非概率可靠指標(biāo)發(fā)展及其求解方法概述

張盈盈,鄧 建,霍婷婷

(中南大學(xué)資源與安全工程學(xué)院, 湖南長沙 410083)

非概率可靠指標(biāo)發(fā)展及其求解方法概述

張盈盈,鄧 建,霍婷婷

(中南大學(xué)資源與安全工程學(xué)院, 湖南長沙 410083)

系統(tǒng)地介紹了非概率可靠性度量指標(biāo)的發(fā)展?fàn)顩r,對(duì)應(yīng)用最為廣泛的凸集比例因子非概率可靠指標(biāo),概述了其求解方法,分析了隱式極限狀態(tài)方程問題的研究現(xiàn)狀,并就其發(fā)展趨勢提出了意見。

非概率可靠指標(biāo);凸集比例因子;求解方法;隱式極限狀態(tài)函數(shù)

傳統(tǒng)的可靠性分析圍繞不確定性而展開,一般采用以概率為基礎(chǔ)的隨機(jī)模型和模糊模型來處理不確定性。但為了定義參數(shù)的概率分布或隸屬函數(shù),概率模型通常需要較多的數(shù)據(jù)。有研究表明,在對(duì)技術(shù)要求嚴(yán)格的情況下,概率模型的細(xì)微差錯(cuò)或數(shù)據(jù)缺乏可能導(dǎo)致可靠性分析的較大誤差。1990年以來,Ben-Haim和 Elishakoff等最早提出非概率可靠性的概念,認(rèn)為當(dāng)掌握的數(shù)據(jù)信息較少時(shí),宜采用集合模型來描述不確定性的變化范圍。由于所提的非概率可靠性概念完全不涉及概率,可以克服傳統(tǒng)概率模型無法解決的困難,很多學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了研究。本文主要介紹非概率可靠指標(biāo)的發(fā)展,重點(diǎn)介紹當(dāng)前應(yīng)用最為廣泛的凸集比例因子指標(biāo)及其求解方法,并探討其發(fā)展趨勢。

1 非概率可靠指標(biāo)發(fā)展概述

目前,非概率可靠性分析處于初步研究狀態(tài),可靠性領(lǐng)域尚未形成統(tǒng)一的非概率可靠指標(biāo),現(xiàn)有可檢索文獻(xiàn)中共有 4種:凸集最小擴(kuò)展函數(shù)指標(biāo)[1]、安全因子指標(biāo)[2]、最小無窮范數(shù)指標(biāo)[3]、凸集比例因子指標(biāo)[4]。

1.1 凸集最小擴(kuò)展函數(shù)非概率可靠指標(biāo)[1]

Ben-Hai m認(rèn)為如果結(jié)構(gòu)在失效前能夠承受較大的不確定性,則是可靠的。并基于凸集不確定性模型及其 ET特性 (擴(kuò)展和平移特性),提出把系統(tǒng)承受不確定性的最大程度作為衡量非概率可靠度的指標(biāo)。

非概率可靠指標(biāo)定義為:

該指標(biāo)用于求解線性系統(tǒng)且輸入集合為單一集合的問題。它表征了結(jié)構(gòu)允許的不確定性變化的最大尺度,與當(dāng)前的不確定性無關(guān)。因此無法判定在某種給定條件下系統(tǒng)的安全程度,也無法比較不同系統(tǒng)之間的安全程度。而且文獻(xiàn)[1]僅針對(duì)簡單問題提出求解可靠指標(biāo)的解析公式,沒有相應(yīng)的數(shù)值算法,無法用于求解復(fù)雜問題。雖然該指標(biāo)適用的凸集不確定性模型的種類較多,但由于上述種種缺陷,未得到廣泛的應(yīng)用[4]。

1.2 安全因子非概率可靠指標(biāo)[2]

安全因子非概率可靠指標(biāo)由 Elishakoff于 1995年在針對(duì)Ben-Haim提出的非概率可靠性的概念的討論中提出的一種度量方法。

非概率可靠指標(biāo) r定義為:

r為一區(qū)間變量。當(dāng)系統(tǒng)安全時(shí),安全因子 Sf>1,此時(shí) r∈(0,1),r所在區(qū)間越靠近 1,該系統(tǒng)越安全;當(dāng)系統(tǒng)失效時(shí),r∈(-∞,0),所在區(qū)間越靠近 -∞,系統(tǒng)越不安全[4]。

該指標(biāo)實(shí)際上是傳統(tǒng)的安全因子法和區(qū)間算法的簡單結(jié)合。由于指標(biāo)值為區(qū)間變量,不同系統(tǒng)間無法做精確的比較,限制了其應(yīng)用。

1.3 最小無窮范數(shù)非概率可靠指標(biāo)[3]

該指標(biāo)是郭書祥在區(qū)間算法基礎(chǔ)上,提出的度量非概率可靠度的新方法?；舅枷胧?把結(jié)構(gòu)性能在指定條件下的變化范圍與要求的變化范圍作比較,以衡量結(jié)構(gòu)的安全程度。

(1)基本定義。設(shè)基本變量 xi為區(qū)間變量,即則 xi的均值為離差對(duì) xi做標(biāo)準(zhǔn)化變換:xi=+其中,△ =[-1,1]為標(biāo)準(zhǔn)化區(qū)間,δ∈△為標(biāo)i準(zhǔn)化區(qū)間變量。取M=g(x)=g(x1,x2,…,xn)為由結(jié)構(gòu)失效準(zhǔn)則確定的功能函數(shù),M=0即為失效面,M<0和M>0分別表示結(jié)構(gòu)處于失效狀態(tài)和安全狀態(tài)。當(dāng) g(·)為 xi的連續(xù)函數(shù)時(shí),求得M的均值Mc和離差Mr,定義非概率可靠指標(biāo)η為:

(2)擴(kuò)展定義。從幾何角度分析,得到該指標(biāo)的擴(kuò)展定義:在標(biāo)準(zhǔn)化區(qū)間變量的擴(kuò)展空間中,按無窮范數(shù)‖·‖∞度量的從坐標(biāo)原點(diǎn)到失效面的最短距離。即:

滿足條件:M=g(x1,…,xn)=G(δ1,…,δn)=0。其中,δ={δ1,…,δn}為標(biāo)準(zhǔn)化區(qū)間變量,‖δ‖∞=max(|δ1|,|δ2|,…,|δn|),擴(kuò)展空間指標(biāo)準(zhǔn)化區(qū)間變量擴(kuò)展后的無限空間。若η=1,結(jié)構(gòu)處于可靠和不可靠的臨界狀態(tài);若η>1,基本區(qū)間變量的取值區(qū)域與失效域不相交,結(jié)構(gòu)可靠。且η值越大,實(shí)際取值區(qū)域離失效域越遠(yuǎn),結(jié)構(gòu)的魯棒性越高。

該指標(biāo)既考慮了當(dāng)前不確定性的大小,又是一個(gè)無量綱的數(shù)值,不但可以度量當(dāng)前不確定因素下系統(tǒng)的安全程度,而且可以對(duì)不同系統(tǒng)的安全程度進(jìn)行比較。它以極限狀態(tài)方程為分析基礎(chǔ),易于理解,易于求解,線性、非線性問題均可處理,曾被廣泛應(yīng)用。但是該指標(biāo)將結(jié)構(gòu)的不確定參數(shù)單純描述為區(qū)間變量,限制了其對(duì)其他不確定凸集模型的應(yīng)用。

針對(duì)上述問題,易平提出區(qū)間不確定性可由區(qū)間變量或凸集合模型來描述,并通過具體算例對(duì)基于區(qū)間模型和基于凸集合模型的區(qū)間不確定性進(jìn)行了比較研究,認(rèn)為基于凸集合模型得到的可靠指標(biāo)更接近于實(shí)際,而基于區(qū)間模型所得到的可靠指標(biāo)過于保守,其實(shí)質(zhì)就是“最壞的情形也不失效的結(jié)構(gòu)才可靠”,追求的是結(jié)構(gòu)的絕對(duì)安全[5]。因此,基于凸集合模型的非概率可靠指標(biāo)是一種更經(jīng)濟(jì)、合理的指標(biāo)。

同時(shí),張新峰認(rèn)為兩種指標(biāo)之間存在著確定的函數(shù)關(guān)系,并以二維的應(yīng)力——強(qiáng)度模型為基礎(chǔ),通過理論計(jì)算進(jìn)行了證明。同時(shí)得出,區(qū)間模型所包含的不確定域包含橢圓凸集合模型的不確定域,而工程中實(shí)際發(fā)生在橢圓凸集合模型的不確定域之外的概率非常小[6]。因此,基于凸集合模型非概率可靠指標(biāo)比較符合工程實(shí)際。

1.4 凸集比例因子非概率可靠指標(biāo)[4]

該指標(biāo)是由劉成立在凸集最小擴(kuò)展函數(shù)指標(biāo)和最小無窮范數(shù)指標(biāo)的基礎(chǔ)上所提出,它適用于各類極限狀態(tài)函數(shù)、各種凸集不確定性模型,彌補(bǔ)了以上幾種非概率指標(biāo)的缺陷。

若不確定性變量集合為:

引入不確定凸模型的比例放縮因子λ,構(gòu)建集合族:

該不確定性集合族通過比例因子λ自由縮放。當(dāng)凸集合族與失效域不相交時(shí),結(jié)構(gòu)安全;當(dāng)凸集合族增大與失效域相交時(shí),結(jié)構(gòu)失效。因此,比例因子的大小反應(yīng)了結(jié)構(gòu)對(duì)不確定性因素的可靠性,定義總不確定性凸集合族增大到失效域的最小λ值為結(jié)構(gòu)的可靠指標(biāo)η:

若不確定性因素所在的凸集模型可以表示為:

1.5 其它度量方法的比較分析

針對(duì)最小無窮范數(shù)非概率可靠性度量指標(biāo)單純將不確定性描述為區(qū)間模型的缺陷,很多學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了改進(jìn)研究,并提出了度量方法。

馮世琪提出了一種新的度量方法,即:將描述結(jié)構(gòu)不確定參數(shù)的區(qū)間變量內(nèi)接于橢球之中,得到體積最小的橢球的殼體方程,可靠指標(biāo)η定義為:按無窮范數(shù)度量的從橢球的殼體到失效面的最短空間距離[7]。筆者認(rèn)為,雖然該度量方法在求解中用橢球凸集模型來模擬結(jié)構(gòu)的不確定性,但仍建立在將不確定參數(shù)描述為區(qū)間變量的基礎(chǔ)上,并未從根本上克服最小無窮范數(shù)指標(biāo)的缺陷。

曹鴻鈞提出一種可用于超橢球凸集模型與區(qū)間變量共存情況下的新的度量方法,其基本思想是:將各超橢球凸集轉(zhuǎn)換為一個(gè)等效的單位超球,在新的變量空間中,根據(jù)各單位超球集合與結(jié)構(gòu)功能函數(shù)的失效域之間的位置關(guān)系定義結(jié)構(gòu)的可靠指標(biāo)[8]。但作者在進(jìn)行可靠指標(biāo)與結(jié)構(gòu)失效頻數(shù)的比較時(shí),求解失效頻數(shù)的Monte Carlo仿真中人為假設(shè)了結(jié)構(gòu)不確定參數(shù)的分布形式,因此,雖然比較結(jié)果說明該可靠指標(biāo)是安全有效的,但不夠嚴(yán)謹(jǐn)。而且從超橢球凸集轉(zhuǎn)換為等效的單位超球的過程較為復(fù)雜。

2 凸集比例因子非概率可靠指標(biāo)求解方法

目前針對(duì)該指標(biāo)的求解,有 3類方法:解析方法、數(shù)值模擬方法、優(yōu)化方法[4]。其中的數(shù)值模擬方法,需要將某些變量假定為隨機(jī)變量,給出分布形式以及在凸模型內(nèi)的抽樣公式。筆者認(rèn)為,非概率可靠性正是針對(duì)概率可靠性方法需要較多數(shù)據(jù)信息,而實(shí)際工程中難以得到足夠的數(shù)據(jù)信息來準(zhǔn)確定義概率模型及其具體的分布形式這一局限性而提出的,故不推薦使用數(shù)值模擬方法。因此,主要介紹解析方法和優(yōu)化方法。

2.1 解析方法

2.1.1 解析法[4]

解析法用于求解線性極限狀態(tài)函數(shù)問題。由凸集比例因子指標(biāo)的定義可知,求解滿足式 min(g(x))=0的η即可。其中,x∈X(η α)。由線性系統(tǒng)在凸集上的極值的性質(zhì)得:(ρi(ui))2-η2α2i=0,構(gòu)造如下拉格朗日函數(shù),求解可得η。

其中,κ為拉格朗日乘子,ui=(xui-1+1,…,xni),下標(biāo)n0=0,nm=n。

2.1.2 一階設(shè)計(jì)點(diǎn)法[4]

一階設(shè)計(jì)點(diǎn)法是求解非線性極限狀態(tài)函數(shù)問題的近似解析方法。其思路來自傳統(tǒng)可靠性分析中改進(jìn)的一次二階矩法,即在設(shè)計(jì)點(diǎn)上將原始非線性極限狀態(tài)函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)形式,僅保留常數(shù)項(xiàng)與一階項(xiàng),從而將非線性極限狀態(tài)函數(shù)問題近似為線性極限狀態(tài)函數(shù)問題。而后可采用上述的針對(duì)線性極限狀態(tài)函數(shù)求解的一般解析方法求解。

該方法計(jì)算量較小,為實(shí)際工程中求解非線性極限狀態(tài)函數(shù)的非概率可靠性提供了一種可行的近似分析方法。但由于僅用到泰勒展開式的常數(shù)項(xiàng)與一階項(xiàng),使得該方法在求解非線性程度不大的問題時(shí)精度較高,而針對(duì)非線性程度高問題的求解,特別是一階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)問題,計(jì)算結(jié)果可能不正確。

2.2 優(yōu)化方法

該非概率可靠指標(biāo)的求解可以轉(zhuǎn)化為如下有約束的非線性優(yōu)化問題的求解:

(1)基于 MATLAB優(yōu)化工具箱的求解方法?？梢灾苯邮褂肕atlab優(yōu)化工具箱的求解器進(jìn)行求解。該方法計(jì)算速度較快,精度和穩(wěn)定性也較高。但對(duì)非線性程度較高的問題很容易陷入局部最優(yōu)解。

(2)其它全局優(yōu)化算法。模擬退火算法和遺傳算法作為全局優(yōu)化方法,已經(jīng)被成功運(yùn)用到非概率可靠指標(biāo)的求解問題中,且精度較高[4]。其中,模擬退火算法通用性、魯棒性強(qiáng),可用于求解復(fù)雜非線性優(yōu)化問題,但應(yīng)用時(shí)要注意其性能與初始值有關(guān),參數(shù)敏感等問題。遺傳算法是一種無需導(dǎo)數(shù)信息的概率搜索算法,處理非線性程度較高的極限狀態(tài)函數(shù)問題有明顯優(yōu)勢。

變尺度混沌優(yōu)化方法在繼承了基本混沌優(yōu)化方法的思路直觀、無需求導(dǎo)、容易程序化實(shí)現(xiàn)的優(yōu)點(diǎn)的基礎(chǔ)上,通過不斷縮小基本變量搜索區(qū)間并提高搜索精度,克服了混沌搜索具有一定的盲目性、局部搜索能力不好等缺陷,具有較高的搜索效率[9]。文獻(xiàn)[9]中,作者運(yùn)用該方法較好地求解了非線性極限狀態(tài)函數(shù)問題。

蟻群優(yōu)化算法綜合運(yùn)用了正反饋、分布式計(jì)算和貪婪式啟發(fā)搜索技術(shù),可用于求解一般形式的非凸、非線性約束優(yōu)化問題,不涉及目標(biāo)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算,且能夠克服其他算法容易陷入局部最優(yōu)的缺點(diǎn),具有較強(qiáng)的適應(yīng)性[10]。目前,蟻群算法已經(jīng)成功應(yīng)用于求解傳統(tǒng)概率可靠指標(biāo)問題中。筆者認(rèn)為該算法同樣能應(yīng)用非概率可靠度的問題求解中。

2.3 隱式極限狀態(tài)函數(shù)問題的求解現(xiàn)狀

非概率可靠指標(biāo)的求解以極限狀態(tài)方程為基礎(chǔ),所以上述求解方法都是基于顯式極限狀態(tài)函數(shù)進(jìn)行研究。對(duì)于隱式極限狀態(tài)函數(shù)的問題,如何更為近似地?cái)M合極限狀態(tài)函數(shù),是可靠指標(biāo)求解精度的關(guān)鍵所在。僅文獻(xiàn)[11]提出一種基于支持向量機(jī)回歸求解非概率可靠指標(biāo)的方法,文獻(xiàn) [4]提出先采用線性加權(quán)響應(yīng)面法、二次響應(yīng)面法或人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法來顯化隱式極限狀態(tài)函數(shù),再應(yīng)用顯式極限狀態(tài)函數(shù)的分析方法求解可靠指標(biāo)。其他關(guān)于求解基于凸集模型的隱式極限狀態(tài)函數(shù)的非概率可靠度的研究筆者尚未查到。例如,如何通過響應(yīng)面函數(shù)的選取、試驗(yàn)設(shè)計(jì)、模型參數(shù)的確定等方法來提高響應(yīng)面法擬合極限狀態(tài)函數(shù)的精度也是需要進(jìn)一步研究的重要課題。

3 發(fā)展趨勢

結(jié)構(gòu)的非概率可靠性模型大大降低了對(duì)原始數(shù)據(jù)的要求,只需已知不確定參量的界限,而不要求其具體的分布形式,且計(jì)算簡便,在實(shí)際工程中具有較好的適用性,是傳統(tǒng)可靠性模型的有益補(bǔ)充。在所有的非概率可靠指標(biāo)中,凸集比例因子非概率可靠指標(biāo)最合理,應(yīng)用最為廣泛。就其目前的研究現(xiàn)狀來看,首先,對(duì)于隱式極限狀態(tài)方程的非概率可靠指標(biāo)的求解有待于進(jìn)一步研究。比如,如何通過響應(yīng)面函數(shù)的選取、試驗(yàn)設(shè)計(jì)、模型參數(shù)的確定等方法來提高響應(yīng)面法擬合極限狀態(tài)函數(shù)的精度等等。其次,引入各種成熟的優(yōu)化算法,可以為非概率可靠指標(biāo)的求解帶來極大方便。除了本文中提到的幾種全局優(yōu)化算法,還可以嘗試引入其它優(yōu)化算法來高效、精確地求解非概率可靠性問題。

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2010-03-16)

張盈盈 (1985-),女,河南靈寶人,碩士研究生,主要從事巖土工程結(jié)構(gòu)可靠性研究,Email:0608zhangyingying@163.com。