李瑞娟,張新鴻,李勝家

(1.山西大學(xué)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所,山西太原 030006;2.太原科技大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系,山西太原 030024)

＊蘊(yùn)含強(qiáng)(p,q)哈密爾頓性的幾個(gè)條件

李瑞娟1,張新鴻2,李勝家1

(1.山西大學(xué)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所,山西太原 030006;2.太原科技大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系,山西太原 030024)

利用路收縮技術(shù),證明了,如果有向圖D滿足下列條件中的任何一個(gè),

(1)最小半度δ0(D)≥(n+p+q)/2;

(2)D是(p+q+1)強(qiáng)連通有向圖,且d+(x)+d+(y)+d-(u)+d-(v)≥2(n+p+q)-1,這里,x,y是任意控制頂點(diǎn)對(duì),u,v是任意被控制頂點(diǎn)對(duì);

(3)D的弧數(shù)超過(guò)(n-1)2+q2+p;那么D是強(qiáng)(p,q)哈密爾頓的.

路收縮;最小半度;度和;最少弧數(shù);強(qiáng)(p,q)哈密爾頓

O157.5

A

本文僅考慮無(wú)環(huán)、無(wú)重邊的有向圖.設(shè)D是一個(gè)有向圖,我們用n表示D的頂點(diǎn)的個(gè)數(shù),用V(D)和A(D)分別表示D的頂點(diǎn)集和弧集.

設(shè)x,y是D上的兩個(gè)頂點(diǎn),如果xy是D的一條弧,那么我們稱x控制y或者y被x控制,記作x→y.所有被x控制的頂點(diǎn)構(gòu)成的集合稱為x的外鄰,記作N+D(x),所有控制x的頂點(diǎn)構(gòu)成的集合稱為x的內(nèi)鄰,記作N-D(x).記d+D(x)=|N+D(x)|,d-D(x)=|N-D(x)|,分別稱為x的外度和內(nèi)度.我們稱x的外度或內(nèi)度為它的半度.如果D是上下文所已知的,則我們忽略上述符號(hào)的下標(biāo).

有向圖D的最小外度和最小內(nèi)度分別是指δ+(D)=m in{d+D(x)|x∈V(D)},δ-(D)=m in{d-D(x)|x∈V(D)},最小半度是指δ0(D)=min{δ+(D),δ+(D)}.

對(duì)于D上的兩個(gè)不同頂點(diǎn)x和y,如果存在頂點(diǎn)z,使得z→x且z→y,則稱x,y是被控制頂點(diǎn)對(duì).如果存在頂點(diǎn)w,使得x→w且y→w,則稱x,y是控制頂點(diǎn)對(duì).

本文中的路和圈是指有向路和有向圈.有向圖D上的哈密爾頓路和圈是指包含所有頂點(diǎn)的路和圈.如果D包含一個(gè)哈密爾頓圈,則稱D是哈密爾頓的.設(shè)P是D上的一條路,a,b是P上的兩個(gè)頂點(diǎn),不妨設(shè)在P上a在b之前,P[a,b]表示從a到b的子路.

如果對(duì)每一對(duì)頂點(diǎn)x和y,在D上總存在一條從x到y(tǒng)的路和一條從y到x的路,則稱D是強(qiáng)連通的,或者稱D是一個(gè)強(qiáng)連通有向圖.如果在D上既存在從x到y(tǒng)的哈密爾頓路又存在從y到x的哈密爾頓路,則稱D是強(qiáng)哈密爾頓連通的,或者說(shuō),D是強(qiáng)哈密爾頓連通有向圖.如果|V(D)|≥k+1且對(duì)任何一個(gè)至多k-1個(gè)頂點(diǎn)的集合U,都有D-U是強(qiáng)連通的,則稱D是k強(qiáng)連通的或者D是一個(gè)k強(qiáng)連通有向圖.

定義1[1]設(shè)D=(V,A)是一個(gè)有向圖,設(shè)S是以V(D)為頂點(diǎn)集的完全有向圖中兩兩不相交的路的集合且S中所有路的總長(zhǎng)度為q.如果對(duì)于所有滿足上述條件的集合S,有向圖D′=(V,A∪S)都有包含S的哈密爾頓圈,則稱D是強(qiáng)q弧哈密爾頓的.如果對(duì)所有整數(shù)r(0≤r≤p)刪除D的任意r個(gè)頂點(diǎn)得到的有向圖是強(qiáng)q弧哈密爾頓,則稱有向圖D是強(qiáng)(p,q)哈密爾頓的.

顯然,強(qiáng)(0,1)哈密爾頓有向圖恰好是強(qiáng)哈密爾頓連通的.更多結(jié)果參看文獻(xiàn)[6-8].

定義2[2]設(shè)x和y是有向圖D上的兩個(gè)不同頂點(diǎn),P是以V(D)為頂點(diǎn)集的完全有向圖上的一條(x,

(3)一條兩個(gè)端點(diǎn)均在V(D)V(P)上的弧屬于H當(dāng)且僅當(dāng)它屬于D.

記H=D/P.如果P是一條弧e,簡(jiǎn)單地記H=D/e.設(shè)

S={Pi|Pi是以V(D)為頂點(diǎn)集的完全圖中的一條路,i=1,2,…,s,且這些Pi兩兩不相交}.如果H′=(…((D/P1)/P2)/…)Ps,則稱H′是由D通過(guò)收縮S得到的有向圖,記H′=D/S,不難看出,這里的收縮運(yùn)算并不依賴于路收縮的順序.

本文未給出的術(shù)語(yǔ)和符號(hào)可參考文獻(xiàn)[1].下面是本文將用到的一些定理.

定理1[3]如果D是最小半度δ0(D)≥n/2,那么D是哈密爾頓的.

定理2[4]如果D是強(qiáng)連通有向圖且對(duì)于D的任意控制頂點(diǎn)對(duì)x和y,以及D的任意被控制頂點(diǎn)u和v,有d+(x)+d+(y)+d-(u)+d-(v)≥2n-1,那么D是哈密爾頓的.

定理3[5]如果D的弧數(shù)超過(guò)(n-1)2,那么D是哈密爾頓的.

定理4 設(shè)p和q是兩個(gè)非負(fù)整數(shù)且滿足1≤p+q≤n-2.如果D的最小半度δ0(D)≥(n+p+q)/2,那么D是強(qiáng)(p,q)哈密爾頓的.

證明 設(shè)r是滿足0≤r≤p的整數(shù),D′是由D刪除任意r個(gè)頂點(diǎn)的有向圖.顯然D′包含n-r個(gè)頂點(diǎn).為了證明D是強(qiáng)(p,q)哈密爾頓的,只需證明D′是強(qiáng)q弧哈密爾頓的.設(shè)S是頂點(diǎn)集為V(D′)的完全圖中互不相交的路的集合,且滿足這些路的總長(zhǎng)度為q.在有向圖D′上通過(guò)收縮S構(gòu)造新的有向圖D″.由于在D′上每收縮一條弧,D′減少一個(gè)頂點(diǎn),故D″包含D-r-q個(gè)頂點(diǎn).進(jìn)而y)路.稱有向圖H是由D通過(guò)收縮P到一個(gè)新頂點(diǎn)w得到的有向圖,如果滿足下列條件:

(1)V(H)=(V(D)V(P))∪{w};

根據(jù)定理1,D″是哈密爾頓的,從而D′是強(qiáng)q弧哈密爾頓的.結(jié)論得證.

引理設(shè)q≥1是整數(shù)且D是(q+1)強(qiáng)連通有向圖,S是以V(D)為頂點(diǎn)集的完全圖中兩兩不相交的路的集合且S中所有路的總長(zhǎng)度為q.如果D′是由D通過(guò)收縮S得到的有向圖,那D′是強(qiáng)連通的.

證明 設(shè)S包含的弧分別是e1,e2,…,eq,則(…((D/e1)/e2)/…)/eq=D/S=D′.顯然,只需證明D/e1是q強(qiáng)連通的.令e1=ab,D收縮e1得到新頂點(diǎn)w.設(shè)x,y是D/e1中任意兩個(gè)不同頂點(diǎn).如果x和y都不是新頂點(diǎn)w,由M enger定理,在D上存在q+1條內(nèi)部不相交的(x,y)路.如果這q+1條路中有q條路均不包含a,b,則D/e1有q條內(nèi)部不相交的(x,y)的路.故假設(shè)這q+1條路中存在兩條路P1和P2,使得a∈V(P1),b∈V(P2).注意到,P1[x,w]P2[w+,y]是D/e1上從x到y(tǒng)的路且與其余的q-1條路內(nèi)部不相交,則在此情形下,D/e1上仍有q條內(nèi)部不相交的路.因此,假設(shè)x或y是頂點(diǎn)w.不失一般性,假設(shè)x=w,由M enger定理,在D上有q+1條內(nèi)部不相交的(b,y)路.顯然,這些路中至多有一條包含頂點(diǎn)a.從而,其余q條(b,y)路仍是D/e1上的q條(w,y)路.再由M enger定理以及x,y選取的任意性,D/e1是q強(qiáng)連通有向圖.結(jié)論得證.

定理5 設(shè)p和q是兩個(gè)非負(fù)整數(shù)且滿足1≤p+q≤n-2,D是(p+q+1)強(qiáng)連通有向圖.如果對(duì)任意控制頂點(diǎn)對(duì)x,y以及被控制頂點(diǎn)對(duì)u,v.都有d+(x)+d+(y)+d-(u)+d-(v)≥2(n+p+q)-1,那么D是強(qiáng)(p,q)哈密爾頓的.

證明 設(shè)r,D′,S,D″如定理4所定義.顯然D′是(q+1)強(qiáng)連通的,從而由引理,D″是強(qiáng)連通有向圖.又顯然,D″包含n-r-q個(gè)頂點(diǎn).

類似于定理4的證明,只需證明D″是哈密爾頓的.設(shè)S′?V(D″)是收縮后得到的新頂點(diǎn)的集合.任取D″上的控制頂點(diǎn)對(duì)x,y以及被控制頂點(diǎn)對(duì)u,v.如果x(或y)是S′中的點(diǎn),那么x(或y)在D″-S′上的外鄰集與S中某條路的終點(diǎn)在D-S上的外鄰集相同.仍用x(或y)表示這條路的終點(diǎn).類似地,如果u(或v)是S′中的點(diǎn),那么u(或v)在D″-S′上的內(nèi)鄰集與S中某條路的起點(diǎn)在D-S上的內(nèi)鄰集相同.同樣地,仍用u(或v)表示這條路的起點(diǎn).注意到,x和y(u和v)仍是D上的控制(被控制)頂點(diǎn)對(duì),故有:

由定理2,D″是哈密爾頓的,結(jié)論得證.

定理6 設(shè)p和q是兩個(gè)非負(fù)整數(shù)且滿足1≤q2+p≤n-1.如果D的弧數(shù)超過(guò)(n-1)2+q2+p,那么D是強(qiáng)(p,q)哈密爾頓的.

證明 設(shè)r,D′,S,D″如定理4所定義.顯然D′有n-r個(gè)頂點(diǎn),D″有n-r-q個(gè)頂點(diǎn),并且當(dāng)刪除D的r個(gè)頂點(diǎn)時(shí),D至多減少了2r(n-r)+r(r-1)條弧.假設(shè)P是S中的一條路.如果在D′中收縮路P,那么D′至多減少了2|A(P)|(n-r-1)條弧.故當(dāng)收縮S中所有的路時(shí).D′至多減少了2q(n-r-1)條弧.因此

由定理3.D″是哈密爾頓的.從而,D是強(qiáng)(p,q)哈密爾頓的.

推論1 如果D的最小半度δ0(D)≥(n+1)/2,那么D是強(qiáng)哈密爾頓連通的.

推論2 設(shè)D是2強(qiáng)連通有向圖.如果對(duì)任意控制頂點(diǎn)對(duì)x,y以及被控制頂點(diǎn)對(duì)u,v,都有d+(x)+d+(y)+d-(u)+d-(v)≥2n+1,那么D是強(qiáng)哈密爾頓連通的.

推論3 如果D的弧數(shù)超過(guò)(n-1)2+1,那么D是強(qiáng)哈密爾頓連通的.

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[8] Meierling D.Local Tournaments with the Minimum Number of Hamiltonian Cycles or Cycles of Length Three[J].D iscrete Math,2010,310:1940-1948.

Some Sufficient Conditions for Strongly(p,q)-Hamilton icity

LI Rui-juan1,ZHANG Xin-hong2,LI Sheng-jia1
(1.Institute of Mathematics and A pp lied Mathematics,Shanxi University,Taiyuan030006,China;
2.Department of Applied Mathematics,Taiyuan University of Science and Technology,Taiyuan030024,China)

U sing the path-contraction technique,w e p rove that if a digraphDsatisfies

(i)the minimum semi-degreeδ0(D)≥(n+p+q)/2(1≤p+q≤n-2),or

(ii)Dis(p+q+1)-strong andd+(x)+d+(y)+d-(u)+d-(v)≥2(n+p+q)-1 fo r every pairx,yof dominating vertices and every pairu,vof dominated vertices,or

(iii)Dcontains more than(n-1)2+q2+p;(1≤q2+p≤n-1)arcs,thenDis strongly(p,q)-Hamiltonian.

path-contraction;minim um semi-degree;degree sum;minimum arcs;strongly(p,q)-Hamiltonian

0253-2395(2011)01-0026-03＊

2010-05-24;

2010-06-28

山西省自然科學(xué)基金(2007011002);國(guó)家自然科學(xué)基金數(shù)學(xué)天元基金(11026162)

李瑞娟(1980-),女,山西侯馬人,博士,講師.E-mail:ruijuanli@sxu.edu.cn