葉玉琴

(安徽省安慶市第二中學(xué),安徽安慶 246000)

例1.如圖1所示,P 、O、Q 為河岸上的 3點(diǎn),其中 P、O連線垂直河岸,某人通過(guò)游泳(v1=3 m/s)和步行(v2=5 m/s)由P出發(fā)前往目的地Q.已知河寬L=100 m,O與Q間距150 m,問(wèn)此人選擇什么樣的路徑可以使他經(jīng)歷的時(shí)間最短?最短時(shí)間為多少?

圖1

解析1:這是一道看上去非常簡(jiǎn)單的運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題.問(wèn)題的關(guān)鍵是此人在何處上岸,不妨假設(shè)此人在與O相距為x m的M點(diǎn)上岸,如圖2所示,那么此人應(yīng)該先沿PM方向游泳到M點(diǎn)再步行至目的地Q.

根據(jù)位移公式s=vt很容易得到

這題意及列式都比較簡(jiǎn)單,但 t(x)是關(guān)于 x的復(fù)合函數(shù),利用中等數(shù)學(xué)知識(shí)難以求出 t(x)的最小值.下面利用高等數(shù)學(xué)求解.

先求t(x)關(guān)于x的一階導(dǎo)數(shù)有

當(dāng) x=75時(shí) t″(75)＞0,根據(jù)費(fèi)馬原理可知

顯而易見(jiàn),以上的計(jì)算過(guò)程不僅十分繁難,而且中學(xué)生現(xiàn)有的數(shù)學(xué)知識(shí)難以求解,但類(lèi)比光運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)可使這類(lèi)問(wèn)題的求解簡(jiǎn)單易行.

圖3

兩種解法結(jié)果是一致的,但第2種方法由于類(lèi)比了光的折射,巧妙地借助規(guī)律,因此非常簡(jiǎn)單.

圖4

例2.湖灣成頂角為 α的楔形,岸上住有一漁夫,他的房子在 A點(diǎn),如圖 4所示,從A點(diǎn)到他離最近的C點(diǎn)之距離為h,而到湖灣的一頭,即到D點(diǎn)之距離為.湖對(duì)岸 B處有漁夫好友的房子,B點(diǎn)位置與A點(diǎn)相對(duì)于湖灣對(duì)稱(chēng).漁夫擁有一只小船,他可以以速度v沿河岸步行或以速度乘船在湖中劃行.求他從自己家中出發(fā)到好友家去所需要的最短時(shí)間t.

解析:本題可以利用高等數(shù)學(xué)求解.由于 A、B對(duì)稱(chēng),所以路徑關(guān)于角α的平分線對(duì)稱(chēng),因此漁夫沿如圖5所示的 A→E→G→B路徑行走,設(shè) E與D間距為x,則有

從上式不難看出,通過(guò)中等數(shù)學(xué)無(wú)法求解,即使利用高等數(shù)學(xué)來(lái)解也較繁難,但如果類(lèi)比光學(xué)規(guī)律就可以很容易求解.本題中漁夫的運(yùn)動(dòng)十分類(lèi)似光在棱鏡中的折射情形,根據(jù)光學(xué)規(guī)律,光從 A點(diǎn)傳播到B點(diǎn)的光路,同所有其他的路徑相比,需時(shí)最少.又由于 A、B關(guān)于“棱鏡”(即湖灣)對(duì)稱(chēng)和光路可逆性,所以在“棱鏡”中的光線必垂直于角α的平分線,因此漁夫應(yīng)該沿如圖5所示的光路行走,即先沿 AE(令 γ為入射角)行走到湖灣E點(diǎn),再乘船沿EG方向(EG垂直于角α的平分線)劃行渡過(guò)湖灣,然后沿GB方向步行到B點(diǎn).

圖5

因此所求的時(shí)間為