叢 屾,蔣海峰,盛遵冰

(1.黑龍江大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院,哈爾濱 150080;2.南京理工大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院,南京 210094)

0 引 言

隨著現(xiàn)代控制技術(shù)的發(fā)展,切換作為一種控制手段廣泛存在于各種控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型中,從理論角度來(lái)說(shuō)我們自然關(guān)心切換是如何影響系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的。因此,在過(guò)去的十幾年間切換系統(tǒng)成為控制理論領(lǐng)域中研究的熱點(diǎn)問(wèn)題,發(fā)展出來(lái)的方法與成果形成了一個(gè)獨(dú)立研究分支。特別是與切換系統(tǒng)穩(wěn)定問(wèn)題相關(guān)的一系列研究成果豐富了動(dòng)力系統(tǒng)理論體系并完善了Lyapunov穩(wěn)定性方法[1]。

另一方面,在系統(tǒng)建模過(guò)程中引入噪聲是反映各種振動(dòng)現(xiàn)象及不確定因素的有效方式,因此我們將考慮具有狀態(tài)時(shí)滯的切換隨機(jī)系統(tǒng)并基于多Lyapunov泛函方法分析其在均方意義下的穩(wěn)定性。較之于確定系統(tǒng),隨機(jī)系統(tǒng)包含更為豐富的研究?jī)?nèi)容,但是建立與之相應(yīng)的理論體系卻也更為困難,這是因?yàn)槲覀兯褂玫暮芏喔拍钆c方法潛在地依賴于具體的微積分法則。以切換系統(tǒng)為例,描述切換驅(qū)動(dòng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移過(guò)程是準(zhǔn)確分析系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的基礎(chǔ)[2-3];然而對(duì)于隨機(jī)系統(tǒng),除一維情形外,一般無(wú)法以閉合的形式刻劃狀態(tài)轉(zhuǎn)移過(guò)程并以此分析其統(tǒng)計(jì)特性[4]。在隨機(jī)分析的理論體系中考慮切換現(xiàn)象時(shí)通常假定其演化過(guò)程滿足一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律,即所謂的時(shí)齊Markov過(guò)程。這一假設(shè)的理論意義在于,我們可以通過(guò)相應(yīng)隨機(jī)微分方程的無(wú)窮小生成算子間接反映切換驅(qū)動(dòng)的狀態(tài)演化的統(tǒng)計(jì)特性,而這對(duì)于分析其漸近性質(zhì)是非常重要的[5-7]。因此,對(duì)于分別作為確定信號(hào)與隨機(jī)信號(hào)的切換而言,比較文獻(xiàn) [7-8]與 [9-10]在建立基本概念與研究方法上都存在本質(zhì)差別。

根據(jù)在樣本空間上建立拓?fù)涞囊饬x不同,隨機(jī)系統(tǒng)的穩(wěn)定性含義也有所不同,常用的包括:依概率穩(wěn)定,幾乎必然穩(wěn)定及均方穩(wěn)定。在各種穩(wěn)定性定義下,研究的重點(diǎn)在于如何利用噪聲的統(tǒng)計(jì)特性及It?微積分法則的不同側(cè)面以分析狀態(tài)隨時(shí)間演化的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。在依概率意義下,一般通過(guò)定義“狀態(tài)離開(kāi)原點(diǎn)某一領(lǐng)域”這一事件的發(fā)生時(shí)刻作為 “停時(shí)”,以此解析這一事件發(fā)生的分布律;然而建立確定意義下的 “切換”與隨機(jī)意義下的 “停時(shí)”之間的因果關(guān)系并刻劃其漸近性質(zhì)是非常復(fù)雜的。在均方意義下噪聲對(duì)穩(wěn)定性的影響基本上是負(fù)面的[9],因此不利于分析噪聲與切換對(duì)于穩(wěn)定性的共同影響。在幾乎必然意義下可以比較全面地認(rèn)識(shí)噪聲對(duì)穩(wěn)定性的影響[8,10-11],但是多Lyapunov函數(shù)在切換時(shí)的不連續(xù)性致使我們無(wú)從建立其統(tǒng)計(jì)特性,即論證其是否呈上鞅;然而通過(guò)強(qiáng)大數(shù)定理可以描述狀態(tài)演化的漸近性質(zhì),進(jìn)而由此建立幾乎必然指數(shù)穩(wěn)定的條件。

1 問(wèn)題描述

考慮如下切換線性隨機(jī)系統(tǒng):

其中x∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)變量;ω(t)表示定義于完備概率空間上的一維標(biāo)準(zhǔn)化布朗運(yùn)動(dòng),其參考族滿足所謂的通常條件。

根據(jù)切換信號(hào)隨時(shí)間的演化規(guī)律,可以將其展開(kāi)為如下序列形式:

我們的目的是建立條件以通過(guò)抑制切換信號(hào)變化的劇烈程度來(lái)保證系統(tǒng)(1)是幾乎必然指數(shù)穩(wěn)定的。為此,對(duì)切換信號(hào)依據(jù)其變化劇烈程度進(jìn)行分類。

定義2 給定Td＞0,切換信號(hào)σ(t)稱為是屬于STa的,如果其在任意區(qū)間 [t1,t2]內(nèi)的切換次數(shù)稱為是此類切換信號(hào)的平均駐留時(shí)間,是表征其變化劇烈程度的物理量。

用S∞表示在有限時(shí)間之后停止切換的切換信號(hào)所組成的集合,那么當(dāng)Td1≥Td2時(shí)顯然有STd1?STd2。

2 主要結(jié)論

由此結(jié)合Uxx=(1/V)Vxx-(1/V2)V′xVx即可推知:

及

那么,只要Td≥2ln χ/(β-2α),系統(tǒng)(1)在所有屬于STd的切換信號(hào)驅(qū)動(dòng)下都是幾乎必然指數(shù)穩(wěn)定的。

證明 構(gòu)造子系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的Lyapunov函數(shù)如下:

根據(jù)式(4)及式(5)可以分別推知:

及

此外,必然存在γ＞0使得對(duì)于任意i=1,…,N有:

這意味著

進(jìn)而,由式(3)可知:

給定切換信號(hào)σ及任意時(shí)刻t,假設(shè)tk為t時(shí)刻之前的最后一次切換發(fā)生時(shí)刻,即在上再無(wú)切換發(fā)生,則有:

上述過(guò)程通過(guò)在切換時(shí)刻進(jìn)行遞歸直至t0=0得到的,由此可以推知:

據(jù)此,根據(jù)強(qiáng)大數(shù)定理[9]推知:

進(jìn)而,將式(9)與式(10)代入式(13)即有:

由此可見(jiàn):

根據(jù)Td≥2ln χ/(β-2α)＞0便知:

從而命題得證。

在穩(wěn)定性分析的基礎(chǔ)上,繼續(xù)考慮控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)問(wèn)題。為此,考慮具有控制輸入u∈Rm的如下切換隨機(jī)系統(tǒng):

我們的目的是設(shè)計(jì)子系統(tǒng)反饋控制u=Fix;i =1,…,N:使得如下閉環(huán)系統(tǒng)

是幾乎必然指數(shù)穩(wěn)定的。通過(guò)簡(jiǎn)單的矩陣不等式技巧即可得證結(jié)論。

或者

及

3 仿真算例

通過(guò)一個(gè)例子說(shuō)明方法的有效性。

例1 考慮由兩個(gè)二階線性隨機(jī)系統(tǒng)構(gòu)成的切換系統(tǒng),子系統(tǒng)方程如下:

及

根據(jù)命題2,通過(guò)求解線性矩陣不等式得到子系統(tǒng)反饋控制分別為F1=[-0.766 1.732]及F2=[-0.055 -2.812],同時(shí)解得χ=2.07,α =0.34,β=3.0。據(jù)此,由上述子系統(tǒng)構(gòu)成的切換是幾乎必然指數(shù)穩(wěn)定的,只要切換信號(hào)的平均駐留時(shí)間Td≥0.627。Brown運(yùn)動(dòng)及相應(yīng)的狀態(tài)響應(yīng)分別示于圖1與圖2中。

圖1 一維標(biāo)準(zhǔn)化Brown運(yùn)動(dòng)Fig.1 1D normalized Brownina motion

圖2 對(duì)應(yīng)于Td=0.627系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)Fig.2 State-trajectory corresponding to Td=0.627

4 結(jié) 語(yǔ)

本文考慮切換線性隨機(jī)系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題,基于多Lyapunov函數(shù)方法結(jié)合強(qiáng)大數(shù)定理這類隨機(jī)過(guò)程極限理論建立了這類系統(tǒng)的幾乎必然指數(shù)穩(wěn)定條件。進(jìn)而,給出了子系統(tǒng)反饋控制設(shè)計(jì)條件,通過(guò)仿真算例驗(yàn)證了方法的有效性。

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