基于模式空間的寬帶DOA估計(jì)算法研究

劉春靜

(中國電子科技集團(tuán)公司第三十八研究所 合肥 230088)

1 引言

DOA估計(jì)是陣列信號處理領(lǐng)域的一個(gè)重要研究方向，而寬帶信源的DOA估計(jì)又是其中的一個(gè)難點(diǎn)問題。與窄帶測向不同的是，寬帶情況下陣列輸出的相位差不僅依賴于波達(dá)角的方位，而且與信號頻率有關(guān)，因此窄帶的估計(jì)方法就不適用了。

傳統(tǒng)的寬帶DOA估計(jì)方法如相干子空間(CSS，coherent signal subspace)[1，2]、雙邊相關(guān)變換(TCT，two － sided correlation transformation)[3]等都是通過構(gòu)造聚焦矩陣的方法將不同頻率上的信號空間聚焦到參考頻率上，然后對聚焦后得到的單一頻率協(xié)方差矩陣進(jìn)行窄帶處理。在該類算法中出于構(gòu)造聚焦矩陣的需要，必須對信號波達(dá)角進(jìn)行預(yù)估計(jì)，研究表明，預(yù)估角度的個(gè)數(shù)和取值大小對算法性能影響很大[4]。為了避免預(yù)估計(jì)結(jié)果對后續(xù)處理的影響，文獻(xiàn)[5]根據(jù)陣列導(dǎo)向矢量的Jacobi－Anger展開式提出了基于模式空間分解的寬帶DOA估計(jì)算法，其基本思想是將導(dǎo)向矢量中的頻率信息和波達(dá)角信息分開后，再利用Bessel函數(shù)的衰減特性將其截?cái)嗪髽?gòu)造協(xié)方差矩陣進(jìn)行處理。本文將該算法擴(kuò)展到任意幾何結(jié)構(gòu)的天線陣列，并詳細(xì)分析了最優(yōu)聚焦矩陣和參考頻率的選擇方法，最后驗(yàn)證了算法的有效性。

2 信號模型

()H表示矩陣的復(fù)共軛轉(zhuǎn)置，E[·]表示求期望運(yùn)算。

3 模式空間處理算法

3.1 模式分解原理

在傳統(tǒng)的寬帶DOA算法中，為了減小聚焦變換誤差，需要對信號到達(dá)角進(jìn)行預(yù)估計(jì)，研究表明預(yù)估角度的準(zhǔn)確性直接決定了最終估計(jì)方向的精度[4]。為避免預(yù)估算法性能的影響，我們可以通過模式空間分解的方法將陣列導(dǎo)向矢量中的頻率變量和角度變量分離后再聚焦，根據(jù)Jacobi-Anger展開[6]，得

考察球形Bessel函數(shù)Jl(x)的性質(zhì)可知，對于給定的x，隨著u的增大，Jl(x)逐漸趨近于0。因此對于孔徑有限的天線陣列，且入射信號帶寬有限時(shí)，導(dǎo)向矢量可用(5)式的有限項(xiàng)來表示，只要選擇足夠大的多項(xiàng)式階數(shù)，就能保證足夠小的誤差。

3.2 聚焦矩陣的選擇

將(5)式截?cái)嗪蟊Ａ羟癓項(xiàng)得

設(shè)Ti為第i個(gè)頻點(diǎn)處的聚焦矩陣，文獻(xiàn)[5]中提出了兩種選擇聚焦矩陣的方式:

a.不需要參考頻率

b.需要參考頻率

其中Jref為所選參考頻率的Bessel函數(shù)截?cái)嗑仃嚒?/p>

采用(8)、(9)兩式聚焦的缺點(diǎn)主要有以下兩個(gè)方面:a.為了使JHiJi可逆，必須選擇合適的天線陣元坐標(biāo)位置，比如對于直線陣列來說，應(yīng)該將陣列中心位置作為參考原點(diǎn);b.聚焦矩陣的非酉特性使聚焦后的信噪比降低，即存在聚焦損失，這一點(diǎn)將在后面的仿真中予以證明。

為了克服以上兩個(gè)缺點(diǎn)，使聚焦后的陣列流型與所選參考頻點(diǎn)陣列流型間的誤差最小，可以通過求解下式求得最優(yōu)聚焦矩陣:

其中Aref為所選參考頻率的導(dǎo)向矢量矩陣，‖·‖F(xiàn)為矩陣 Frobenius范數(shù)，I為單位矩陣。根據(jù)(6)式，(10)式可等價(jià)為:

其中tr(·)表示求矩陣跡，Re(·)表示求實(shí)部運(yùn)算。當(dāng)截?cái)嚅L度L和參考頻率一定時(shí)，(11)式等效為在Ti為酉矩陣的約束條件下使 Re[tr(Jref)]最大。

其中U和V分別為矩陣C的左右奇異向量矩陣;對角陣Σ =diag(σ11，…，σNN);σnn為C的第n個(gè)奇異值。因此，

當(dāng)|Znn|=1時(shí)(15)式取等號，此時(shí)Ti的一個(gè)解為:

在白噪聲情況下，寬帶信號的協(xié)方差矩陣為:

其中K為劃分的頻點(diǎn)數(shù)，σ2i為噪聲功率，聚焦變換后的協(xié)方差矩陣為:

定義聚焦損失因子為[7]:

將(16)式代入(19)式，根據(jù)矩陣跡的性質(zhì)很容易求得g=1，即當(dāng)Ti為酉陣時(shí)無聚焦損失。

3.3 最優(yōu)參考頻率

根據(jù)(11)式，以各頻點(diǎn)處的擬合誤差之和最小為準(zhǔn)則，最優(yōu)化表達(dá)式如下:

將(12)式代入(20)式中，得:

其中σn(·)表示矩陣的奇異值，當(dāng)截?cái)嚅L度L和頻

通過一維搜索即可求解出最優(yōu)參考頻率。

綜上所述，只要根據(jù)(22)式和(16)式求出參考頻率和聚焦矩陣，然后由(18)式計(jì)算RzT，最后采用MUSIC等窄帶算法估計(jì)出信源方位。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)1 仿真條件為18元均勻直線陣，三個(gè)等功率寬帶信號分別從38°、42°和60°方向入射到該陣列上，信噪比為10dB，其中第二個(gè)信號為第一個(gè)信號的多徑分量，時(shí)延為0.125s，第三個(gè)信號與前兩個(gè)信號互不相關(guān)。信號中心頻率均為100Hz，帶寬為40Hz，處理頻點(diǎn)數(shù)為33，采樣點(diǎn)數(shù)為2112個(gè)快拍，Bessel函數(shù)的截?cái)嚅L度取14。圖1～圖3中的每個(gè)仿真點(diǎn)均是通過200次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)后取平均得到的。

圖1和圖2分別為估計(jì)角度的均方誤差之和與相對帶寬和信噪比的關(guān)系(我們將本文提出的算法，即(16)式，稱為算法一，將(8)、(9)式分別稱為算法二和算法三)。隨著入射信號帶寬的增大，采用算法一得到的均方誤差曲線波動很小，且誤差值低于后兩種算法，只是在部分高帶寬區(qū)域略高于算法三;在圖2中可以看到，算法一的均方誤差曲線表現(xiàn)出很好的收斂特性，算法三的曲線則表現(xiàn)出明顯的不穩(wěn)定性。另外從圖3中聚焦誤差與相對帶寬的關(guān)系曲線也可以看出，算法一最好，算法三次之，算法二的效果最差。

圖4是典型的歸一化擬合誤差與頻率的關(guān)系曲線圖，通過搜索該曲線上的最小值就可以求出最優(yōu)參考頻率，從而驗(yàn)證了式(22)的正確性。

實(shí)驗(yàn)2下面驗(yàn)證模式空間算法在二維平面陣中波達(dá)角估計(jì)的有效性。假設(shè)陣列為8×6標(biāo)準(zhǔn)矩形陣[8]，三個(gè)等功率寬帶信號的入射俯仰角均為45°，方位角為40°、70°和 110°，且第三個(gè)信號為第二個(gè)信號的多徑分量，時(shí)延為0.125s，第一個(gè)信號與其余兩個(gè)信號互不相關(guān)。處理頻點(diǎn)數(shù)為66，采樣點(diǎn)數(shù)為4224個(gè)快拍，Bessel函數(shù)的截?cái)嚅L度取20，其余條件與實(shí)驗(yàn)一中相同。從圖5的仿真結(jié)果中可以很清晰地看到三個(gè)明顯的譜峰，正確分辨出了三個(gè)不同來向的入射信號。

5 結(jié)論

本文通過詳細(xì)分析模式空間寬帶DOA算法中最優(yōu)聚焦矩陣和參考頻率的選取方法，指出了提高算法性能的有效途徑。但是值得注意的是，Bessel函數(shù)中截?cái)嚯A數(shù)的選擇也是制約算法性能的關(guān)鍵因素，因此有必要進(jìn)一步討論不同陣列結(jié)構(gòu)、不同信號環(huán)境下截?cái)嚯A數(shù)的取值問題，這也是算法實(shí)用化的重要步驟。

[1]Wang H.and Kaveh M.Coherent signal－subspace processing for the detection and estimation of angles of arrival of multiple wide－band sources[J].IEEE Trans.on ASSP，1985，33(4):823－831.

[2]Mahata K.A subspace algorithm for wideband source localization without narrowband filtering[J].IEEE Trans.on SP，2011，59(7):3470－3475.

[3]Valaee S.and Kabal P.Wideband array processing using a two－sided correlation transformation [J].IEEE Trans.on SP，1995，43(1):160－172.

[4]Swingler D.and KROLIK J.Source location bias in the coherently focused high－resolution broadband beamformer[J].IEEE Trans.on ASSP，1989，37(1):143 －145.

[5]Abhayapala T.D.and Bhatta H.Coherent broadband source localization by modal space processing[C].IEEE 10thInternational Conference on Telecommunications，2003，1617－1623.

[6]Abhayapala T.D.Modal analysis and synthesis of broadband nearfield beamforming arrays[Z].Ph.D.dissertation，Research School of Information Sciences and Engineering，Australian National University，Canberra ACT，1999.

[7]Doron M.A.and Weiss A.J.On focusing matrices for wideband array processing[J].IEEE Tans.on SP，1992，40(6):1295 －1302.

[8]Trees H.L.V.Optimal array processing，Part IV of detection，estimation，and modulation theory [M]. Wiley － Interscience， New York，2002.