一類雙復(fù)合風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率的初步研究

喬克林，李 萍，侯致武

（延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000）

一類雙復(fù)合風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率的初步研究

喬克林，李 萍，侯致武

（延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000）

考慮對(duì)保單到達(dá)過程進(jìn)行 P－稀疏來描述理賠到達(dá)的雙復(fù)合 Poisson過程，并用比例再保險(xiǎn)的方式降低保險(xiǎn)公司的風(fēng)險(xiǎn)，加入不確定因素對(duì)建立的模型進(jìn)行隨機(jī)干擾，得到了該模型破產(chǎn)概率的一般表達(dá)式及破產(chǎn)概率的一個(gè)上界估計(jì)，通過構(gòu)造鞅的方法，得到了模型的 Lundberg方程，并證明了調(diào)節(jié)系數(shù)的存在性。

稀疏過程；再保險(xiǎn)；破產(chǎn)概率；雙復(fù)合風(fēng)險(xiǎn)模型；干擾項(xiàng)；

在經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型的假設(shè)條件中，保費(fèi)到達(dá)過程與理賠到達(dá)過程是相互獨(dú)立的，實(shí)際問題中，隨著人們保險(xiǎn)意識(shí)及市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)不斷的發(fā)展，保險(xiǎn)公司受到了來自社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、軍事等各方面的影響，其經(jīng)營(yíng)的風(fēng)險(xiǎn)模型也越來越復(fù)雜，對(duì)于相互獨(dú)立條件的改進(jìn)，我們考慮保費(fèi)到達(dá)過程與理賠到達(dá)過程之間的數(shù)字特征的相互關(guān)聯(lián)性，如期望的相依性、比例關(guān)系更符合市場(chǎng)的實(shí)際情況。文獻(xiàn)［1］中，采用 Poisson過程來描述保單到達(dá)過程，是對(duì)經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型的一種更加實(shí)用性的改進(jìn)，但是它仍考慮保費(fèi)與理賠的相互獨(dú)立性，未考慮到保費(fèi)與理賠之間數(shù)字特征的相關(guān)性對(duì)保險(xiǎn)公司實(shí)際運(yùn)營(yíng)的影響。文獻(xiàn)［2－4］考慮了理賠到達(dá)過程是保費(fèi)到達(dá)過程的 P－稀疏過程，對(duì)經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型的一大發(fā)展，但未考慮再保險(xiǎn)因素對(duì)保險(xiǎn)公司生存概率的影響。文獻(xiàn)［5］僅考慮了再保險(xiǎn)對(duì)保險(xiǎn)公司的影響，所建立的模型中保費(fèi)收取是簡(jiǎn)單的線性增長(zhǎng)，簡(jiǎn)化了實(shí)際中的保費(fèi)收取過程，在實(shí)際應(yīng)用中有一定的局限性。本文是在以上文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，考慮保費(fèi)到達(dá)過程和理賠到達(dá)過程均為復(fù)合 Poisson過程，且理賠到達(dá)過程是對(duì)保費(fèi)到達(dá)過程進(jìn)行隨機(jī) P－稀疏來描述的，同時(shí)考慮再保險(xiǎn)因素對(duì)風(fēng)險(xiǎn)模型生存概率的影響，并且在模型中加入隨機(jī)干擾項(xiàng)，以此體現(xiàn)實(shí)際中保險(xiǎn)公司受到的除保費(fèi)與理賠之外的其它不確定因素的影響。使建立的風(fēng)險(xiǎn)模型更加具有實(shí)際意義，本文對(duì)該模型的破產(chǎn)概率及上界估計(jì)等一些初步的風(fēng)險(xiǎn)精算指標(biāo)進(jìn)行了研究。

1 模型建立

定義1.1 設(shè)（Ω，F(xiàn)，P）是一個(gè)完備的概率空間，本文中的所有隨機(jī)變量都定義在這一空間上，對(duì)u≥0，t≥0，定義保險(xiǎn)公司在 t時(shí)刻的盈余為

其中，u是保險(xiǎn)公司初始資金；q（0＜q＜1）為保險(xiǎn)公司的比例再保險(xiǎn)水平，則再保險(xiǎn)公司賠付的理賠額為X（1－P）；｛N（t），t≥0｝為保單到達(dá)過程，即保險(xiǎn)公司在時(shí)間［0，t］內(nèi)到達(dá)的保單數(shù)；｛Np（t），t≥0｝為理賠到達(dá)過程，即保險(xiǎn)公司在時(shí)間［0，t］內(nèi)的總理賠次數(shù)；Xk為第 k次的理賠額，Yk為第 k張保單的保費(fèi)收入。｛W（t），t≥0｝是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，表示保險(xiǎn)公司除保費(fèi)和理賠之外的不確定收入和支出。

我們對(duì)上述模型假設(shè)如下：

（1）｛Xk，k≥1｝，｛Yk，k≥1｝是取值于［0，∞）上的非負(fù)獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，其分布函數(shù)分別是F（x），G（y）。均值分別為 μx，μy。方差分別為

（2）｛N（t），t≥0｝是參數(shù)為λ的 Poisson過程，理賠到達(dá)過程｛Np（t），t≥0｝是保單到達(dá)過程｛N（t），t≥0｝的p－稀疏過程，即｛Np（t），t≥0｝是參數(shù)為 λp（0＜p＜1）的 Poisson過程。

（3）｛Xk，k≥1｝，｛Yk，k≥1｝，｛N（t），t≥0｝，｛Np（t），t≥0｝，及｛W（t），t≥0｝相互獨(dú)立。

為了確保保險(xiǎn)公司能夠穩(wěn)定經(jīng)營(yíng)，需要假設(shè) E［S（t）］＞0，即

此外，易證盈利過程｛S（t），t≥0｝是一平穩(wěn)獨(dú)立增量過程。

定義1.2 保險(xiǎn)公司盈余首次為負(fù)值時(shí)刻，定義為破產(chǎn)時(shí)刻，記為 T，則

T＝inf｛t≥0，U（t）＜0，U（0）＝u｝.對(duì) T＝∞時(shí)，則對(duì)?t＞0，有 U（t）＞0，即保險(xiǎn)公司不會(huì)發(fā)生破產(chǎn)，定義最 終破產(chǎn) 概率 為 ψ（u）＝pro｛T＜∞，則生存概率為 Φ（u）＝1－ψ（u）.定義保險(xiǎn)公司在時(shí)間 t之前發(fā)生破產(chǎn)的概率為 ψ（u，t），在時(shí)間t之前的生存概率為Φ（u，t）＝1－ψ（u，t）。

記保費(fèi)額隨機(jī)變量 Yk的 Laplace變換為

記理賠額隨機(jī)變量 Xk的矩母函數(shù)為

假設(shè) LY（r）＜∞，并存在 r*＞0（r*可以為∞），使得當(dāng) r→r*時(shí)，有 MX（r）→∞，即?r*使得

定義1.3 對(duì)于盈利過程｛S（t），t≥0｝，定義事件流Fs＝｛，t≥0｝，其中

2 幾個(gè)引理

引理2.1 對(duì)于盈利過程｛S（t），t≥0｝，存在函數(shù) g（r），使得 E［e－rS（t）］＝etg（r）

證明

MX（r）為保費(fèi)的矩母函數(shù)，LY（r）為理賠的 Laplace變換，令

即 有 E［e－rS（t）］＝etg（r）。證 畢 。

引理2.2 方程g（r）＝0在其定義域內(nèi)有唯一正解R，稱R為調(diào)節(jié)系數(shù)。

所以 g′（0）＝－λq（μy－pμx）＜0，又因?yàn)?/p>

所以 g（r）在（0，r*）內(nèi)是凸函數(shù)，故方程g（r）＝0在（0，r*）內(nèi)至多有兩個(gè)解，r＝0是平凡解，又因?yàn)楫?dāng) r→r*時(shí)有 g（r）→∞，所以方程g（r）＝0在其定義域內(nèi)有且只有一個(gè)正解，記為 R，稱其為調(diào)節(jié)系數(shù)。證畢。

證明 對(duì)?v≤t，由引理2.1知

所以｛Mu（t），t≥0｝是 FS下的鞅。證畢。

3 破產(chǎn)概率

定理3.1 風(fēng)險(xiǎn)模型的最終破產(chǎn)概率滿足 Lundberg不等式

證明 因?yàn)?T是 Fs停時(shí)，選 t0＞0，則T∧t0是Fs的停時(shí)，由引理 2.3得

因?yàn)楫?dāng)T＜∞時(shí)，有 u＋S（T）≤0，所以 e－r（u＋S（T））≥1，所以由

令 t0→∞，有，取｛r：g（r）≤0｝，證畢。

定理3.2 對(duì)任意的 u≥0，r＞0有

其中 R為調(diào)節(jié)系數(shù)。

證明 因?yàn)?T是 Fs的停時(shí)，對(duì)?t0＜∞。由有界停時(shí)定理知，T∧t0是 Fs停時(shí)。?u≥0，r＞0有

（2）式右端第一項(xiàng)記為 I1，第二項(xiàng)記為I2。由于

故（2）式左端 E［e－rU（t）］＝E［exp｛－

選 r＝R，則上式可化簡(jiǎn)為 E［e－rU（t）］＝e－Ru。在I1中，U（t）可以寫成

給定 t，當(dāng) T＜t時(shí) W（T）］和U（T）是相互獨(dú)立的，且是服從參數(shù)為 λ（t－T）的復(fù)合泊松過程，是服從參數(shù)為 λp（t－T）的復(fù)合泊松過程，是的稀疏過程。所以

選 r＝R，則有 I1＝E［e－RU（T）｜T＜t］pro｛T＜t｝

于是 （2）式化簡(jiǎn)為

令 t→∞，（3）式右端第一項(xiàng)為 E［e－RU（T）｜T＜∞］ψ（u）。下面證明（3）式右端第二項(xiàng)當(dāng) t→∞時(shí)趨于0。

因?yàn)镋［U（t）］＝E［u＋S（t）］＝u＋E［S（t）］＝u＋λtq（μy－pμx）

令 α＝λq（μy－pμx）＞0，β2＝λq2［（μy2＋σy

2）＋p（μx2＋σx2）］＋1。

q（t）＝u＋αt－βt2／3，因 α＞0，在t充分大的時(shí)候，q（t）＞0。因此

由契比雪夫不等式：

故當(dāng) t→∞時(shí)，0≤E［e－RU（t）｜T≥t］≤t－1／3＋e－Rq（t）→0.

綜上所述，有 e－RU（t）＝ψ（u）E［e－RU（T）｜T＜∞］.則得定理結(jié)論。

由此定理可推得定理 3.1成立.因?yàn)楫?dāng) T＜∞時(shí)，U（T）＜0，因此 E［e－RU（t）｜T＜∞］＞1，則由以上定理有 ψ（u）＜e－Ru。

［1］龔日朝，李季風(fēng).雙 Poisson風(fēng)險(xiǎn)模型下的破產(chǎn)概率［J］.湘潭師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2001，23（1）：55－57.

［2］李俊海.具有相關(guān)性的 Poisson分布風(fēng)險(xiǎn)模型［J］.鄭州工業(yè)高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)，2004，20（4）：1－3.

［3］夏亞峰，顧群.帶投資和干擾項(xiàng)的相依風(fēng)險(xiǎn)模型［J］.甘肅科學(xué)學(xué)報(bào)，2010，22（1）：122－125.

［4］趙金娥，王貴紅，龍遙，等.索賠為稀疏過程的雙復(fù)合Poisson風(fēng)險(xiǎn)模型［J］.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)，2010，27（4）：86－92.

［5］成軍祥，王變.帶干擾的再保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率［J］.北京電子科技學(xué)院學(xué)報(bào)，2010，18（2）：1－3.

［6］成世學(xué).破產(chǎn)論研究綜述［J］.數(shù)學(xué)進(jìn)展，2002，31（5）：403－422.

［責(zé)任編輯 賀小林］

The Prelim inary Research of Ruin Probabilities for a Class of Double Compound Risk M odel

QIAO Ke－Lin，LIPING，HOU Zhi－Wu
（College of Mathematics，Yan an University shannxi716000，China）

A riskmodelwith double compound poisson processwas studied，in which the arrival of the claims is a p－thining process of the arrival of the premium incomes.and reduced the risk of the insurance company with the proportional re－insurance.Meanwhile，the effect of the random interference on the ruin probability of insurance company were analyzed.The general expression of the ruin probability and an uper bound of the ruin probability were given.Lundberg equation of the ruin probability is provided bymeans ofmartingalemethod，and the existence of adjustment coefficientwas proved.

thinning process；re－insurance；ruin probability；double compound risk model；interference

O211.67

A

1004-602X（2011）02-0027-04

2011 -03 -28

陜西省教育廳自然科學(xué)基金（2010JK914）；延安大學(xué)教改項(xiàng)目（YDJG10－02）

喬克林（1964—），男，陜西佳縣人，延安大學(xué)副教授，碩士。