摘 要：本文使用上證綜合指數(shù)權(quán)重前50的股票作為投資范圍，運(yùn)用指數(shù)滑動(dòng)平均方法（EWMA）估計(jì)其協(xié)方差陣，分別在允許賣空和禁止賣空的情況下考察了積極型組合管理的馬科維茨（Markowitz）有效率邊界和常量跟蹤誤差波動(dòng)（C-TEV）有效率邊界，給出了C-TEV模型約束下從輸入列表（協(xié)方差陣、預(yù)期收益）的估計(jì)到最優(yōu)權(quán)重的確定的指數(shù)基金組合管理的完整例子，比較了允許賣空和禁止賣空兩種情形下基于C-TEV模型策略構(gòu)建的增強(qiáng)型指數(shù)基金的事后跟蹤誤差。在我國(guó)基于C-TEV模型構(gòu)建策略的增強(qiáng)型指數(shù)基金面臨著兩難的困境，即在允許賣空時(shí)基金的事后跟蹤誤差往往超出預(yù)先的限制，而在禁止賣空時(shí)增強(qiáng)型指數(shù)基金又會(huì)“退化”成復(fù)制型指數(shù)基金。
　　關(guān)鍵詞：指數(shù)基金；跟蹤誤差；賣空限制；有效率邊界
　　中圖分類號(hào)：F830.91 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A
　　文章編號(hào)：1000-176X(2011)04-0053-08
　　
　　一、 引 言
　　截至2009年6月30日，我國(guó)共有開(kāi)放式指數(shù)基金22只，資產(chǎn)凈值占全部510只開(kāi)放式基金的7.53%。僅僅半年之后，2009年12月底，我國(guó)開(kāi)放式指數(shù)基金達(dá)到了48只，資產(chǎn)凈值占全部590只開(kāi)放式基金資產(chǎn)凈值的比重上升到13.04%。無(wú)論是從基金數(shù)目還是從資產(chǎn)規(guī)模上都有了很大的發(fā)展，2009年可以說(shuō)是指數(shù)年。在48只指數(shù)基金中，復(fù)制型指數(shù)基金和增強(qiáng)型指數(shù)基金分別占到了37只和11只。資產(chǎn)凈值占指數(shù)基金總體的9.68%和3.36%。對(duì)于指數(shù)基金，跟蹤誤差是其最重要的特性之一。增強(qiáng)型指數(shù)基金和復(fù)制型指數(shù)基金的區(qū)別也可以通過(guò)跟蹤誤差的不同地位來(lái)描述：復(fù)制型指數(shù)基金以跟蹤誤差最小化為投資目標(biāo)；增強(qiáng)型指數(shù)基金則把跟蹤誤差當(dāng)成一種約束，其投資目標(biāo)與一般的基金投資一樣，是為了獲得最大的收益，只不過(guò)這種收益要在滿足跟蹤誤差約束的前提下實(shí)現(xiàn)。復(fù)制型指數(shù)基金被動(dòng)地跟蹤指數(shù)，增強(qiáng)型指數(shù)基金通過(guò)調(diào)整組合中各證券的權(quán)重對(duì)組合進(jìn)行積極的管理。那么，在我國(guó)當(dāng)前融資融券剛剛打開(kāi)、賣空手段仍然匱乏的證券市場(chǎng)中，增強(qiáng)型指數(shù)基金和復(fù)制型指數(shù)基金的區(qū)別何在呢？本文將基于C-TEV模型的權(quán)重策略分別對(duì)允許賣空和不允許賣空條件下兩種基金的跟蹤誤差進(jìn)行分析。
　　本文選取上證綜合指數(shù)權(quán)重排名前50的股票（總市值占上證綜合指數(shù)的67.56%）構(gòu)建一個(gè)股票池，
　　①將C-TEV模型應(yīng)用于這個(gè)股票池，研究C-TEV約束對(duì)于組合權(quán)重選擇的影響。我們選取的時(shí)間窗口是2008-01-01至2009-12-31，這個(gè)時(shí)段有一個(gè)明顯的熊市和牛市，為本文的比較分析提供了條件。另外，結(jié)合我國(guó)實(shí)際，本文分別考慮了允許賣空和不允許賣空兩種情形。
　　
　　二、 相關(guān)理論和文獻(xiàn)回顧
　　由于基金經(jīng)理的業(yè)績(jī)通常通過(guò)與一個(gè)基準(zhǔn)相比較來(lái)進(jìn)行評(píng)價(jià)，所以實(shí)際上在理論研究之前，基金經(jīng)理就已經(jīng)通過(guò)類似馬科維茨有效率邊界理論的均值—方差方法管理其投資組合。Roll［1］對(duì)這種策略進(jìn)行了總結(jié)和發(fā)展，并稱之為跟蹤誤差約束模型（TEV）。即先確定一個(gè)超額收益率（基金的收益率超過(guò)基準(zhǔn)收益率的部分），然后將跟蹤誤差最小化。同時(shí)，Roll指出TEV模型的一個(gè)系統(tǒng)性缺陷，即基于TEV模型構(gòu)建的組合收益的波動(dòng)性總是比基準(zhǔn)指數(shù)大。Jorion［2］對(duì)TEV模型進(jìn)行了另一種表述，先確定一個(gè)跟蹤誤差，在這個(gè)跟蹤誤差下最大化超額收益（本文使用的TEV模型即是這種表述）。并且Jorion針對(duì)TEV模型的上述系統(tǒng)性缺陷，提出了常數(shù)跟蹤誤差約束模型（C-TEV），在TEV模型的基礎(chǔ)上再加入組合總體收益波動(dòng)性約束，并從理論上證明了C-TEV模型可以更加有效地控制組合的總體風(fēng)險(xiǎn)。
　　基于上述理論，國(guó)外的很多文獻(xiàn)進(jìn)行了大量的實(shí)證研究。這些研究大致圍繞兩個(gè)主題展開(kāi)：一是關(guān)于輸入列表（預(yù)期收益均值和預(yù)期收益協(xié)方差陣）的預(yù)測(cè)方法；二是對(duì)權(quán)重的取值范圍添加限制條件（如不允許為負(fù)值，即不允許賣空等）。研究者一致認(rèn)為期望收益的預(yù)測(cè)是重要的，但也是十分困難的。相對(duì)地，收益協(xié)方差陣則較易從歷史數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)。當(dāng)然協(xié)方差陣預(yù)測(cè)的難度也決不可被低估。目前大部分文獻(xiàn)仍集中在研究不同的協(xié)方差陣預(yù)測(cè)方法，而對(duì)于收益均值往往采用一個(gè)簡(jiǎn)單的模型，如本文中的單因素模型。實(shí)際的運(yùn)用中，基金經(jīng)理可以用考慮了多種因素之后對(duì)于收益率期望值的預(yù)測(cè)代替研究文獻(xiàn)中的預(yù)測(cè)。Louis等［3］比較了樣本協(xié)方差陣、因子模型和常數(shù)協(xié)方差陣3種不同方法預(yù)測(cè)協(xié)方差陣對(duì)TEV模型預(yù)測(cè)的影響，發(fā)現(xiàn)TEV模型對(duì)于協(xié)方差陣的要求比馬科維茨模型要求更高。Hwang和Satchell［4］對(duì)于跟蹤誤差的事前和事后測(cè)量進(jìn)行了深入的研究。El-Hassan和Kofman［5］對(duì)澳大利亞股票市場(chǎng)數(shù)據(jù)進(jìn)行了基于C-TEV模型構(gòu)建積極投資組合的實(shí)證分析。另外，隨著計(jì)算技術(shù)的進(jìn)步，實(shí)證研究通過(guò)增加所考慮的資產(chǎn)池的資產(chǎn)數(shù)目和延長(zhǎng)所考慮歷史數(shù)據(jù)的時(shí)間區(qū)間來(lái)獲得更接近實(shí)際的結(jié)果。
　　國(guó)內(nèi)對(duì)于C-TEV模型的直接研究較少。馬永開(kāi)和唐小我［6］介紹了TEV模型的提出和求解，并分析了利用TEV模型構(gòu)建的投資組合的有效性。屈穎爽等［7］以4只指數(shù)為投資范圍，分別以總樣本協(xié)方差法、單指數(shù)模型法、常量相關(guān)模型法（即假設(shè)股票之間的相關(guān)系數(shù)相等）、單位矩陣法（即假設(shè)股票之間相關(guān)系數(shù)為0，股票收益率方差相同）和兩參數(shù)法（即假設(shè)各股票方差相同，相關(guān)系數(shù)相同）估計(jì)協(xié)方差陣，對(duì)于TEV模型和C-TEV模型的應(yīng)用做了實(shí)證研究。
　　本文將C-TEV模型應(yīng)用于中國(guó)股票市場(chǎng)。本文得益于計(jì)算技術(shù)的進(jìn)步，本文所選取的投資范圍比較大，包含50只股票；本文對(duì)于禁止賣空時(shí)的情況做了研究，這使得C-TEV模型在當(dāng)前賣空手段匱乏的中國(guó)股市更有實(shí)際意義；本文使用指數(shù)滑動(dòng)平均方法（EWMA）估計(jì)協(xié)方差陣，相對(duì)于兩參數(shù)模型等方法沒(méi)有添加過(guò)多的假設(shè)，對(duì)于協(xié)方差陣的估計(jì)相對(duì)合理。另外，本文在使用EWMA模型時(shí)針對(duì)具體數(shù)據(jù)計(jì)算了最優(yōu)衰減因子。
　　三、模型介紹
　?。ㄒ唬〦WMA模型和協(xié)方差陣
　　在維數(shù)較低時(shí)，多維GARCH模型可以對(duì)股票之間的波動(dòng)溢出提供很好的描述，因此常用來(lái)估計(jì)協(xié)方差陣。但是在維數(shù)較高時(shí)，如本文中為50維，GARCH模型幾乎是不能解的。RiskMetrics［8］針對(duì)GARCH模型的這一缺陷，提出了指數(shù)加權(quán)滑動(dòng)平均模型EWMA，具體的模型假設(shè)為：
　　即假設(shè)基于t之前的歷史信息，t+1時(shí)刻的收益率向量rt+1的條件分布為n維（n=50）正態(tài)分布。其協(xié)方差陣的每一個(gè)元素都滿足(3)式，即歷史方差或協(xié)方差的指數(shù)加權(quán)平均。
　　在實(shí)際運(yùn)用中，通常設(shè)定一個(gè)最大滯后期k，即用下式代替(3)式：
　　容忍因子表示設(shè)定最大滯后期k所帶來(lái)的相對(duì)誤差（相對(duì)于最大滯后期為正無(wú)窮大）。本文選取rL=1%，故:
　　k=ln0.01lnλ(6)
　　EWMA模型的關(guān)鍵是選定合適的衰減因子λ值。RiskMetrics［8］計(jì)算了20多個(gè)國(guó)家和地區(qū)的經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)的最優(yōu)值，并且提出了一個(gè)簡(jiǎn)化的建議：對(duì)于日數(shù)據(jù)，取λ=0.94；而對(duì)于月度數(shù)據(jù)，取λ=0.97。這個(gè)建議一方面使得EWMA模型應(yīng)用起來(lái)更加方便，但另一方面也倍受非議，因?yàn)檫@種不考慮具體數(shù)據(jù)而強(qiáng)加一個(gè)λ值的做法不見(jiàn)得對(duì)任何數(shù)據(jù)都適用。實(shí)際上，RiskMetrics計(jì)算的20多個(gè)國(guó)家和地區(qū)的λ值也各不相同。因此本文沒(méi)有直接使用建議值，而是使用最小化方差預(yù)測(cè)值hji的誤差RMSEi的方法分別計(jì)算每只股票的最優(yōu)衰減因子λi，最后對(duì)所有的λi進(jìn)行加權(quán)平均獲得一個(gè)總體的最優(yōu)衰減因子λ。RMSEi的定義如下：
　　
　　
　　四、數(shù)據(jù)處理和描述性統(tǒng)計(jì)
　?。ㄒ唬?shù)據(jù)選擇
　　本文選取了上證綜合指數(shù)2009年4月1日權(quán)重排名前50的股票構(gòu)建投資范圍集合，排名時(shí)剔除了上海電氣等10只2008年1月1日之后上市的股票，將權(quán)重排名緊跟其后的股票補(bǔ)充進(jìn)來(lái)。最終選定的50只股票總權(quán)重為67.56%。選取這50只股票2008-01-01至2009-12-31的考慮紅利再投資的日收盤價(jià)可比價(jià)格序列作為交易數(shù)據(jù)樣本。由于所取股票數(shù)目比較大，所以盡管每個(gè)單只股票的停牌日都很少，但是全部50只股票的2008-01-01至2009-12-31共同交易日仍然只有254個(gè)。從數(shù)量上看，每只股票的停牌日都很少，平均每只股票的停牌日只有6.78個(gè)；從分布上看，不論是單只股票還是不同股票之間的停牌日都比較分散，因此本文使用插值法對(duì)停牌日的數(shù)據(jù)進(jìn)行插值，并將數(shù)據(jù)的結(jié)束點(diǎn)設(shè)為50只股票的最后一個(gè)共同交易日2009-12-31，得到487個(gè)交易日的數(shù)據(jù)。
　　無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率選取的是銀行間7天債券回購(gòu)利率R007。
　　（二）數(shù)據(jù)處理與描述性統(tǒng)計(jì)
　　首先，構(gòu)建基準(zhǔn)指數(shù)。對(duì)前50股票2009年4月1日占上證綜合指數(shù)的權(quán)重進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，再將這個(gè)基準(zhǔn)組合指數(shù)化，并設(shè)定2009年4月1日的指數(shù)值與上證綜合指數(shù)相等，即得到本文中使用的基準(zhǔn)指數(shù)。從圖1可以看出，基準(zhǔn)指數(shù)基本能夠反映上證綜合指數(shù)的變動(dòng)。虛線表示上證綜合指數(shù)走勢(shì)，實(shí)線表示基準(zhǔn)指數(shù)走勢(shì)，收益率的計(jì)算是通過(guò)取自然對(duì)數(shù)后差分得到的。
　　其次，對(duì)每只股票進(jìn)行描述性統(tǒng)計(jì)（如表1所示）。Ljung-Box檢驗(yàn)的滯后期設(shè)為12，結(jié)果表明在5%的置信水平下，只有少數(shù)（4只）股票的收益率序列存在自相關(guān)。因此，EWMA模型假定收益率序列只有波動(dòng)相關(guān)性與Ljung-Box檢驗(yàn)的結(jié)果基本一致。
　　
　　五、實(shí)證分析
　?。ㄒ唬〦WMA模型最優(yōu)值的確定
　　圖2表示用最小化RMSE的方法獲取最優(yōu)衰減因子的結(jié)果。最終選擇的全局最優(yōu)值為0.945，與Risk［8］的建議值0.94接近。圖2中的折線表示每只股票各自的最優(yōu)值，水平線表示對(duì)這些單只股票最優(yōu)值進(jìn)行加權(quán)后獲得的全局最優(yōu)值；RMSE圖中的豎線是各自最小RMSE值，折線表示當(dāng)衰減因子都取為全局最優(yōu)λ值時(shí)每只股票的RMSE值。注意到圖2中的第38只股票（即601398工商銀行）的最優(yōu)λ值最小，為0.