng)的研究,著重討論加權(quán)框架也具有類似的擾動(dòng)性結(jié)果.另外,討論了加權(quán)框架在實(shí)際信號(hào)消噪中的應(yīng)用,并初步提出加權(quán)閾值消噪法的主要思想.

加權(quán)框架;Riesz框架;擾動(dòng)性;閾值消噪;Hilbert空間

Abstract:Because the weighted frame possesses good redundancy,it supplies useful information for signal reconstruction and image p rocessing.Thispaper borrows ideas from the research on the Riesz frame perturbation in the Hilbert space,and in particular,discusses the top ic that a weighted frame has the similar perturbation result.Furthermore,application of weighted frames in the p ractical signal de-noising is considered,and the idea of the framed threshold de-noising isproposed.

Key words:weighted frames;Riesz frames;perturbation;threshold de-noising;Hilbert space

Hilbert空間中的框架理論概念起源于非調(diào)和Fourier級(jí)數(shù)的研究.1952年,Duffin等[1]在研究非調(diào)和 Fourier級(jí)數(shù)時(shí)正式提出框架的概念.小波分析中的框架通常是指 Hilbert空間中滿足某種特性的一列向量組成的集合.框架是正規(guī)正交基的一般推廣,是研究小波分析的一個(gè)主要工具,它在小波分析的發(fā)展中起到了非常重要的作用,廣泛應(yīng)用于信號(hào)處理、數(shù)據(jù)壓縮、采樣理論、數(shù)學(xué)領(lǐng)域本身等許多學(xué)科.

關(guān)于框架擾動(dòng)性的研究,Christensen[2-3]做了大量的工作,并給出許多有意義的結(jié)果.本研究受其啟發(fā),對(duì)加權(quán)框架 (比一般框架具有更好的性質(zhì))做了類似討論,并給出加權(quán)框架擾動(dòng)的一個(gè)簡(jiǎn)潔形式.另外,討論了加權(quán)框架在信號(hào)消噪中的應(yīng)用,并初步提出一種改進(jìn)的閾值消噪法——加權(quán)閾值消噪法的主要思想.

1 基本概念

定義 1[4]可分的 Hilbert空間 H中的向量序列{fi}i∈N稱為框架,如果存在常數(shù) A,B>0,使得任意 f∈H,有

式中,A,B為框架界.若框架界 A=B,則框架{fi}i∈N稱為緊框架;若 A=B=1,則框架{fi}i∈N稱為孤立框架.最優(yōu)框架界 Aopt和 Bopt分別為滿足上不等式的所有A的最大值和B的最小值.

事實(shí)上,當(dāng)框架{fi}i∈N為孤立框架且‖fi‖=1時(shí),框架{fi}i∈N即為 H的標(biāo)準(zhǔn)正交基.

注:本研究涉及到的所有的 H均為可分的Hilbert空間,N為自然數(shù)集.

定義 2[5]對(duì)序列 {wi}i∈N,如果存在常數(shù) b≥a>0,使得對(duì)所有的 i∈N,都有 a≤wi≤b,則稱序列{wi}i∈N為半正規(guī)序列.

定義 3[5]設(shè) F={fi}i∈N是 H中一族 ,{wi}i∈N為一正序列,稱 F={fi}i∈N為 H的加權(quán)框架,如果存在兩個(gè)常數(shù) 0

事實(shí)上,正序列 {wi}i∈N也稱作加權(quán)框架 F={fi}i∈N的嚴(yán)格正的權(quán).

定義 4[6]序列{fi}i∈N?H稱為 Riesz基 ,如果{fi}i∈N在 H中完全且存在常數(shù) m,M>0,使得任意數(shù)列 {ci}i∈N∈l2(N),有

滿足該不等式的最大的 m和最小的M稱為 {fi}i∈N的 Riesz基常數(shù).若 {fi}i∈N的每個(gè)子列都是框架點(diǎn)列且具有一致的下界,框架 {fi}i∈N? H稱為 Riesz框架.

2 基本定理及引理

引理 1[7]框架與半正規(guī)序列的乘積仍為框架,即設(shè){wi}i∈N是界為 a,b的半正規(guī)序列,如果{fi}i∈N是界為 A,B 的框架 ,則 {wifi}i∈N也為框架 ,且框架界為 a2A,b2B.

注:引理 1僅為充分不必要條件,非半正規(guī)序列與框架的乘積也可以構(gòu)成加權(quán)框架,甚至有些非有界的序列亦可.雖然權(quán)序列非半正規(guī)且無(wú)界,但{wn,lφn,l}={0}∪{en}仍是框架.

引理 2[8]設(shè){fi}i∈N是 H中的框架,則下列條件等價(jià):

(1){fi}i∈N是 Riesz框架 ;

(2)存在 A>0,對(duì)任意滿足{fi}i∈N線性無(wú)關(guān)的有限集Δ?N,{fi}i∈N有下 Riesz基常數(shù) A.

定理 1 設(shè){wi}i∈N是界為 a,b的半正規(guī)序列,{fi}i∈N是 H中的 Riesz框架 ,則序列 {wifi}i∈N也是H中的 Riesz框架.

該定理的應(yīng)用很廣泛,比如在信號(hào)重構(gòu)中,如果給定的 Riesz框架不能很好的重構(gòu)信號(hào),可以通過(guò)給其適當(dāng)?shù)臋?quán)值,來(lái)減小重構(gòu)信號(hào)與原信號(hào)的誤差.

3 加權(quán)框架的擾動(dòng)性結(jié)果

定理 2 設(shè) {wi}i∈N是界為 a1,b1的半正規(guī)序列,為 H中的加權(quán)框架,且框架界為 a21A,是 H中的一個(gè)序列 ,其中 {μ}是界

定義算子 T:span{wifi}i∈N→ H,使得

顯然 T是定義好的線性算子.由文獻(xiàn) [9]知,T可延拓到整個(gè) Hilbert空間且可逆,并且有

所以 ,{μigi}i∈N是 H上的 Riesz框架.

4 加權(quán)框架的應(yīng)用

之所以加權(quán)框架引起越來(lái)越多學(xué)者的注意,是因其比一般框架具有更好的冗余性,而框架的冗余性有助于在低精度下比較精確地重構(gòu)信號(hào),具體表現(xiàn)在數(shù)值穩(wěn)定、誤差小等方面.在實(shí)際應(yīng)用中,該冗余性所帶來(lái)的成效也是顯著的.

例 定義 CN中的標(biāo)準(zhǔn)正交基 B={b1,b2,…,bN},和一冗余度為 2的加權(quán)框架 G={g1,g2,…,g2N}={b1,b1,b2,b2,…,b2N,b2N},其中 N是自然數(shù).下面分別用以上定義的標(biāo)準(zhǔn)正交基和加權(quán)框架來(lái)逼近被噪聲σjε污染的信號(hào)f(其中σj～N(0,1),j=1,2,…,N).

法 1 用正交基來(lái)恢復(fù),其重構(gòu)的期望誤差為

顯然,法 2的期望誤差僅是法 1的 1/2,也就是說(shuō),框架越冗余越能更好的逼近信號(hào).

另外,我們猜想能否將加權(quán)的思想應(yīng)用于小波消噪.例如,對(duì)某一有限離散含噪信號(hào) {f(k)}k=K1k=-K1進(jìn)行消噪,其中 K1以及后面的 N,M,K均為自然數(shù).按照傳統(tǒng)的做法,首先,要對(duì)其進(jìn)行M層小波分解,并分別記錄尺度系數(shù) cj(j=N-1,N-2,…,N-M)和小波系數(shù) dj(j=N-1,N-2,…,N-M);其次,選取每層閾值,并對(duì)小波系數(shù) dj(j=N-1,N-2,…,N-M)進(jìn)行閾值處理,大于閾值的系數(shù)保留,而小于閾值的系數(shù)用零替代,這樣無(wú)疑主觀地夸大了大于閾值部分噪聲信號(hào)的作用,而磨滅了低于閾值部分的有用信號(hào)在信號(hào)重構(gòu)中的作用.為了彌補(bǔ)這一缺憾,我們?cè)囅虢o其加權(quán),即通過(guò)加權(quán),增強(qiáng)信號(hào)所需部分,壓制信號(hào)不需要的部分而不是完全的濾掉.由此,我們對(duì)大于閾值的系數(shù)用 mj(j=0,1,…,K)標(biāo)記,并給其權(quán)ωj(j=0,1,…,K);小于閾值的系數(shù)用 nj(j=0,1,…,K)標(biāo)記,并給其權(quán)ηj(j=0,1,…,K)(其中 ωj+ηj=1).再次,我們令 dj=

該研究的基本思想是容易理解的,但目前還存在一些問(wèn)題.比如,該方法是否具有穩(wěn)定性,即最后結(jié)果是否依賴初始值的選取,以及 Q的最優(yōu)解的求解方法等,這些都是將要進(jìn)一步研究的問(wèn)題.

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(編輯:孟慶勛)

Per turbation of W eighted Frames in Hil ber t Space and Applications

MA Ya-li, YEWan-zhou
(College of Sciences,ShanghaiUniversity,Shanghai200444,China)

O 174.2

A

1007-2861(2010)03-0277-04

10.3969/j.issn.1007-2861.2010.03.012

2008-12-09

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(60672160)

葉萬(wàn)洲 (1963～),男,副教授,博士,研究方向?yàn)樾〔ǚ治黾捌鋺?yīng)用.E-mail:yewanzhou@eyou.com