滲透水壓下巖體多裂紋相互作用的計(jì)算

楊 慧，江學(xué)良，曹 平

（1．中南林業(yè)科技大學(xué) 土木工程與力學(xué)學(xué)院，長沙410004；2．湖南城市學(xué)院 土木工程學(xué)院，湖南 益陽 413000；3．中南大學(xué) 資源與安全工程學(xué)院，長沙410083）

地下巖體常以多裂紋的面貌出現(xiàn)，由于裂紋尖端應(yīng)力分布的奇異性，容易引發(fā)裂紋尖端材料局部失效而導(dǎo)致宏觀破壞，巖石斷裂力學(xué)的研究主要集中在對均質(zhì)材料中特殊單一裂紋或者規(guī)律性分布裂紋斷裂力學(xué)行為的探討，進(jìn)而對復(fù)雜多裂紋巖體的力學(xué)行為進(jìn)行研究。多裂紋相互作用分析，作為巖體材料細(xì)觀破損分析的關(guān)健問題，近幾十年來獲得了廣泛的關(guān)注，發(fā)展了多種分析方法［1－10］?；趹?yīng)力疊加技術(shù)，Kachanov提出了一種計(jì)算多裂紋相互作用下應(yīng)力強(qiáng)度因子的簡單方法，并進(jìn)一步用來估算多裂紋體等效彈性 參 數(shù) 及 分 析 裂 紋 體 的 應(yīng) 力、應(yīng) 變 場［6－7］。Li等［10］，李銀平［11］，H．Qing［12］等對 Kachanov法提出了改進(jìn)，提高了計(jì)算精度。Basista［8］、李銀平［13］等將該方法推廣到壓縮荷載下準(zhǔn)脆性物體中多個(gè)壓剪裂紋相互作用的問題。實(shí)際工程中的巖體賦存于一定的地應(yīng)力和地下水壓力環(huán)境中，地下水與巖體相互作用。處于滲透壓下的多裂隙巖體，其力學(xué)行為將發(fā)生改變。地應(yīng)力在裂隙面的法向分量一半使結(jié)構(gòu)面受到壓縮并使深埋巖體中的裂隙閉合，而地下水壓力作用于裂隙面的法向，力圖使裂隙面張開。無滲透水壓時(shí)裂紋尖端的應(yīng)力為壓應(yīng)力，在滲透水壓下可能轉(zhuǎn)化為拉應(yīng)力，裂紋尖端的復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)直接影響著裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子值。關(guān)于滲透壓下的巖橋貫通規(guī)律，學(xué)者已作了一些理論及試驗(yàn)研究［14－16］，但對于應(yīng)力場和滲透壓共同作用下巖體中多裂紋相互作用的研究甚少。

本文根據(jù)斷裂力學(xué)理論，建立無限大板含多裂紋的力學(xué)模型，根據(jù)疊加原理，推導(dǎo)遠(yuǎn)場應(yīng)力和裂隙水壓力共同作用下的多裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子，并在此基礎(chǔ)上研究滲透水壓下多裂紋的相互作用，為滲透壓條件下的多裂隙巖體斷裂失穩(wěn)的研究提供初步理論依據(jù)。

1 水－巖力學(xué)作用下多裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算

考慮裂隙滲透水壓的情況如圖1所示，無限平面x－o－y內(nèi) 含 有N條 裂 紋，裂 紋 長 度 為2ai（i＝1，…，N），與x軸的夾角為αi（i＝1，…，N），受遠(yuǎn)場雙軸壓應(yīng)力σ∞＝－（σ1∞，σ3∞），裂隙水滲透壓力為pw，垂直于裂紋表面。

圖1 滲透水壓下多裂紋計(jì)算模型

對任意裂紋i，根據(jù)任意斜面上應(yīng)力分量變換關(guān)系，可知作用于裂紋面上的法向及切向應(yīng)力分別為［16］

1）裂紋未閉合情況：

2）裂紋閉合情況：

其中，tanφj為摩擦系數(shù)，Cj為內(nèi)聚力。

將此問題分解為N個(gè)子問題，每個(gè)子問題中只含有一條裂紋，而無窮遠(yuǎn)處應(yīng)力為零，每條裂紋面上受法向及切向應(yīng)力作用，是初始面力和由于其他N－1條裂紋的存在而引起的附加面力兩者之和。如圖2所示，例如：第k裂紋面上所受的法向及切向應(yīng)力為p k（sk）和qk（sk）。該問題又可以分解為N個(gè)子問題，每個(gè)子問題中只有一條單裂紋，且裂紋表面應(yīng)力情況未知，例如：單獨(dú)考慮第k裂紋，其裂紋面上的應(yīng)力為Pk（sk）和Qk（sk）。

圖2 多裂紋疊加示意圖

根據(jù)疊加原理，得到Fredholm積分方程［5］

式中，f nn，f nt，f tn，f tt為相互作用系數(shù)，表達(dá)式見附錄A。假設(shè)Fredholm積分方程在離散點(diǎn)M處能獲得滿意的計(jì)算結(jié)果，則由式（3）即可得到N條裂紋的2×N×M個(gè)方程，再利用Chebyshev數(shù)值迭代規(guī)則即可得到

通過分析，將邊界條件帶入式（1）、（2），即可以通過MATLAB編程計(jì)算得出Pk，Qk，從而由下式得到水－巖力學(xué)作用下各裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子

2 算例分析

2．1 2條裂紋算例分析

無限板中含2條裂紋，取2a＝20 mm，裂紋之間垂直距離2d＝2 mm，平行距離2b＝4 mm，取σ1＝10 MPa，σ3＝4 MPa，裂隙水壓力p＝2 MPa，如圖3所示。

圖3 2條裂紋計(jì)算模型

根據(jù)式（3）得到各裂紋的相關(guān)方程并代入式（4）得

求解以上方程組即可求得2條裂紋相互影響下的P1（si），Q1（si），P2（ti），Q2（ti），代入式（6），計(jì)算得到不同裂紋傾角下裂紋尖端各點(diǎn)的應(yīng)力強(qiáng)度因子值。如果不考慮裂紋之間的相互影響，根據(jù)斷裂力學(xué)理論，將式（1）代入下式，即可得到任一裂尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子為

將慮裂紋間相互影響計(jì)算得到的結(jié)果與上式進(jìn)行對比，得到無量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子值，見圖4。

圖4 2條裂紋F1A，F(xiàn)1B…，F(xiàn)2D值

2．2 3條裂紋算例分析

無限板中含3條裂紋，取2a＝20 mm，①②裂紋間2b＝10 mm，①③裂紋間2d＝4 mm，取σ1＝10 MPa，σ3＝4 MPa，裂隙水壓力p＝2 MPa，如圖5所示。根據(jù)式（3）得到各裂紋的相關(guān)方程并代入式（4）得

圖5 3條裂紋計(jì)算模型

求解以上方程組即可求得3條裂紋相互影響下的P1（si），Q1（si），P2（ti），Q2（ti），P3（ki），Q3（ki），代入式（6），計(jì)算得到不同裂紋傾角下裂紋尖端各點(diǎn)的應(yīng)力強(qiáng)度因子值。將慮裂紋間相互影響計(jì)算得到的結(jié)果與式（9）進(jìn)行對比，得到無量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子值，見圖6。

圖6 3條裂紋F1A，F(xiàn)1B…，F(xiàn)2T值

圖中F各值如下式：

由圖4、圖6可知，多裂紋的相互作用對裂紋尖端處的應(yīng)力場影響較大，根據(jù)裂紋的相對幾何位置和裂紋傾角變化，進(jìn)行不同疊加后的應(yīng)力場可產(chǎn)生2種效應(yīng)，應(yīng)力強(qiáng)度影響加強(qiáng)區(qū)與應(yīng)力強(qiáng)度影響減弱區(qū)，當(dāng)相鄰裂紋尖端處于加強(qiáng)區(qū)時(shí)，該裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子將會(huì)變大，反之則變小。

3 滲透壓下多裂紋相互作用分析

計(jì)算模型見圖3，按裂紋滲透水壓p＝0、2、4、6、8、10 MPa；裂紋間垂直距離2d＝2 mm，水平距離2b＝0、2、4、6、8、10 mm共36種情況進(jìn)行計(jì)算，得出了各種情況下裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子，如圖7—8所示。

圖7 裂紋1尖端A點(diǎn)KI、KII值

圖8 裂紋1尖端B點(diǎn)K I、K II值

從上圖可知，各條裂紋尖端KI隨著滲透壓的增大而增加，即使－KI逐漸減小，這說明裂隙水壓力抵消了一部分正應(yīng)力。裂紋外端部A點(diǎn)的KII有相同的變化趨勢，而內(nèi)端部B點(diǎn)KII的變化還受到相鄰裂紋尖端應(yīng)力場的影響，隨著裂紋水平間距的增大出現(xiàn)先減小后增大的規(guī)律，但最終都趨于一個(gè)定值，該值為考慮單一裂紋計(jì)算所得到的KII。

對于閉合裂紋，其端部I型應(yīng)力強(qiáng)度因子恒為零，由裂紋上下表面間摩擦力的存在影響了裂紋面的相對滑動(dòng)，從而影響應(yīng)力強(qiáng)度因子KII，見圖9。從圖中可知，2條裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子變化趨勢相同，都隨摩擦系數(shù)的增大而減小。

圖9 摩擦系數(shù)對K II的影響

4 結(jié) 論

1）巖體中的裂隙大都成組出現(xiàn)，每一個(gè)裂紋都被其他裂隙所包圍，這些都會(huì)影響裂紋尖端附近的應(yīng)力狀態(tài)。多裂紋的相互作用對裂紋尖端處的應(yīng)力場影響較大，根據(jù)裂紋的相對幾何位置和裂紋傾角變化，進(jìn)行不同疊加后的應(yīng)力場可產(chǎn)生2種效應(yīng)，應(yīng)力強(qiáng)度影響加強(qiáng)區(qū)與應(yīng)力強(qiáng)度影響減弱區(qū)，當(dāng)相鄰裂紋尖端處于加強(qiáng)區(qū)時(shí)，該裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子將會(huì)變大，反之則變小。

2）滲透水壓的存在，大大的改變了裂隙尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子，各條裂紋尖端KI隨著滲透壓的增大而增加（使－KI逐漸減?。?，這說明裂隙水壓力抵消了一部分正應(yīng)力。

3）不同間距的平行裂紋相互影響所產(chǎn)生的應(yīng)力強(qiáng)度因子的變化趨勢是完全一致的，且隨著裂紋間距離的加大，計(jì)算所得出的應(yīng)力強(qiáng)度因子值都趨于一個(gè)定值，該值為沒有裂紋影響時(shí)的應(yīng)力強(qiáng)度因子值?？紤]裂紋間的相互作用與裂紋間的相對距離有關(guān)，當(dāng)裂紋間距＞裂紋長度時(shí)，可以忽略裂紋相互作用對裂紋尖端應(yīng)力場的影響。

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附錄A 裂紋相互作用系數(shù)和相互作用因子

如圖Al所示，無限大平板內(nèi)有一條長為2a的裂紋AB，坐標(biāo)原點(diǎn)取于裂紋中點(diǎn)，x軸與裂紋重合，在裂紋附近考慮一虛擬裂紋CD，與x軸的夾角為α，分析虛擬裂紋CD上任意一點(diǎn)的應(yīng)力情況。

圖A1 虛擬裂紋計(jì)算

式（3）、式（4）中相互作用系數(shù)和相互作用因子可以由彈性力學(xué)基本解求得如下［A1，A2］：

參考文獻(xiàn)：

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［A 2］MUSKHELISHVILI．?dāng)?shù)學(xué)彈性力學(xué)的幾個(gè)基本問題［M］．趙惠元．譯．北京：科學(xué)出版社，1958．