逯文鳴，趙 易

（杭州電子科技大學數(shù)學研究所，浙江杭州310018）

0 引 言

Bernstein算子是一類重要的線性算子，在逼近論及計算數(shù)學等方面有著許多應用。設C［0，1］表示在［0，1］上定義的連續(xù)函數(shù)全體，對任意的 f∈C［0，1］，Bernstein 算子有如下的定義：B（f，x）：=，k=0，1，…，n，關于Bernstein算子的研究結(jié)果非常豐富。其中，Bernstein-Markov型不等式是研究的問題之一。數(shù)學研究者們曾給出一系列的結(jié)論，比如在文獻1中，有結(jié)論‖B′（f）‖［-1，1］≤n2·‖B（f）‖；而在文獻2中，給出了‖φ2B″（f）‖［-1，1］≤Cn‖f‖［-1，1］。近年來，許多國外國內(nèi)學者關注具有奇性的函數(shù)，DellaVecchia D，趙易等都對其進行了研究，參考文獻3，4。通過多項式來研究帶有奇點的函數(shù)的逼近及相關結(jié)論，無論在理論和應用方面都有重要意義。論文主要研究關于奇性函數(shù)的Bernstein-Markov型不等式，并把文獻2的結(jié)果作了推廣。

1 主要結(jié)論

要實現(xiàn)Bernstein多項式對此類函數(shù)的逼近，必須對其進行修正：對任意 f∈Cw，修正的Bernstein算子定義為：

本文對上述不等式進行推廣，有如下Bernstein算子關于奇性函數(shù)的Bernstein-Markov型不等式：

式中，分別令λ=0及λ=1，則有：

推論1

推論2

其中推論2即為文獻2中結(jié)論，即不等式3，且此不等式從函數(shù)具有奇性的角度推廣了文獻2。

2 主要結(jié)果及證明

式中，Ih=［16h2，1-16h2］，

引理 1 對任意的α，β＞ 0，f∈Cw，有‖w（f）‖≤C‖wf‖。

定理1 對任意的α，β＞0有：證明 （1）當 f∈Cw時，分兩種情況討論：1）當 x∈［0］時，我們有|w（x）φ2λ（x］時，類似可得

根據(jù)以上有：

容易算得A（0x）=n w（x）φ2λ-（2x）B*n（f，x）≤Cn2-λ‖wf‖ 。又有A（1x）=w（x）φ2λ-（4x）

［1］ Duffin R J，Scheaffer A C.A refinement of an inequality of the brothers mark off［J］.Trans Amer Math Soc，1941，（50）：517-528.

［2］ Della Vecchia，DMastroianni，G Szabados J.Weighted approximation of functions with endpoint or inner singularities by Bernstein operators［J］.Acta Math Hungar，2004，103（1-2）：19-41.

［3］ Ditzian Z，ToticV.Moduli of smoothness［M］.New York：Springer-Verlag，1987：112-157.

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