王利公

方向

大約在100萬年前（也可能在兩三百萬年前），地球上出現(xiàn)了最早的人類。那時候沒有城鎮(zhèn)和村莊，人們過著群居穴處的生活：晚上，他們擠在深深的洞窟里，藏在茂密的林木中；白天，成群結(jié)隊地到處尋找可以獵取的鳥獸，采集能夠充饑的漿果、根莖和谷粒。這種生活是毫無保障的，常常是饑一頓、飽一頓。

狩獵和采集的生活，更需要識別方向和區(qū)分季節(jié)的知識。有了區(qū)分季節(jié)的知識，就可以知道遠處樹林里的果實什么時候成熟；有了識別方向的知識，就能夠確定怎么去又怎么回來。這些知識，是在漫長的年代里，不斷積累和豐富起來的。

在一個熟悉的地區(qū)漫游生活，山脈、湖泊、河流就能當作指示方向的路標?？墒?，原始人很難在一個地方長期定居。樹林里的漿果和塊莖，過一段時間就被吃光了。飛禽和走獸為了躲避人們的襲擊，也逃到別的地方去了。特別是干旱的時候，人們不得不趕快離開熟悉的地方，去尋找新的水源。在完全陌生的環(huán)境里，指示方向的只有日月和星辰了。

太陽是最方便的路標。海邊部落的人們發(fā)現(xiàn)：太陽每天早上從波濤中升起，晚上落到山崗的后面去。他們就記?。撼跎募t日指示著大海的方向；正在下落的夕陽指示著山崗的方向。

晚上，用星辰來確定方向很可靠。我們不妨想象一下那時候的情景：夜幕降臨，人們在洞口或者土室、窩棚前點起一堆堆篝火，大家圍坐在篝火旁邊。他們抬頭凝視那神奇的天空——繁星點點，深不可測。經(jīng)過了不知多少個夜晚的觀察，他們發(fā)現(xiàn)：一些星群組成的簡單形狀，每天晚上都能辨認出來，而且總是在天空的一定位置上，沿著一定的方向，緩慢地移動著。

在北邊的天空上，有一組最引人注目的星群，這就是我們現(xiàn)在說的北斗七星。北斗七星屬于大熊星座，把這個星座比較亮的星連起來看，有點像一只大熊。斗頭上的4顆像是大熊身體的后部，斗柄的3顆像是大熊的尾巴。

離北斗七星不太遠的地方，還有一顆相當亮的星，那就是有名的北極星。它年年月月，總是出現(xiàn)在一定的地方，幾百年也很少變化，好像釘在那里不動似的。天長日久，我們的祖先就懂得了北極星是一個非常理想的路標！他們在長途跋涉中需要確定方向的時候，就等到夜幕降臨，在繁星閃爍的天空，先找到北斗星，把斗頂兩顆連成一條直線，再朝著斗口的方向，把這條直線延長五倍的位置，在那個位置上就看到一顆比較亮的星，這就是北極星。找到了北極星，其他的方向就很容易確定了。

時間

日月星辰不只是人類最早的路標，還是人類最早的時鐘。生活在熱帶北部的原始狩獵者，早晨總是看到在陽光下東西的影子長長地向西指著；中午太陽升到最高點的時候，影子就很短，甚至看不到了；當太陽向西下落的時候，影子又長了，并且不斷地向東面伸長。這樣，由影子的長短變化，他們就能夠大概估量出白天的時間了。

夜晚，他們發(fā)現(xiàn)圓月在空中最高點的時候，恰好是半夜。經(jīng)過長久的觀察，他們還可以根據(jù)一些星群的位置變化，判斷夜間的時間。

要知道比一天更長的時間，想來我們的祖先一定是依靠月亮。一夜接一夜，他們看到月亮慢慢地由圓到缺，最后完全看不見了。過了幾個漆黑的夜晚，月牙又重新出現(xiàn)，并且慢慢地又變成圓月。

當圓月升起的時候，一個部落來到一片樹林邊。林子的枝頭上掛滿了果實，可是還沒有成熟。部落中有經(jīng)驗的長者說話了：現(xiàn)在別摘這些果子，等下次月亮再圓的時候咱們回來，這些果子就能吃啦！于是，大家又趕到更遠的地方去尋找食物。他們必須按時回來摘取成熟的果實，這就需要計算天數(shù)了。

對原始采集者來說，數(shù)天數(shù)是一個大難題?？刹皇锹?！時間一去不復(fù)返，數(shù)天數(shù)不能像數(shù)死鹿那樣，把它們擺成一排，扳起指頭去數(shù)。開始，他們很可能是在樹上或者在棍棒和石頭上刻上一道痕，表示過去了1天，刻上兩道痕，表示過去了2天。久而久之，他們發(fā)現(xiàn)，兩次滿月之間總是相隔30天，并且用一道大點兒的刻痕來表示一次滿月。

月復(fù)一月，年復(fù)一年，他們逐漸察覺到滿月的次數(shù)和氣候的變化有關(guān)系。他們驚奇地發(fā)現(xiàn)：春、夏、秋、冬四季往復(fù)一次，恰好是12次滿月的天數(shù)——360天。于是第一個包括四季的月歷產(chǎn)生了。我們的祖先，就是這樣開始有了數(shù)數(shù)和觀察圖形的數(shù)學(xué)知識。

計數(shù)

原始人類在長期的勞動中不斷摸索，慢慢地產(chǎn)生了“數(shù)”的思想。他們找到了食物，會想到這是“有”；找不到食物，就會想到“無”。要是找到大量的食物，他們認為是“多”；得到的食物不夠吃，他們認為這是“少”。有、無和多、少，是我們祖先最早概括出來的“數(shù)”的思想。在他們的財物中，除了御寒的獸皮、狩獵的武器、盛水的東西，也許還有熊牙或貝殼做的項鏈。他們的生活這么簡單，當然不需要更多的數(shù)學(xué)知識，就是那種簡單的手指計數(shù)，也用得很少。

直到2.5萬年前，人們說“用你的槍頭換我的鹿”的時候，還只能用1個指頭表示1只鹿，3個指頭表示3個槍頭。這種1個指頭表示1件東西、3個指頭表示3件東西的原始計數(shù)法，就是他們掌握的全部算術(shù)知識了。在那以后的幾千年里，他們一直把任何大于3的數(shù)量理解為“一群”，或者“一堆”。

1萬多年前，隨著經(jīng)驗的豐富、知識的增長和工具的改進，人類逐漸開創(chuàng)了嶄新的生活，學(xué)會了種植和飼養(yǎng)。在回到過去居住過的地方的時候，我們的祖先常常發(fā)現(xiàn)，上次被他們無意撒落的谷粒，現(xiàn)在已經(jīng)發(fā)芽生長；被遺棄的小動物也長大了。慢慢地，他們學(xué)會了種植植物，飼養(yǎng)動物。從此，他們不再四處漂泊，靠采摘野菜和漿果生活，而是播種和收獲自己的大麥、小麥和谷子，還有豌豆、扁豆和胡蘿卜。在忠實的伙伴——狗的幫助下，他們馴養(yǎng)羊、豬和牛。原始的采集者和狩獵者，開始變成了農(nóng)民和牧民！

定居生活以后，人們的財物越來越多，這就需要經(jīng)常記錄和計算耕具、土地、籬笆、莊稼和畜群了。最早的記錄方法，就是前面說到的，用一個記號表示一件東西，兩個記號表示兩件東西，叫做“簽法”。在秘魯，印加人用在繩子上打結(jié)來記下收獲谷物的捆數(shù)。在我國，也有結(jié)繩記數(shù)的古老傳說。直到今天，在歐洲、亞洲和非洲的部分地區(qū)，還有一些牧羊人用在棍子上刻痕的辦法，來計算自己的羊群！

從事農(nóng)牧業(yè)以后，人們必須準確地預(yù)計生羔、產(chǎn)犢和播種、收獲的時間。先前的簡陋月歷，顯然是不夠用了。要是用360天的月歷來推算季節(jié)，頭一年差5天，第二年就會差10天，年數(shù)多了，就亂套了。這樣，編制精確的日歷，就成為一件非常重要的事情。

記錄財物和編制日歷，促使人們發(fā)展書寫的數(shù)字。

我們今天知道的最早的書寫數(shù)字，產(chǎn)生在5 000年前的埃及和美索不達米亞。埃及人是把數(shù)字寫在一種紙草上，美索不達米亞的巴比倫人是把數(shù)字寫在軟粘土上，他們都是用單劃表示個位數(shù)，用不同的記號表示十位數(shù)和更高位的數(shù)。3 000年后，羅馬人照樣采用單劃組成1到4的數(shù)字，并且至今還有人在用哩！

在我國殷代的甲骨文字中，就有很多是數(shù)字。殷代人已經(jīng)能用成文數(shù)字記錄十萬以內(nèi)的自然數(shù)。在他們的數(shù)字中，頭四個字，即一、二、三、四，也是由單劃組成的。上圖是殷甲骨文、周秦金文、漢朝時用的數(shù)字和現(xiàn)代漢語中的數(shù)字，我們從中可以看出它們之間的演變情況。

在早期的數(shù)字系統(tǒng)中，最引起人們興趣的，是美洲中部瑪雅人的數(shù)字?，斞湃伺c歐洲、亞洲和非洲的文化完全隔絕。他們只用3個符號——點、橫和橢圓，就可以寫出任何自然數(shù)。用點和橫可以從1寫到19；在任何數(shù)下面加上1個橢圓，就是那個數(shù)放大20倍。但是，在計算時間的時候，他們調(diào)整了記數(shù)規(guī)則：加第2個橢圓的時候，表示乘上18，而不是20?，斞湃怂宰龀鲞@樣一條規(guī)定，大概是原始狩獵者的月歷是360天的緣故。

那時候，瑪雅人也使用365天的太陽歷，1年被分成18個月，每個月20天，另外加上5天作為禁忌日。他們通常在石柱上刻出人面形的獨特數(shù)碼記錄日期。