張波

(陜西理工學(xué)院土建系,陜西漢中723001)

我們實(shí)際生活中遇到的很多材料常同時(shí)具有彈性和粘性兩種不同機(jī)理的形變,如塑料、橡膠、混凝土和巖石等材料,然而從粘彈性材料這個(gè)角度出發(fā)來(lái)研究問(wèn)題的人較少[1-2]。本文在前人研究成果的基礎(chǔ)之上,將軸向流動(dòng)中的圓柱體視為粘彈性材料,并取微單元進(jìn)行受力分析,運(yùn)用D' Alembert原理建立其運(yùn)動(dòng)微分方程,并引入Kelvin模型的微分算子,得到了軸向流動(dòng)中Kelvin模型粘彈性圓柱體的運(yùn)動(dòng)微分方程。

1 粘彈性圓柱體的運(yùn)動(dòng)方程

軸向流動(dòng)中兩端簡(jiǎn)支的粘彈性圓柱體如圖1所示。設(shè)y為圓柱體撓度,m為圓柱體單位長(zhǎng)度質(zhì)量,ma為圓柱體單位長(zhǎng)度附加質(zhì)量(ma= ρ VCm,其中,ρ為流體密度,V是圓柱體的體積,Cm為附加質(zhì)量系數(shù)),u為沿圓柱體軸向的流動(dòng)速度,EI為抗彎剛度,l為圓柱體長(zhǎng)度,D為圓柱體直徑。

對(duì)于單位長(zhǎng)度上的阻力FN和FL有

拉力T可以表示為

粘性阻尼影響力FD可以表示為

式中 CT—圓柱體縱向阻力系數(shù);CN—圓柱體橫向阻力系數(shù);Cv—有效粘性阻力系數(shù);γ—常數(shù)(圓柱體下游受支承時(shí) γ=1,下游端自由或彈性支承時(shí)γ=0),C′T—自由端的形狀阻力系數(shù);T0—初始軸向拉力。

根據(jù)達(dá)朗伯原理[4],對(duì)微元分別列出x、y方向力的平衡方程,并考慮到當(dāng) θ→0時(shí),有sinθ≈0,cosθ≈1,則有

如果忽略轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,則x-y平面上的轉(zhuǎn)動(dòng)平衡方程為

對(duì)于粘彈性材料,應(yīng)力和應(yīng)變之間的關(guān)系為

式中P、Q—微分算子。

彎矩M(x,t)和撓度y(x,t)有如下的微分關(guān)系

根據(jù)式(6)、式(7)、式(8)、式(9)、式(10),得到粘彈性圓柱體在橫向流動(dòng)中的運(yùn)動(dòng)微分方程

把式(1)、式(2)、式(3)、式(4)、式(5)代入式(11)可以得到粘彈性圓柱體的運(yùn)動(dòng)微分方程

2 Kelvin模型的運(yùn)動(dòng)微分方程

假定圓柱體的材料服從Kelvin模型[5],則有

式中σ—正應(yīng)力;e—線應(yīng)變;E—彈性模量;η—粘性系數(shù)。

將式(14)代入式(12),并略去二階小量,即可得到Kelvin模型粘彈性圓柱體在軸向流動(dòng)中的運(yùn)動(dòng)微分方程

引入下列無(wú)量綱量

將方程(15)化為無(wú)量綱方程

式中β—質(zhì)量比;τ—無(wú)量綱時(shí)間;v—無(wú)量綱流動(dòng)速度;α—無(wú)量綱延滯時(shí)間。

3 結(jié)束語(yǔ)

運(yùn)用D'Alembert原理,引入Kelvin模型的微分算子,得到了軸向流動(dòng)中Kelvin模型粘彈性圓柱體的運(yùn)動(dòng)微分方程,最后再引入無(wú)量綱量將Kelvin模型粘彈性圓柱體的微分方程化為無(wú)量綱方程,為軸向流動(dòng)中粘彈性圓柱體的動(dòng)力特性分析奠定了基礎(chǔ)。

[1]GRIFFIN O M,SKOP R A,KOOPMANN G H.The vortex -excited resonant vibrations of circular cylinder[J].Journal of Sound and Vibration,1973(31)：235-249.

[2]ZHOU C Y,SO R M C,LAM K.Vortex-induced vibration of an elastic circular cylinder[J].Journal of Fluids and Structure,1999(13)：165-189.

[3]CHEN S S(美),圓柱結(jié)構(gòu)的流體誘發(fā)振動(dòng)[M].馮振宇,張希農(nóng),譯.北京：石油工業(yè)出版社,1988.

[4]倪振華.振動(dòng)力學(xué)[M].西安：西安交通大學(xué)出版社, 1989.

[5]楊挺青.粘彈性力學(xué)[M].武漢：華中理工大學(xué)出版社, 1990.