●羅增儒 (陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 陜西西安 710062)

一道2010年中考題的教學(xué)分析

●羅增儒 (陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 陜西西安 710062)

這是一道對(duì)初中生來(lái)說(shuō)難度很大的問(wèn)題．據(jù)測(cè)試，大約300人中只有9人做對(duì)，初中教師做對(duì)的概率也很低(有人懷疑超綱)．本文想以此作為解題教學(xué)的示例，分4個(gè)步驟講解如下．

題目水管的外部需要包扎，包扎時(shí)用帶子纏繞在管道的外部．若要使帶子全部包住管道且不重疊(不考慮管道2端的情況)，需計(jì)算帶子的纏繞角度α(α指纏繞中將部分帶子拉成圖1所示的平面ABCD時(shí)的∠ABC，其中AB為管道側(cè)面母線的一部分)．若帶子寬度為1，水管直徑為2，則 α的余弦值為 ＿＿．

圖1

(2010年浙江省紹興市數(shù)學(xué)中考試題)

1 理解題意

包括3項(xiàng)基本工作:

(1)條件是什么?一共有幾個(gè)?其數(shù)學(xué)含義如何?

條件有4個(gè):

①以水管及附圖為載體給出一個(gè)圓柱，從而圓柱的所有性質(zhì)可視為已知．

②圓柱(水管)的底面直徑為2，從而底面及水平截面圓的周長(zhǎng)、面積等可視為已知．

③以帶子纏繞管道為載體給出圓柱側(cè)面的一個(gè)斜長(zhǎng)條圖形覆蓋，斜長(zhǎng)條圖形展平時(shí)底邊與母線的夾角為α．

④帶子寬度為1，即2條平行線間的距離為1．但帶子寬度應(yīng)在什么地方出現(xiàn)呢?文中沒(méi)有明確的交待．

(2)結(jié)論是什么?一共有幾個(gè)?其數(shù)學(xué)含義如何?

結(jié)論有1個(gè):求角α的余弦值．

(3)條件與結(jié)論有什么初步聯(lián)系?

①結(jié)論所需要的直角三角形應(yīng)該在條件③的斜長(zhǎng)條圖形的展開(kāi)圖中．而為了得出展開(kāi)圖，需要用到條件①中圓柱的性質(zhì)，結(jié)合本例有:

1°圓柱的母線與底面垂直;

2°圓柱側(cè)面沿母線剪開(kāi)的展開(kāi)圖為矩形，而不沿母線剪開(kāi)的展開(kāi)圖可以為平行四邊形．

②為了找出結(jié)論所需要的直角三角形，從條件①和條件④中找出提供直角的2處機(jī)會(huì):

1°“圓柱的母線垂直于底面”;

2°“帶子寬度為1”，即2條平行線間的距離，有垂直的含義．

③為了找出計(jì)算余弦值所需要的“鄰邊、斜邊”，我們關(guān)注條件②和④．由底面直徑為2知，圓柱的底面周長(zhǎng)為2π;由帶子寬度為1知，點(diǎn)A到BC的距離為1．

條件與結(jié)論的更深入聯(lián)系由“思路探求”階段去完成．

2 思路探求

(1)為了求角α的余弦值，要尋找α所在的直角三角形．

(2)為了找直角三角形，把纏繞一圈的帶子展開(kāi)，這時(shí)出現(xiàn)一個(gè)平行四邊形和角α，但還沒(méi)有出現(xiàn)直角三角形(參見(jiàn)圖2中的實(shí)線)．

(3)為了出現(xiàn)直角三角形，連結(jié)AC，并作AH⊥BC，有 AC=2π，AH=1，AB⊥AC(如圖 2)，得出 3個(gè)直角三角形:Rt△BAC，Rt△ABH，Rt△AHC(可以不用)．

(4)由于Rt△AHC有2條已知邊，因此每個(gè)銳角的余弦都可求得．由同角的余角相等知，∠CAH=∠B=α(解法見(jiàn)文獻(xiàn)［1］)．

圖2

3 書(shū)寫(xiě)解法

解設(shè)圖1中帶子的一圈里，點(diǎn) C與點(diǎn) A重合、CD與AB共線，則纏繞一圈的帶子展開(kāi)后為平行四邊形(如圖2)，作對(duì)角線AC及邊上的高AH，則AC⊥AB．由△ABC≌△HAC，得

4 反思回顧

(1)問(wèn)題解決的關(guān)鍵是將圖1中纏繞一圈的帶子展開(kāi)(如圖2)，把空間問(wèn)題化歸為平面幾何中解直角三角形的問(wèn)題求解．主要有以下3個(gè)化歸:

化歸1把一個(gè)實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題(需要空間想象能力);

化歸2把一個(gè)空間數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面數(shù)學(xué)問(wèn)題(平行四邊形)(需要構(gòu)造性思維能力);

化歸3把一個(gè)平面數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形．

(2)用到的數(shù)學(xué)知識(shí)有:

①圓柱．圓柱母線垂直于底面，圓柱側(cè)面展開(kāi)圖為矩形．

②平行四邊形的判定．當(dāng)把纏繞一圈的帶子展開(kāi)時(shí)(空間圖形向平面圖形轉(zhuǎn)化)，AD平行并等于BC，因而四邊形ABCD是平行四邊形．但是這個(gè)四邊形上鮮有已知條件．

③直角三角形相似．作輔助線AC，AH，把平行四邊形的內(nèi)角轉(zhuǎn)化為直角三角形的內(nèi)角，并且出現(xiàn)了條件②和條件④，有△ABC≌△HAC(可用“同角的余角相等”來(lái)代替)．

④余弦的定義．

(3)主要困難有:

①在把一個(gè)實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，想象不出帶子是如何纏繞在管道外部的，弄不清應(yīng)該轉(zhuǎn)化為一個(gè)什么樣的數(shù)學(xué)問(wèn)題，因而很多學(xué)生讀完題目后便不知如何入手了．

解決辦法:可動(dòng)手操作，轉(zhuǎn)化為平行四邊形的內(nèi)角問(wèn)題．

②把一個(gè)空間數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，將帶子展開(kāi)為平面圖形具有開(kāi)放性，學(xué)生想象不出展開(kāi)圖形是什么，因而原圖1中的曲線BC不知該拉直到什么地方，這樣就找不到角α．

③有一部分學(xué)生把筆作為水管、用紙條進(jìn)行操作(這是好辦法)，但會(huì)誤認(rèn)為一周的展開(kāi)圖是矩形(把 α 作為90°)．

解決辦法是通過(guò)正確操作，把圖1中的CD還原為與AB共線．

④想不到母線與過(guò)點(diǎn)A的圓周展開(kāi)線垂直，因而“水管直徑為2”的條件沒(méi)有用上，輔助線AC也出不來(lái)．即使輔助線AC出來(lái)了，也不知道△ABC為直角三角形．

解決辦法:可以過(guò)點(diǎn)A作一個(gè)截面圓．

⑤誤認(rèn)帶子寬度為AB，從而AB=1，帶子寬度的輔助線AH出不來(lái)．

⑥很多學(xué)生得出數(shù)值大于1的答案，這說(shuō)明對(duì)余弦值概念理解不透．也反映出教師或?qū)W生對(duì)課本中“探究活動(dòng)”重視得不夠．

本例的更多分析請(qǐng)參見(jiàn)文獻(xiàn)［1］．

［1］ 王春麗．一題一世界 亮點(diǎn)成永恒——紹興卷第16題［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(中旬)，2010(9):60．