陳俊英
(集美大學(xué)工程技術(shù)學(xué)院 福建 廈門 361021)
關(guān)于《工程數(shù)學(xué)》與《自動(dòng)控制原理》課程知識(shí)之銜接
陳俊英
(集美大學(xué)工程技術(shù)學(xué)院 福建 廈門 361021)
《工程數(shù)學(xué)》是《自動(dòng)控制原理》課程的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),聯(lián)系緊密,但實(shí)際教學(xué)中,這兩門課往往不能很好地銜接,給《自動(dòng)控制原理》課程的講授造成了不小的困難,影響了教學(xué)效果。為此,可以在學(xué)習(xí)《自動(dòng)控制原理》課程知識(shí)開始之前,就拉氏變換與傅立葉變換的知識(shí)作一個(gè)有針對(duì)性的復(fù)習(xí),使兩門課程知識(shí)融會(huì)貫通。
工程數(shù)學(xué);自動(dòng)控制原理;銜接;拉氏變換;傅立葉變換
《自動(dòng)控制原理》是機(jī)械類專業(yè)的一門必修課,是一門理論性和實(shí)踐性都很強(qiáng)的課程,其所有知識(shí)點(diǎn)的講授都以積分變換即以拉氏變換與反變換、傅立葉變換與反變換為基礎(chǔ)。
一般情況下,由數(shù)學(xué)系的教師來講授《工程數(shù)學(xué)》積分變換的相關(guān)課程,而單純的數(shù)學(xué)理論講授很難做到將《工程數(shù)學(xué)》課程知識(shí)與《自動(dòng)控制原理》課程進(jìn)行聯(lián)系。而《自動(dòng)控制原理》的任課教師則認(rèn)為該部分內(nèi)容已經(jīng)講過,也不會(huì)再詳盡述及,更不會(huì)細(xì)心去理順基本概念,當(dāng)學(xué)生進(jìn)入《自動(dòng)控制原理》課程學(xué)習(xí)的時(shí)候,難以接受突然出現(xiàn)的拉氏變換應(yīng)用,以致認(rèn)為該課程內(nèi)容很高深,挫傷了學(xué)習(xí)的自信心。因此,在講授《自動(dòng)控制原理》課程之前,筆者先理順拉氏變換、反變換,傅立葉變換、反變換之間的關(guān)系,而在講授該知識(shí)點(diǎn)之前,更是先安排關(guān)于常規(guī)方法解微分方程的知識(shí),以強(qiáng)化學(xué)生對(duì)各學(xué)科之間邏輯關(guān)系的認(rèn)識(shí)。
《自動(dòng)控制原理》課程是以數(shù)學(xué)建模為基礎(chǔ)的,而時(shí)域模型又體現(xiàn)為微分方程,所以微分方程的求解是基本功。用一般方法求解較繁瑣,不同的微分方程首先要區(qū)分方程的形式,然后根據(jù)不同的形式,采用不同的解法。
(一)一階微分方程
1.變量可分離類型,形如y'sin x=ylny用分離變量的方法求解。
(二)二階微分方程
1.可降階的二階微分方程,形如:
形如y''=f(x,y')(缺y),令p=y'求解。
形如y''=f(y,y')(缺x),令p=y'
2.二階常系數(shù)線性齊次方程,形如
通解求法:先求特征方程r2+pr+q=0的特征根。特征根不同,通解不同。
3.二階常系數(shù)線性非齊次方程
通解求法同二階常系數(shù)線性齊次方程,而特解依方程右式形式的不同而不同。
以上內(nèi)容在講授時(shí),只須述及方程形式和解題方法,這是復(fù)習(xí)過渡性質(zhì)的內(nèi)容,無須詳述,主要是讓學(xué)生了解用常規(guī)方法解微分方程非常繁瑣。 而自動(dòng)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模、傳遞函數(shù)的求取需要大量求解微分方程,因此降低求解微分方程難度意義重大,此時(shí)即可引入拉氏變換簡(jiǎn)化微分方程求解過程的知識(shí)。這樣,學(xué)生對(duì)于拉氏變換的意義有了生動(dòng)的理解,知識(shí)脈絡(luò)清晰,更具邏輯性。
(三)應(yīng)用拉氏變換解線性微分方程
具體步驟如下:(1)對(duì)線性微分方程中每一項(xiàng)進(jìn)行拉氏變換,使微分方程變?yōu)榇鷶?shù)方程。(2)解代數(shù)方程,得到有關(guān)變量的拉氏變換表達(dá)式。(3)用拉氏反變換得到微分方程的時(shí)域解。
圖1 求解過程示意圖
圖2 二階模型圖
典型實(shí)例:設(shè)一彈簧上端固定,下端懸掛一質(zhì)量為m的物體,取其平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)O,軸鉛直向下,物體沿Y軸運(yùn)動(dòng),開始時(shí)(t=0),物體的初始位移為Y0,初始速度為v0,求物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。
解:數(shù)學(xué)建模:因阻力與速度成正比,故阻力為
(已知yt=0=0,y't=0,x(t)=k·1(t))
而彈簧力與位移成正比,為-ky,若系統(tǒng)所受外力為x(t),則根據(jù)牛頓第二定律有:
解:設(shè)L[y(t)]=Y(s)
對(duì)方程兩邊取拉氏變換,得
可見通過拉氏變換與反變換,可以將復(fù)雜的求解微分方程的問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)運(yùn)算過程,大大簡(jiǎn)化了微分方程的求解過程。
時(shí)域分析雖然比較直觀,但如果不借助計(jì)算機(jī),分析高階系統(tǒng)會(huì)非常繁瑣。而由于機(jī)械振動(dòng)與頻率特性有著密切的關(guān)系,所以頻域法是工程上廣為采用的分析和綜合系統(tǒng)的間接方法。頻域處理不僅簡(jiǎn)潔、計(jì)算工作量小,而且更能顯示信號(hào)或系統(tǒng)的組成特性。但是測(cè)試者所觀察到的總是信號(hào)的時(shí)間歷程,要在頻域進(jìn)行處理和分析就必須先做時(shí)-頻域變換。計(jì)算機(jī)技術(shù)實(shí)現(xiàn)時(shí)-頻域變換的DFT和FFT算法已為廣大工程人員所熟悉,有現(xiàn)成的程序可以調(diào)用,而頻域分析的基礎(chǔ)是傅立葉變換,故首先則應(yīng)建立起傅立葉變換的物理意義。
(一)傅立葉級(jí)數(shù)
一般周期信號(hào)可以利用傅立葉級(jí)數(shù)展開成無窮多個(gè)不同頻率的諧波信號(hào)的線性疊加。
圖3 諧波疊加現(xiàn)象示意圖
圖3可形象地表達(dá)出不同頻率的諧波信號(hào)的線性疊加現(xiàn)象,從而使學(xué)生建立起頻譜的概念。
(二)傅立葉變換
非周期信號(hào)x(t)傅立葉變換:
傅立葉反變換為:
x(ω)是非周期函數(shù)的頻譜函數(shù),是連續(xù)的,而周期函數(shù)的頻譜是離散的。
圖4 周期矩形函數(shù)的離散頻譜圖
應(yīng)特別說明單位階躍信號(hào)的頻譜,由于單位階躍信號(hào)是時(shí)域分析的典型信號(hào),了解單位階躍信號(hào)的頻譜,更有助于建立起時(shí)域分析與頻域分析的關(guān)系(如圖5)。
對(duì)于傅立葉變換,理解物理意義比進(jìn)行具體運(yùn)算更有意義,因?yàn)槔献儞Q算子S=σ+jω,即當(dāng)σ=0時(shí),F(xiàn)L(S)=FF(jω)在嚴(yán)格的理論推導(dǎo)下成立。這為教材中頻域分析傅立葉變換以拉氏變換為過渡打下理論基礎(chǔ)。系統(tǒng)模型間的關(guān)系(如圖6)。
圖5 單位階躍函數(shù)頻譜圖
圖6 拉氏變換與傅立葉變換關(guān)系示意圖
在開始《自動(dòng)控制原理》課程之前,復(fù)習(xí)拉氏變換,使學(xué)生理解采用拉氏變換的真正原因,而傅立葉變換的介紹則加強(qiáng)了學(xué)生對(duì)頻域物理意義的理解,從而為學(xué)習(xí)頻域分析的幅頻相頻特性打下基礎(chǔ)。通過對(duì)拉氏變換與傅立葉變換之間關(guān)系的介紹,可以為頻域分析知識(shí)講授起到鋪墊作用,較好地改善教學(xué)效果。
[1]曾光宇,等.現(xiàn)代傳感器技術(shù)與應(yīng)用基礎(chǔ)[M].北京:北京理工大學(xué)出版社,2007:14-15.
[2]嚴(yán)普強(qiáng),等.動(dòng)態(tài)測(cè)試信號(hào)處理中時(shí)-頻域變換算法的討論[J].振動(dòng)、測(cè)試與診斷,2003,(7):120-124.
[3]褚言正,等.關(guān)于信號(hào)單邊拉普拉斯變換與傅里葉變換關(guān)系的研究[J],重慶科技學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2006,(7):114-115.
陳俊英(1974—),女,工學(xué)碩士,集美大學(xué)工程技術(shù)學(xué)院講師,主要研究方向?yàn)閭鞲衅髋c測(cè)控技術(shù)。
(本文責(zé)任編輯:張維佳)
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1672-5727(2010)S0-0063-02