李成剛 尤晶晶 吳洪濤

南京航空航天大學(xué)，南京，210016

0 引言

在微小型設(shè)備中，對實現(xiàn)小范圍內(nèi)偏轉(zhuǎn)的支承，不僅要求分辨率高，而且要求尺寸微型化。彈性鉸鏈符合上述要求，其中部較為薄弱，在彎矩的作用下可以產(chǎn)生彈性角變形，彎矩去除后又能恢復(fù)到原形。與傳統(tǒng)鉸鏈相比，彈性鉸鏈具有體積小、無機械摩擦、無間隙、無回退空程等優(yōu)點［1］。1965年，Paros等［2］首次給出了圓弧形彈性鉸鏈的簡化計算公式?；诓煌倪\動精度和運動范圍，目前國內(nèi)外研究的彈性鉸鏈幾何轉(zhuǎn)角結(jié)構(gòu)除圓弧形外還有直梁形［3］、橢圓形［4］、拋物線形［5］、雙曲線形［6］等。

目前，彈性鉸鏈的研究方法普遍采用數(shù)值積分法和有限元方法，研究對象主要集中在單軸和雙軸轉(zhuǎn)動［7－8］。由于橫截面慣性矩、極慣性矩等幾何量的不同，單軸或雙軸彈性鉸鏈的理論推導(dǎo)結(jié)論對三軸彈性鉸鏈一般不適用；而球鉸鏈在科學(xué)研究以及工業(yè)生產(chǎn)中被使用的頻率相當高。本文系統(tǒng)地對橢圓形彈性球鉸鏈的柔度、精度以及疲勞強度進行理論推導(dǎo)和分析，旨在為彈性球鉸鏈材料的選擇以及結(jié)構(gòu)參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計等提供理論依據(jù)。

1 柔度計算

柔度是評價彈性鉸鏈最重要的性能參數(shù)之一，在保證強度的前提下，通常希望鉸鏈具有大的柔度以確保較少的能量損耗。橢圓形彈性球鉸鏈的模型如圖1所示，其任一軸切面如圖2所示。其中，a、b分別為橢圓的長短半軸長；e為彈性鉸鏈中柔性部分長度的一半；t為彈性鉸鏈中厚度的最小值；θm為鉸鏈中橢圓廣角的一半；O點、B點所在的橫截面分別是鉸鏈柔性部分的起始面和終止面，將它們分別看作為固定端和自由端；球鉸鏈的轉(zhuǎn)動中心A點所在的橫截面是鉸鏈上柔性部分的最薄處。

圖1 橢圓形彈性球鉸鏈

圖2 橢圓形彈性球鉸鏈軸切面

設(shè)鉸鏈的軸線為X軸，原點選在O點。過鉸鏈上任意點P的橫截面的直徑h（φ）以及面積A（φ）、慣性矩I（φ）、極慣性矩IP（φ）可以分別表示為

在彈性球鉸鏈的自由端作用彎矩M時，鉸鏈會發(fā)生彎曲變形，表現(xiàn)為橫截面繞其中性軸轉(zhuǎn)動；作用扭矩T時，鉸鏈會發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形，表現(xiàn)為各橫截面之間繞鉸鏈軸線相對轉(zhuǎn)動了一個角度。為了定量地考察彈性球鉸鏈的柔度特性，定義A、B兩個橫截面在單位彎矩下的轉(zhuǎn)角差θAB表征彎曲柔度，截面B在單位扭矩下的轉(zhuǎn)角φB表征扭轉(zhuǎn)柔度。

應(yīng)用卡氏第二定理，可以分別計算在彎矩M的作用下A、B截面繞其中性軸轉(zhuǎn)動的角位移θA和θB：

式中，E為鉸鏈材料的彈性模量；MA為在A截面虛加的彎矩。

根據(jù)定義，計算彈性球鉸鏈的彎曲柔度：

應(yīng)用卡氏第二定理，求解在扭矩T作用下截面B相對于固定端的扭轉(zhuǎn)角：

式中，G為鉸鏈材料的切變模量。

計算彈性球鉸鏈的扭轉(zhuǎn)柔度：

2 精度計算

由于彈性鉸鏈是通過彈性變形來實現(xiàn)鉸鏈運動的，施加在鉸鏈上的廣義力會導(dǎo)致鉸鏈中心點偏離其幾何中心，進而影響彈性鉸鏈的精度。當在鉸鏈的自由端作用彎矩M時，中心點A會產(chǎn)生一個撓度ωA，定義單位彎矩下的撓度為彎曲精度；當在鉸鏈的自由端作用拉力F時，中心點A會偏移一段距離ΔA，定義單位拉力下的偏移為拉伸精度。

應(yīng)用卡氏第二定理，計算在彎矩M作用下A點撓度：

計算彈性球鉸鏈的彎曲精度：

在拉力F作用下，計算A點偏移量：

3 柔度精度比

由式（7）、式（9）、式（11）、式（13）可以看出：彈性球鉸鏈的柔度和精度往往是矛盾的，很難同時保證兩個指標都高。例如，橢圓的長短半軸之比越大，則鉸鏈的柔度越大，但精度會越低。為了兼顧柔度和精度，本文提出一個全新的概念：將彈性球鉸鏈的柔度精度比作為評價彈性球鉸鏈性能的綜合指標，并記作V。定義

顯然，V值越大，表征彈性球鉸鏈的綜合性能越好。將式（7）、式（9）、式（11）、式（13）代入式（14），得到彈性球鉸鏈柔度精度比的解析表達式：

借助于Mat hematica軟件強大的符號運算以及繪圖功能，繪制二元函數(shù)J（ε，θm）的曲面圖，如圖3所示，其中，ε、J（ε，θm）均是量綱一參量。

在保證強度的前提下，根據(jù)式（15）和圖3可以分析得到，橢圓形彈性球鉸鏈的材料特性以及結(jié)構(gòu)參數(shù)與其綜合性能滿足如下關(guān)系：

（1）材料的彈性模量越大、切變模量越小，則彈性球鉸鏈的綜合性能越好。

（2）橢圓長短半軸之比越小，則鉸鏈的綜合性能越好，即圓弧形彈性球鉸鏈的綜合性能比橢圓形的綜合性能好。

（3）鉸鏈最小厚度與橢圓短半軸之比越大，則其綜合性能越差；但當此比例大于0．8時，最小厚度對球鉸鏈性能的影響不再明顯。

（4）鉸鏈的廣角越大，則其綜合性能越差；但當廣角大于2．5rad（即θm＞1．25rad）時，其對球鉸鏈性能的影響不再明顯。

（5）彈性球鉸鏈的幾何尺寸越小，則其綜合性能越好。

圖3 二元函數(shù)J（ε，θm）的曲面圖

4 疲勞強度校驗

上文通過理論推導(dǎo)，在滿足強度的前提下，得到了關(guān)于橢圓形彈性球鉸鏈優(yōu)化設(shè)計的5個結(jié)論。然而，彈性球鉸鏈通常工作于交變應(yīng)力環(huán)境下，為了使其不發(fā)生疲勞破壞，有必要推導(dǎo)出鉸鏈疲勞強度的校驗公式。顯然，鉸鏈的危險截面是厚度最小的橫截面A。在自由端同時作用彎矩M、拉力F和扭矩T時，危險截面上距離中性軸最遠處的應(yīng)力值最大，其最大正應(yīng)力σmax和最大切應(yīng)力τmax分別為

根據(jù)第三強度理論以及疲勞強度的經(jīng)驗公式［9］，可以推導(dǎo)出在同步的拉彎扭組合對稱循環(huán)交變應(yīng)力作用下彈性球鉸的疲勞強度校驗公式：

式中，nστ、nσ、nτ分別為彈 性 鉸 鏈在組合 交 變 應(yīng)力、正應(yīng)力、切應(yīng)力下的工作安全系數(shù)；n為人為規(guī)定的彈性鉸鏈工作安全系數(shù)；σ－1、τ－1分別為正應(yīng)力和切應(yīng)力的疲勞極限；kσ、kτ分別為應(yīng)力集中對正應(yīng)力和切應(yīng)力的影響系數(shù)；εσ、ετ分別為彈性鉸鏈的幾何尺寸對正應(yīng)力和切應(yīng)力的影響系數(shù)，β為材料表面加工的影響系數(shù)。

由式（16）～式（18），可以計算得到彈性球鉸鏈疲勞強度的校驗公式：

施加在彈性球鉸鏈自由端的廣義力、鉸鏈的材料特性、最小厚度以及加工工藝等滿足不等式（19）時，鉸鏈才能夠經(jīng)受至少107次交變載荷的作用而不產(chǎn)生斷裂現(xiàn)象?？梢姡谠O(shè)計彈性球鉸鏈時不能只是一味地追求柔度、精度等性能，而不考慮其疲勞強度。

5 應(yīng)用實例

為了使彈性球鉸鏈具有良好的轉(zhuǎn)動性能，依據(jù)第3節(jié)最后所得到的第一個結(jié)論，設(shè)計時應(yīng)選用彈性模量大而切變模量小的材料。在產(chǎn)品的設(shè)計階段，除了材料的選擇之外，設(shè)計人員還面臨一個合理確定各尺寸參數(shù)的難題。例如，在設(shè)計橢圓形彈性球鉸鏈時，有幾組尺寸參數(shù)可供選擇，表1列出了其中的4組選擇方案。

表1 橢圓形彈性球鉸鏈尺寸參數(shù)的選擇方案

依據(jù)第3節(jié)最后所得到的后4個結(jié)論，可以對表1中的4組方案做出優(yōu)劣判斷，其中，方案4的彈性球鉸鏈的轉(zhuǎn)動性能最優(yōu)。確定尺寸參數(shù)之后，再根據(jù)鉸鏈的材料特性、表面加工處理工藝、作用在鉸鏈上的載荷以及不等式（19）對彈性球鉸鏈的疲勞強度進行校驗。如果不等式成立，則該方案滿足設(shè)計要求；否則，應(yīng)增大最小厚度t，直到不等式（19）成立為止。這樣，設(shè)計出來的橢圓形彈性球鉸鏈一定是最優(yōu)的。

6 結(jié)束語

本文系統(tǒng)地研究了橢圓形彈性球鉸鏈的轉(zhuǎn)動能力和轉(zhuǎn)動精度，以力學(xué)卡氏第二定理為理論基礎(chǔ)，通過引入中間變量，并將橢圓的離心角作為積分變量，推導(dǎo)出彈性球鉸鏈彎曲柔度、扭轉(zhuǎn)柔度、彎曲精度以及拉伸精度的解析表達式。提出彈性球鉸鏈柔度精度比的概念，給出了其定義表達式，并以此作為評價彈性鉸鏈綜合性能的指標；通過計算得到了在滿足強度的前提下提高該指標的措施，即鉸鏈應(yīng)選用彈性模量大、切變模量小的材料；橢圓廣角、橢圓長短半軸之比以及鉸鏈最小厚度與橢圓短半軸之比都應(yīng)盡可能小。推導(dǎo)了彈性球鉸鏈疲勞強度的校驗公式，用于檢驗設(shè)計出的鉸鏈能否滿足工作需求。最后，通過一個應(yīng)用實例介紹了彈性球鉸鏈的詳細設(shè)計過程。

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