從著名的外森比克不等式引發(fā)的思考

● (咸陽(yáng)師范學(xué)院基礎(chǔ)教育課程研究中心 陜西咸陽(yáng) 712000)

1919年，數(shù)學(xué)家外森比克(Weitzenb?ck)提出了如下三角形邊長(zhǎng)和面積的一個(gè)優(yōu)美不等式：

問(wèn)題1設(shè)△ABC的3條邊長(zhǎng)為a,b,c，面積為Δ，則有不等式

此題曾經(jīng)作為1961年國(guó)際數(shù)學(xué)競(jìng)賽題.圍繞不等式(1)有許多有趣的加強(qiáng)和拓廣.我們知道，早就有加強(qiáng)(1)的Tsintsifas不等式[1]：

問(wèn)題2設(shè)△ABC的3條邊長(zhǎng)為a,b,c，面積為Δ，則有不等式

問(wèn)題3設(shè)△ABC的3條邊長(zhǎng)為a,b,c，面積為Δ，則有不等式

在文獻(xiàn)[2]中，作者將不等式(2)變形為：

問(wèn)題4設(shè)△ABC的3條邊長(zhǎng)為a,b,c，其半周長(zhǎng)和面積分別為p,Δ，則有不等式

值得一提的是:1937年，數(shù)學(xué)家費(fèi)恩斯列爾(Finsler)——哈德維格爾(Hadwiger)將不等式(1)加強(qiáng)為如下不等式：

問(wèn)題5設(shè)△ABC的3條邊長(zhǎng)為a,b,c，面積為Δ，則有不等式

這個(gè)不等式還可以等價(jià)變形為：

等價(jià)于

事實(shí)上，用不等式(3)來(lái)證明不等式(5)是非常簡(jiǎn)單的，請(qǐng)看：

證明由三元均值不等式和不等式(3)，得

獲證.

早在1982年，重慶市第二十三中學(xué)高靈教師將不等式(4)推廣為2個(gè)三角形的情形：

問(wèn)題6設(shè)△ABC和△A′B′C′的3條邊長(zhǎng)分別為a，b，c;a′,b′,c′,其面積分別為Δ和Δ′，則有不等式

下面給出一個(gè)比較簡(jiǎn)單的證法.

H2=[a′(b+c-a)+b′(c+a-b)+c′(a+b-c)][a(b′+c′-a′)+b(c′+a′-b′)+c(a′+b′-c′)]=

4[a′(p-a)+b′(p-b)+c′(p-c)][a(p′-a′)+b(p′-b′)+c(p′-c′)]≥

事實(shí)上，不等式(5)還可以推廣到多個(gè)三角形的情景(見文獻(xiàn)[2]).

問(wèn)題7設(shè)△AiBiCi的邊長(zhǎng)、半周長(zhǎng)和面積分別為ai,bi,ci,pi,Δi(i=1,2,…,n)，則有

還需要指出的是，不等式(2)還可以繼續(xù)加強(qiáng)，得到如下的不等式：

問(wèn)題8設(shè)△ABC的3條邊長(zhǎng)為a,b,c，面積為Δ，則有不等式

證明由射影定理，得

a=bcosC+ccosB．

于是應(yīng)用著名的柯西不等式，得

a2=(bcosC+ccosB)2≤(b2+c2)(cos2C+cos2B)，

即

變形得

同理可得

將這3個(gè)不等式2邊相加，便得

注意到常見的不等式

可得

再結(jié)合正弦定理，可得

變形得

即

(本文獲咸陽(yáng)師范學(xué)院重點(diǎn)科研課題(08XSYK110)、陜西省教育科學(xué)“十一五”規(guī)劃(SGH090228)項(xiàng)目支持.)

[1] 苗興振，董林.Weitzenb?ck及Tsintsifas不等式的加強(qiáng)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2010(2)：45.

[3] 安振平.以三正數(shù)為邊長(zhǎng)可構(gòu)成三角形的充要條件及應(yīng)用[J].湖南數(shù)學(xué)通訊，1985(3):17-19.