論邊長確定的四邊形面積最大值定理

● (河間市第一中學(xué) 河北河間 062450)

《數(shù)學(xué)通報》2009年第11期有如下一個數(shù)學(xué)問題：

題目四邊之長分別為定值的凸四邊形的兩對角線互相垂直，求此四邊形面積的最大值.

x2-y2=w2-z2=AE2-CE2，x2+z2=y2+w2,

圖1

圖2

即兩組對邊邊長平方之和相等.這里對四邊形進行了限制.自然會問：給出4條線段(任三邊之和大于第四邊)，由其構(gòu)成的四邊形面積有無最大值、何時取得最大值、有無一般規(guī)律？筆者對此進行了探究，得到如下定理：

定理1若給出4條線段a,b,c,d，當其組成的四邊形為圓的內(nèi)接四邊形時，面積最大.

證明顯然,四邊形面積最大時一定是凸四邊形.

如圖2，凸四邊形ABCD的4條邊之長依次為a,b,c,d，一組對角分別為θ1,θ2，連結(jié)BD，則四邊形面積

即

2S=absinθ1+cdsinθ2.

(1)

在△ABD與△CBD中，由余弦定理得

a2+b2-2abcosθ1=c2+d2-2cdcosθ2，

從而

(2)

式(1)與式(2)平方相加，整理得

因此，當cos(θ1+θ2)=-1時,S有最大值.而0<θ1+θ2<2π，當θ1+θ2=π，即四邊形為圓的內(nèi)接四邊形時,面積有最大值，且

定理得證.

由上述證明過程不難得出，對于圓的內(nèi)接四邊形的面積有如下定理：