張 嘯

（武漢科技大學(xué) 管理學(xué)院，武漢 430081）

對于當(dāng)今世界主流足球聯(lián)賽的各個俱樂部來說，數(shù)據(jù)分析已經(jīng)成為了非常常見同時也非常重要的一項工作.通過引入數(shù)學(xué)方法和統(tǒng)計學(xué)方法，球隊的數(shù)據(jù)分析人員能夠更加全面地了解足球比賽和球員，并歸納出比賽當(dāng)中的一些不易被人直接觀察得到的結(jié)論.

在足球比賽中，由于點(diǎn)球的特殊性，使其成為最容易引起學(xué)者關(guān)注的研究領(lǐng)域.例如，Chiappori[1]等人通過博弈論方法分析了球員在罰點(diǎn)球時的策略選擇問題；Palacios-Huerta[2]同樣也做過類似的分析.此外，其他一些學(xué)者也嘗試過利用數(shù)學(xué)、統(tǒng)計學(xué)、物理學(xué)以及人類行為學(xué)等各種方法來分析罰點(diǎn)球時球員和守門員的策略以及行為特征.

本文將不把研究重點(diǎn)放在罰點(diǎn)球上，而是將比賽中一般情況下的射門作為考察對象.具體而言，將利用博弈論的方法建立一個數(shù)學(xué)模型，對一般情況下射門球員和守門員所處的狀態(tài)進(jìn)行模擬，并通過對模型的進(jìn)一步分析，得到射門球員和守門員的策略選擇傾向.在得出理論上的結(jié)論后，本文還將利用統(tǒng)計檢驗來驗證這些結(jié)論.

1 建立數(shù)學(xué)模型

1.1 各種參數(shù)及假設(shè)

由于實際比賽中的策略選擇以及行為之間的相互依賴關(guān)系非常復(fù)雜，在建立數(shù)學(xué)模型之前，我們需要對問題所涉及到的射門球員、守門員以及他們所面臨的環(huán)境狀態(tài)做出一些必要的規(guī)范化假設(shè)，這將有利于我們對問題的簡化和分析.而這種簡化并不會影響對問題核心內(nèi)容的考察.

假設(shè)1：假定射門的球員在面臨射門機(jī)會時，所處的位置并非正對球門.

這樣假設(shè)的原因是：可以讓球員面臨兩種區(qū)別更明顯的選擇，要么選擇朝球門近角踢，要么朝球門遠(yuǎn)角踢.如果球員正好在中間位置，則可以預(yù)見到的是，球員在射門時會顯得更隨機(jī)化（在不考慮球員可能存在某些個人射門習(xí)慣的情況下），而守門員也不會去選擇極端的站位（門柱附近）.

因此，在本模型中，射手在射門時面臨的情況就是選擇近角或者遠(yuǎn)角.

假設(shè)2：假定博弈過程是存在先后順序的（雖然這種時間上的先后順序可能并不明顯），首先，對于門將來說，在球員射門前，他們會選擇自己的站位；之后，對射門球員來說，他們會根據(jù)觀察到的門將的站位情況來選擇是射遠(yuǎn)角，還是射近角.

為了將門將的站位進(jìn)行量化分析，我們把球門的長度設(shè)定為1，并令門將與球門遠(yuǎn)角之間的距離為p，p顯然滿足p∈[0，1]，因此，博弈的過程可以表示為圖1.

圖1 守門員和射門球員策略選擇過程

而球員和守門員站位的示意圖如圖2所示.

圖2 守門員和射門球員站位選擇

在圖2中，上方的矩形表示球門，球門中間的虛線是對守門員的抽象，下方的圓形表示球員射門時的位置，從守門員到球門遠(yuǎn)門柱之間的距離設(shè)為p，從足球向兩方延伸的箭頭虛線表示射手可能選擇的兩個射門方向，即近角和遠(yuǎn)角，并且向近角射門的概率為q，向遠(yuǎn)角射門的概率為1-q.

假設(shè)3：射門的結(jié)果是隨機(jī)的，也就是說，即使球完全按照射手的意愿被踢出，最終也不一定能打在射門球員所期望其到達(dá)的球門近角或者球門遠(yuǎn)角的球門范圍之內(nèi).

為了量化這種假設(shè)，我們設(shè)想球員在選擇射近角的時候，足球按照球員期望落在近角球門范圍之內(nèi)的概率為α，且α∈（0，1）；球員在選擇射遠(yuǎn)角的時候，足球按照球員期望落在遠(yuǎn)角球門范圍之內(nèi)的概率為β，且β∈（0，1）.

假設(shè)4：假設(shè)3當(dāng)中的α和β實際上是對射門精確程度的一種測度，為了簡化問題，假設(shè)射門的精確程度與兩個因素有關(guān)，一個是射手的技術(shù)，另一個是射手的射門位置.

為了表示出這兩種影響因素，我們考慮為概率α和β建立兩個函數(shù)表達(dá)式：令α=μhα（δ），β=μhβ（δ），其中，μ代表球員的技術(shù)水平對精度的影響，且我們令μ∈（0，1）；另一方面，hi（δ）代表射門位置對精度的影響，i=α，β，其中，δ是位置變量，并且為了簡單化，我們同樣規(guī)定δ∈（0，1）.可以看出，μ的變化將同等程度地影響到射遠(yuǎn)角和射近角時的射門精度.

假設(shè)5：在不考慮射手自身技術(shù)水平μ的情況下，射近角的精度要大于射遠(yuǎn)角的精度，即對于一切δ∈（0，1），都有hα（δ）＞hβ（δ）.這實際上是在假設(shè)4基礎(chǔ)上的一個引申假設(shè)，這個假設(shè)也是符合現(xiàn)實情況的.

假設(shè)6：球能否踢進(jìn)球門，除了與球能夠按照球員的意愿命中球框范圍之內(nèi)相關(guān)之外，還取決于守門員是否能對來球做出及時準(zhǔn)確的反應(yīng)，以及門將的站位選擇.令守門員的反應(yīng)速度用參數(shù)ζ來表示，且令ζ∈（0，1）；而守門員的站位在前面已定義，用參數(shù)p來刻畫.

假設(shè)7：在不失一般性的情況下，在分析時，我們將會忽略掉那些沒有命中球門范圍內(nèi)的情況，也就是說，我們不會去考慮和區(qū)分那些射高了或者射偏了的射門，而只會考察那些射在球門范圍內(nèi)的情況.

1.2 得益情況分析

根據(jù)前面一節(jié)的假設(shè)和參數(shù)設(shè)定，我們希望可以得到射手的得益情況（注意，由于射門是一個零和游戲，所以這里實際上可以省略掉對守門員得益情況的分析），為此，我們設(shè)想得益情況用“射門精度”、“門將站位”以及“門將反應(yīng)速度”這三個參數(shù)來表示.并且，得益與“射門精度”正相關(guān)，而與“門將站位”以及“門將反應(yīng)速度”負(fù)相關(guān).因此，我們可以得到射門球員在選擇近角或者遠(yuǎn)角并且進(jìn)球時的期望得益：

其中，（1-ζ）表示守門員沒有能夠及時做出反應(yīng).

容易看出，此問題不存在純策略納什均衡.原因在于，守門員在射手選擇時，最好的選擇是p=0，而在射手選擇時，守門員最好的選擇是p=1，所以不存在純策略納什均衡.但是，此問題存在混合策略納什均衡.我們令射手選擇近角的概率為q，選擇遠(yuǎn)角的概率為1-q，則可以得到如表1表示的雙方得益情況.

表1 守門員和射門球員得益情況

其中，逗號前面的式子表示射門球員的期望得益，逗號后面的式子表示守門員的期望得益.注意，此處的矩陣不是得益矩陣，而只是對射門球員和守門員的期望得益情況進(jìn)行了一個表達(dá).實際上，由于在這個博弈中守門員所面臨的選擇p是連續(xù)的，我們無法很好地通過得益矩陣來表示博弈雙方的得益情況.

首先，對于守門員來說，要通過讓p隨機(jī)化，使得射手無論選擇近角或者遠(yuǎn)角，最后的期望得益是無差異的.即守門員所選擇的p需要使得下式成立：

可以解得p的均衡值為：p=α/（β+α）.

其次，對于射手來說，要通過讓射門選擇概率q隨機(jī)化，使得守門員無論選擇任何p，最后的期望得益是無差異的.即射手所選擇的q需要使得下式不會因為p的改變而改變：

為了求得q的均衡值，我們不能將上面求得的p代入，因為這樣無法求出q的均衡值，要求得這個均衡值，我們令p分別取兩個特殊的邊界值0和1，分別代入（4）式使其相等：

可以解得q的均衡值為：q=β/（β+α）.

自此，我們已經(jīng)求出了博弈雙方（守門員，射手）的混合策略（p*，q*），即：

這個混合策略納什均衡是唯一的，也是子博弈完美納什均衡.可以看出，由于p*/q*只與δ有關(guān)，而與μ和ζ無關(guān)，因此，這個混合策略解僅僅取決于位置變量δ，而獨(dú)立于射手的技術(shù)變量μ以及守門員的技術(shù)變量ζ.

結(jié)論1：根據(jù)之前假設(shè)5當(dāng)中的hα（δ）＞hβ（δ），我們也有α＞β，在這個前提下，我們將會發(fā)現(xiàn)，射手更偏愛于選擇射遠(yuǎn)角，而守門員更偏愛于選擇近角的站位.

這個結(jié)論很容易根據(jù)混合策略解得出，我們只需要對p*和q*分別關(guān)于β和α求偏導(dǎo)就可以了.求導(dǎo)之后顯然有：dp*/dα＞0，dp*/dβ＜0，dq*/dα＜0，dq*/dβ＞0.因此，一方面，根據(jù)dp*/dα＞0，dp*/dβ＜0可得，如果射手往近角或者遠(yuǎn)角射門時的射門精度（α和β）越高，則門將也會更傾向于選擇相應(yīng)的偏向近角或者遠(yuǎn)角的站位（根據(jù)p來定義）；另一方面，根據(jù)dq*/dα＜0，dq*/dβ＞0可得，這種情況導(dǎo)致射手更傾向于選擇相反的角度，即α或β越高，反而在混合策略中選擇近角或遠(yuǎn)角的概率會越低.

結(jié)論1實際上也很符合我們平時觀察到的情況，接下來，我們希望從數(shù)據(jù)統(tǒng)計及檢驗的角度來驗證這個結(jié)論.

2 經(jīng)驗數(shù)據(jù)及檢驗

2.1 統(tǒng)計數(shù)據(jù)的來源

這種經(jīng)驗數(shù)據(jù)實際上就是足球比賽當(dāng)中的射門得分?jǐn)?shù)據(jù)，由于這種數(shù)據(jù)統(tǒng)計涉及到的數(shù)據(jù)量很大，要統(tǒng)計出一個賽季甚至幾個賽季的某個聯(lián)盟甚至全世界所有的足球比賽的射門數(shù)據(jù)很困難，因此，筆者在本文中將數(shù)據(jù)樣本限定在2010-2011賽季英格蘭超級聯(lián)賽的全部進(jìn)球.這樣選擇是因為英超是上個賽季歐洲五大聯(lián)賽中進(jìn)球數(shù)最多的，選擇英超能夠盡量增大我們的數(shù)據(jù)容量，使結(jié)果更可靠.

值得注意的是，由于我們的理論結(jié)果并不要求出現(xiàn)非常精細(xì)的數(shù)字結(jié)論，因此，我們只需要比較近角進(jìn)球所占比例和遠(yuǎn)角進(jìn)球所占比例這兩個數(shù)字的相對大小就可以了.為此，我們令近角進(jìn)球和遠(yuǎn)角進(jìn)球的期望概率分別如下：

推論1：根據(jù)結(jié)論1，在納什均衡時，我們應(yīng)該能夠觀察到mβ＞mα，即遠(yuǎn)角的進(jìn)球應(yīng)該多于近角的進(jìn)球.

在說明統(tǒng)計結(jié)果之前，先將進(jìn)球的分類進(jìn)行說明.在統(tǒng)計過程中，筆者將進(jìn)球分為了如下幾種：1）近角進(jìn)球；2）遠(yuǎn)角進(jìn)球；3）頭球；4）任意球直接進(jìn)球（包括角球）；5）烏龍；6）點(diǎn)球（在正中間，不存在近角遠(yuǎn)角的問題）；7）其他，例如折射等等.

之所以這樣分類，是因為我們所要討論的問題涉及到近角和遠(yuǎn)角的選擇問題，并且，我們假定守門員和球員都具有一定的思考時間來進(jìn)行抉擇（雖然這個時間非常短）.在這種前提下，我們需要人為地排除掉一些與此不相符合的情況，例如，折射進(jìn)球的角度并非射門球員原本的設(shè)想；點(diǎn)球是在正中間位置踢，不存在近角和遠(yuǎn)角問題；門前搶點(diǎn)時，守門員和射門球員都沒有足夠的時間去考慮站位和角度的問題等等.

根據(jù)以上分類原則，通過一些視頻資料來對數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計，最后得到的結(jié)果大致為：2010-2011賽季英超一共打進(jìn)1063球，其中，近角進(jìn)球共有117個，遠(yuǎn)角進(jìn)球共有242個，另外，還有372個定位球，81個點(diǎn)球，36個烏龍以及其他進(jìn)球.

詳細(xì)的近角進(jìn)球數(shù)和遠(yuǎn)角進(jìn)球數(shù)統(tǒng)計結(jié)果如表2所示.

表2 2010-2011賽季英超進(jìn)球類型分布

2.2 統(tǒng)計檢驗

從統(tǒng)計數(shù)據(jù)可以看出，遠(yuǎn)角進(jìn)球的數(shù)量大約為近角進(jìn)球數(shù)量的兩倍，這首先為我們的結(jié)論1提供了一種直觀的證據(jù)支持.

為了從統(tǒng)計檢驗的角度來考察，我們需要設(shè)定一個統(tǒng)計變量.為此，我們令隨機(jī)變量xα代表近角進(jìn)球的數(shù)量，xβ代表遠(yuǎn)角進(jìn)球的數(shù)量，令近角進(jìn)球的概率為ρ，則隨機(jī)變量xα在α次試驗中應(yīng)該服從二項分布.又因為我們的總進(jìn)球數(shù)為359，是一個比較大的量，所以我們可以用正態(tài)分布來近似地表達(dá)這個二項分布.我們對ρ作如下假設(shè)：

這是一個典型的單尾檢驗形式的假設(shè)，并且，我們需要計算如下的Z值：

將數(shù)據(jù) xα=117，xβ=242，ρ=1/2代入上式可得 Z=6.597.查表可得，相應(yīng)的 P值約等于 3.38×10-11，這也就意味著H0很容易就能被拒絕，同時，這也意味著近角進(jìn)球數(shù)所占比例顯著地小于1/2.這個統(tǒng)計檢驗結(jié)果在一定程度上證明了近角進(jìn)球數(shù)和遠(yuǎn)角進(jìn)球數(shù)是服從我們所得到的納什均衡模型的.

當(dāng)然，以上的檢驗是對整體進(jìn)行考察的，我們還可以更進(jìn)一步地來驗證每一輪比賽的進(jìn)球數(shù)量分布是否也服從我們的模型.為此，我們令η=117/359，并且令yαi以及yβi分別代表每一輪比賽中近角進(jìn)球數(shù)和遠(yuǎn)角進(jìn)球數(shù)，其中i=1，2，3，……，38，則以下這個變量D將服從一個卡方分布：

從表2中的數(shù)據(jù)可以算出D=32.67992.同時，利用統(tǒng)計軟件，我們可以得到相應(yīng)的P值約為0.67177，這也就意味著，“每輪比賽的近角進(jìn)球和遠(yuǎn)角進(jìn)球分布情況都服從同一個納什均衡解”這個結(jié)論將會很難被拒絕，或者我們可以認(rèn)為，每輪比賽的近角進(jìn)球和遠(yuǎn)角進(jìn)球的分布情況都是服從同一個納什均衡解的.因此，不僅在整體上我們驗證了統(tǒng)計數(shù)據(jù)是服從納什均衡解的，并且在局部，我們也驗證了同樣的結(jié)論.

3 結(jié) 論

在本文中，我們用數(shù)學(xué)模型模擬了足球比賽中球員在射門時和門將之間的博弈關(guān)系.模型的納什均衡解顯示出射手更偏愛于選擇遠(yuǎn)角，而守門員更偏愛于選擇近角的站位；與此同時，遠(yuǎn)角進(jìn)球數(shù)會顯著地多于近角進(jìn)球數(shù).之后，通過統(tǒng)計檢驗，這個理論模型的結(jié)論得到了很好的驗證.

值得注意的是，本文尚存在一些問題，例如，數(shù)學(xué)建模本身存在著大量的抽象和假設(shè)，現(xiàn)實并沒有模型所表示的這么簡單；統(tǒng)計數(shù)據(jù)和統(tǒng)計檢驗并不是完善的；另外，最重要的是，球員畢竟是人，他們都具有自身習(xí)慣以及其他統(tǒng)計數(shù)據(jù)無法表現(xiàn)出的特征.因此，在考慮更多因素的情況下，可以對本文的模型進(jìn)行更加深入和廣泛的拓展.

[1]Walker M，Wooders J.Minimax play at Wimbledon[J].American Economic Review，2001，91（5）：1521-1538.

[2]Palacios Huerta I.Professionals play minimax[J].Review of Economic Studies，2003，70（2）：395-415.