弧面分度凸輪的坐標(biāo)測(cè)量原理及其實(shí)現(xiàn)

王曉飛 ，唐 琳

(1. 天津大學(xué)精密測(cè)試技術(shù)及儀器國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300072；2. 江蘇省計(jì)量科學(xué)研究院，南京 210007；3. 北京工業(yè)大學(xué)機(jī)電學(xué)院，北京 100124；4. 廣州山鋒測(cè)控技術(shù)有限公司，廣州 510656)

弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)是一種兩垂直軸間的間歇分度步進(jìn)傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，具有高速、高精度、承載能力大、可靠性好、剛度高和強(qiáng)度大的優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于各種加工行業(yè)[1]．弧面分度凸輪的廓面是一組圍繞凸輪軸線旋轉(zhuǎn)的凹槽曲線，可認(rèn)為是從動(dòng)件以某種運(yùn)動(dòng)規(guī)律運(yùn)動(dòng)留下的運(yùn)動(dòng)軌跡，其廓面加工準(zhǔn)確與否直接影響凸輪機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)精度與傳動(dòng)質(zhì)量，為保證弧面分度凸輪的加工精度，對(duì)凸輪廓面的檢測(cè)是非常重要的；但是由于弧面分度凸輪廓面為復(fù)雜的空間不可展開螺旋面，加工難，成本高，無法用傳統(tǒng)的常規(guī)儀器精確檢測(cè)，在企業(yè)中弧面分度凸輪的檢測(cè)手段也一直是個(gè)難題；我國(guó)在弧面分度凸輪廓面的靜態(tài)檢測(cè)方面的研究尚少，始終沒有相關(guān)的檢測(cè)產(chǎn)品出現(xiàn)，因此，研究弧面分度凸輪的幾何靜態(tài)檢測(cè)方法具有重要的意義．

復(fù)雜空間曲面測(cè)量的常用工具是三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)(coordinate measuring machine，CMM)[2]，因此筆者以CMM為測(cè)量工具，研究弧面分度凸輪的三坐標(biāo)測(cè)評(píng)方法，并研發(fā)了一套基于 CMM的測(cè)量軟件，實(shí)現(xiàn)對(duì)弧面分度凸輪的精密測(cè)量與評(píng)定，軟件可應(yīng)用于基于DMIS標(biāo)準(zhǔn)的三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)，具有通用性，可以通過精密測(cè)量控制凸輪廓面的加工質(zhì)量，解決企業(yè)的實(shí)際問題，具有重要的使用價(jià)值．

1 凸輪廓面的數(shù)學(xué)模型

在弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)中，弧面分度凸輪是主動(dòng)件，分度盤是從動(dòng)件和輸出構(gòu)件，凸輪推動(dòng)分度盤步進(jìn)運(yùn)動(dòng)．當(dāng)不考慮凸輪機(jī)構(gòu)的安裝誤差和滾子幾何形狀誤差等因素，僅考慮弧面凸輪廓面加工誤差，通過從動(dòng)件分度盤的運(yùn)動(dòng)規(guī)律反求主動(dòng)件凸輪的輪廓曲線．運(yùn)用微分幾何的曲面理論及包絡(luò)理論的有關(guān)知識(shí)，由分度盤滾子比較簡(jiǎn)單的曲面出發(fā)，應(yīng)用共軛曲面原理、微分幾何學(xué)和坐標(biāo)變換原理獲得弧面分度凸輪的理論輪廓曲面方程[3]．

1.1 滾子建模

如圖1所示，設(shè)滾子表面任何點(diǎn)的坐標(biāo)為(xf，yf，zf)，則

圖1 滾子建模Fig.1 Model of roller

式中：δ為點(diǎn)到分度盤節(jié)圓的距離；rf、r0分別為分度盤與滾子半徑；φ為測(cè)點(diǎn)與xfyf面的夾角．

1.2 坐標(biāo)系變換

圖 2中：Ofxfyfzf為分度盤動(dòng)坐標(biāo)系；O1x1y1z1為分度盤定坐標(biāo)系；Oxyz為凸輪定坐標(biāo)系；O2x2y2z2為凸輪定坐標(biāo)系；Ocxcyczc為凸輪動(dòng)坐標(biāo)系．綜合 4個(gè)坐標(biāo)變換矩陣，推導(dǎo)出分度盤動(dòng)坐標(biāo)系 Ofxfyfzf變換到凸輪動(dòng)坐標(biāo)系Ocxcyczc的變換矩陣．θ和τ分別為凸輪與滾子的瞬時(shí)轉(zhuǎn)角．

圖2 坐標(biāo)系變換Fig.2 Transfer of coordinate system

1.3 計(jì)算廓面坐標(biāo)

弧面分度凸輪的理論輪廓曲面方程[4]可以表示為

式中：p值取決于弧面分度凸輪的旋向，如果為左旋，p＝1，若為右旋，p＝-1；C 為凸輪與轉(zhuǎn)盤的中心距．φ 和 τ的關(guān)系可由弧面分度凸輪的嚙合方程[5]到，即

式中：w1、與 w2分別為凸輪與轉(zhuǎn)盤角速度；rz為點(diǎn)到轉(zhuǎn)盤中心的距離．

CMM 測(cè)量弧面分度凸輪，已知其幾何參數(shù)與運(yùn)動(dòng)參數(shù)，給定采樣參數(shù)φ和δ，通過式(1)和式(2)，可求出凸輪廓面的理論坐標(biāo)值．

2 建立坐標(biāo)系

在三坐標(biāo)上測(cè)量弧面分度凸輪，首先要建立凸輪坐標(biāo)系[6]，坐標(biāo)系要求以凸輪軸線為 z軸，以軸線與凸輪上表面交點(diǎn)為原點(diǎn)，以原點(diǎn)與孔的連線為x軸方向，建立測(cè)量坐標(biāo)系 Omxmymzm．評(píng)定誤差時(shí)，測(cè)量數(shù)據(jù)與理論數(shù)據(jù)做比較，必須將測(cè)量坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換為理論坐標(biāo)系．如圖3所示，凸輪理論坐標(biāo)系為Ocxcyczc，Ocxcyczc與上表面距離為d，xm與x軸的夾角為α．為使測(cè)量坐標(biāo)系與理論坐標(biāo)系重合，將測(cè)量坐標(biāo)系 Omxmymzm旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度 α[7]，轉(zhuǎn)換成坐標(biāo)系 Oxyz，再將Oxyz向下移動(dòng)距離 d，得到理論坐標(biāo)系 Ocxcyczc，設(shè)測(cè)量坐標(biāo)點(diǎn)[xM，yM，zM]，通過轉(zhuǎn)換坐標(biāo)系 Mcm，得到轉(zhuǎn)換后的坐標(biāo)[xm，ym，zm]．

圖3 建立凸輪坐標(biāo)系Fig.3 Coordinate system of globoidal indexing cam

3 采樣策略

在三坐標(biāo)采樣中，需要選擇合適的測(cè)頭角度，給定測(cè)量法向方向，設(shè)置移動(dòng)點(diǎn)與采樣點(diǎn)，規(guī)劃測(cè)量路徑．

3.1 選擇測(cè)頭角度

弧面分度凸輪各個(gè)凸輪廓面分布比較復(fù)雜，要保證能夠測(cè)量所有點(diǎn)且不發(fā)生碰撞[8]，測(cè)頭角度的選擇十分重要．如圖 4所示，被測(cè)廓面與相鄰廓面在縱向空間相交疊，在鄰面的外邊界上取一點(diǎn)，與相對(duì)應(yīng)采樣點(diǎn)內(nèi)外邊界相連，連線與 z方向的夾角分別為 θ0和 θ1，θ1＞θ0，可見當(dāng)測(cè)頭與 z 方向夾角為 θ1時(shí)，可以滿足測(cè)量該行測(cè)點(diǎn)而不發(fā)生碰撞．被測(cè)廓面的內(nèi)邊界與相鄰廓面的外邊界最大夾角時(shí)，可滿足所有點(diǎn)的測(cè)量．

圖4 測(cè)頭角度Fig.4 Probe angle

設(shè)相鄰廓面的外邊界某點(diǎn)坐標(biāo)為(x2，y2，z2)，被測(cè)廓面的內(nèi)邊界某點(diǎn)坐標(biāo)為(x1，y1，z1)，兩點(diǎn)在 z方向上的矢量為 k，夾角為 θi．則以所有角最大值作為測(cè)頭方向θ的表達(dá)式為

3.2 計(jì)算移動(dòng)點(diǎn)

圖5 移動(dòng)點(diǎn)Fig.5 Moving points

如圖 5所示，凸輪廓面上的采樣點(diǎn)，同時(shí)也是滾子面上的點(diǎn)，沿著凸輪采樣點(diǎn)的法向方向偏移一個(gè)距離d的點(diǎn)，取得移動(dòng)點(diǎn)，在坐標(biāo)系xfyfzf下移動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為(xd，yd，zd)．通過轉(zhuǎn)換矩陣 Mcf，將移動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換至測(cè)量坐標(biāo)系，在測(cè)量坐標(biāo)系下移動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為(xD，yD，zD)，則

3.3 計(jì)算測(cè)點(diǎn)法向方向

設(shè)某采樣點(diǎn)坐標(biāo)為(xf，yf，zf)，則該點(diǎn)的移動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為(xD，yD，zD)，兩點(diǎn)間距離為 d，該點(diǎn)法向方向?yàn)?i，j，k)，即

3.4 規(guī)劃測(cè)量路徑

采樣路徑如圖6所示，當(dāng)測(cè)頭轉(zhuǎn)換到最佳測(cè)量角度后，測(cè)頭移動(dòng)到某個(gè)移動(dòng)點(diǎn)，然后沿著該點(diǎn)的法向方向上去取對(duì)應(yīng)的采樣點(diǎn)，測(cè)完該采樣點(diǎn)再回到原移動(dòng)點(diǎn)，采完一行后，移動(dòng)到下一行的臨近點(diǎn)，然后循環(huán)運(yùn)行，直到采完所有的點(diǎn)．

圖6 采樣路徑Fig.6 Sampling route

4 誤差評(píng)定

由于我國(guó)目前還沒有弧面分度凸輪的國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)，因此沒有統(tǒng)一的弧面分度凸輪的誤差項(xiàng)目的定義．弧面分度凸輪的曲面為復(fù)雜曲面，其精度影響整個(gè)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)精度．從幾何精度而言，根據(jù)復(fù)雜曲面測(cè)量的特征線原理，控制復(fù)雜曲面的精度可以通過控制特征線的精度來實(shí)現(xiàn)．因此可以選取螺旋面的螺旋線和軸向截面的廓線定義弧面分度凸輪的誤差測(cè)量項(xiàng)目：廓面偏差、螺旋線偏差和軸向截面廓線偏差；通過對(duì)這幾個(gè)測(cè)量項(xiàng)目的評(píng)定，來反映弧面分度凸輪廓面的加工質(zhì)量．

4.1 廓面偏差

廓面偏差：包容實(shí)際廓面且距離最小的的2個(gè)平行廓面間的法向距離．

弧面分度凸輪的廓面偏差采用構(gòu)造曲面法，將理論點(diǎn)數(shù)據(jù)擬合為曲面，求實(shí)際點(diǎn)到曲面的距離．該方法的優(yōu)點(diǎn)是無須坐標(biāo)系嚴(yán)格重合[9]，既可以提高測(cè)量數(shù)據(jù)的精度，又克服了坐標(biāo)測(cè)量機(jī)空間定位精度的影響．由弧面分度凸輪的數(shù)學(xué)模型求出輪廓面上的一系列數(shù)值點(diǎn)，通過這些理論點(diǎn)構(gòu)造理論曲面．將理論點(diǎn)坐標(biāo)代入雙4次EB樣條曲面方程，可以構(gòu)造出插值廓面，即

式中：E為 EB樣條參數(shù)方程；V為理論點(diǎn)坐標(biāo)方程；U和W為構(gòu)造變量方程，0＜u＜1，0＜w＜1．

設(shè)某測(cè)量點(diǎn)坐標(biāo)為(xj，yj，zj)，理論廓面坐標(biāo)為(Px，Py，Pz)，以該點(diǎn)到理論輪廓面上的距離為該點(diǎn)偏差[4]，即

取輪廓面上所有采樣點(diǎn)正向偏差與負(fù)向偏差的最大值之和為廓面偏差，即

4.2 螺旋線偏差

螺旋線偏差：在凸輪動(dòng)程范圍內(nèi)，包容實(shí)際螺旋線且距離最小的的2條理論螺旋線間的法向距離．

根據(jù)螺旋線的定義，滿足0δ=的廓面坐標(biāo)點(diǎn)構(gòu)成螺旋線．通過計(jì)算理論特征線上的離散點(diǎn)，然后沿著法向測(cè)量實(shí)際點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算理論點(diǎn)與實(shí)際點(diǎn)的距離，若實(shí)際點(diǎn)位于法向外側(cè)距離為正，實(shí)際點(diǎn)位于法向內(nèi)側(cè)距離為負(fù)，以法向兩側(cè)點(diǎn)距離的最大值為螺旋線偏差．螺旋線偏差評(píng)定采用點(diǎn)對(duì)點(diǎn)方法[10]，理論點(diǎn)坐標(biāo)為(xj，yj，zj)，實(shí)測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)為(x′j，y′j，z′j)，該點(diǎn)偏差為[4]

取所有采樣點(diǎn)正向偏差與負(fù)向偏差的最大值之和為螺旋線偏差，即

4.3 軸向截面廓線偏差

軸向截面廓線偏差：凸輪動(dòng)程范圍內(nèi)，廓面與過軸線的平面相截，包容實(shí)際廓線且距離最小的2條理論廓線間的法向距離．

根據(jù)軸截面廓線的定義，設(shè)軸截面與參考面成 α角，滿足 y/x＝tan,α條件的廓面坐標(biāo)點(diǎn)構(gòu)成軸截面廓線．軸向截面廓線誤差評(píng)定采用點(diǎn)對(duì)點(diǎn)方法[11]，設(shè) zj為廓線點(diǎn)縱坐標(biāo)，z′j為廓線實(shí)測(cè)點(diǎn)縱坐標(biāo)，該點(diǎn)偏差為[4]

取所有采樣點(diǎn)正向偏差與負(fù)偏差的最大值之和為軸向截面廓線偏差，即

5 應(yīng)用實(shí)例

選用?？怂箍倒綠lobal Performance系列型號(hào)為7107型的三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)，并選用測(cè)球半徑為1 mm的紅寶石測(cè)球和TP2型觸發(fā)式測(cè)頭，運(yùn)行弧面分度凸輪測(cè)量軟件，以測(cè)量弧面分度凸輪廓面偏差為例．凸輪參數(shù)見表1，廓面測(cè)量點(diǎn)實(shí)測(cè)值及偏差值見表2．

表1 弧面分度凸輪參數(shù)Tab.1 Parameters of roller-gear cam

表2 廓面測(cè)量點(diǎn)實(shí)測(cè)值及偏差值Tab.2 Results of measured points and errors mm

再根據(jù)式(12)取輪廓面上所有采樣點(diǎn)正向偏差與負(fù)向偏差的最大值之和為廓面偏差，即

6 結(jié) 語(yǔ)

對(duì)弧面分度凸輪復(fù)雜廓面三坐標(biāo)測(cè)量技術(shù)中的理論基礎(chǔ)、數(shù)據(jù)獲取、測(cè)量路徑規(guī)劃以及誤差評(píng)定等關(guān)鍵技術(shù)進(jìn)行了研究，在研究基礎(chǔ)上開發(fā)了測(cè)量軟件，可以測(cè)量并評(píng)定弧面分度凸輪的廓面偏差、螺旋線偏差和軸向截面廓線偏差等，實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了測(cè)量方法的可行性，該方法和軟件具有很好的實(shí)用和推廣價(jià)值．

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