安 迪，高媛媛，姜鳳怡

（1．吉林大學(xué) 電子科學(xué)與工程學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春130012；2．東北師范大學(xué) 物理學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春130024）

1 引 言

混沌控制是混沌領(lǐng)域的熱點(diǎn)課題之一［1－3］．控制混沌的方法有很多，但大體上分為反饋控制和非反饋控制兩大類(lèi)．反饋控制方法的基本思想是：將系統(tǒng)輸出信號(hào)直接或通過(guò)某種組合或變換后送給系統(tǒng)本身，利用反饋信號(hào)的調(diào)制或控制作用使得系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)從混沌態(tài)轉(zhuǎn)變成周期態(tài)或不動(dòng)點(diǎn)，如延遲反饋控制法、線性反饋控制法、凹槽濾波反饋控制法等．

越來(lái)越多的院校已將混沌理論與實(shí)驗(yàn)引入到大學(xué)物理教學(xué)中［4－7］．本文基于反饋控制機(jī)理，提出利用低通濾波器控制混沌的方法，即將混沌系統(tǒng)的輸出信號(hào)經(jīng)過(guò)低通濾波后回送給系統(tǒng)，利用低通濾波器的相移特性，適當(dāng)調(diào)節(jié)電路元件參數(shù)，可達(dá)到控制混沌的目的．該方法電路實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象豐富，便于在教學(xué)中演示．

2 混沌控制電路的設(shè)計(jì)

本文采用如下混沌系統(tǒng)［8］：

當(dāng)a1＝0．3，a2＝0．02，a3＝4．0，a4＝1．0時(shí)，系統(tǒng)有1個(gè)大于零的Lyapunov指數(shù)存在，此時(shí)系統(tǒng)是混沌的．

根據(jù)式（1）設(shè)計(jì)的混沌電路見(jiàn)圖1．集成運(yùn)放分別構(gòu)成積分、加法和比例運(yùn)算電路，乘法器實(shí)現(xiàn)非線性函數(shù)的功能，為滿足式（1）中各參量的要求，選取R＝10 kΩ，R1＝33 kΩ，R2＝500 kΩ，R3＝0．25 kΩ，V1＝1 V，C＝22 nF．

由示波器觀測(cè)到實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2所示，圖2（a）反映系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)軌跡在其相空間投影到u1（橫軸）～u2（縱軸）平面上所呈現(xiàn)的纏繞和折疊的幾何圖形，即混沌吸引子，而圖2（b）則反映系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)隨時(shí)間變化的不規(guī)則性．

實(shí)現(xiàn)控制的電路如圖3所示，其中A6和A7構(gòu)成2級(jí)級(jí)聯(lián)的低通濾波器，A8構(gòu)成減法器．選取混沌電路中的變量u1作為濾波器的輸入信號(hào)，經(jīng)過(guò)低通濾波后從運(yùn)放A7輸出，得到的輸出信號(hào)uO7與u1相減，通過(guò)電阻Rw回送給圖1電路中的N點(diǎn)，即將控制信號(hào)送入式（1）中的第一個(gè)方程的右端，此時(shí)控制信號(hào)可描述為

圖1 混沌電路

圖2 混沌電路的實(shí)驗(yàn)結(jié)果

圖3 控制電路

3 實(shí)驗(yàn)控制的結(jié)果

實(shí)驗(yàn)中，調(diào)節(jié)電阻Rw由大到小變化，即相當(dāng)于k由小到大變化，可以觀察到被控混沌電路逐漸由混沌態(tài)變?yōu)?周期（3P）窗口、4周期（4P）、2周期（2P）、1周期（1P）等倍周期現(xiàn)象．圖4（a）～（d）分別為當(dāng)Rw＝40．2，23．5，20．0，15．5 kΩ時(shí)被控電路的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，顯然電路分別被控到3P，4P，2P，1P．

圖5（a）和圖5（b）分別為電路被控制到3P和4P時(shí)的時(shí)域圖，進(jìn)一步驗(yàn)證電路被控制到周期的結(jié)果．

圖4 電路被控制到周期的相圖（橫軸為u1，縱軸為u2）

4 結(jié)束語(yǔ)

以三維自治混沌系統(tǒng)為例研究了利用低通濾波器實(shí)現(xiàn)混沌控制的方法，適當(dāng)調(diào)節(jié)電路元件參量，可以有效地將混沌電路控制到不同的周期態(tài)．本文提出的控制方法進(jìn)一步拓寬了低通濾波器的應(yīng)用范圍．該方法不僅可以控制自治混沌系統(tǒng)，還可以用于控制更高維的超混沌系統(tǒng)．

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