辛寶貴 陳 通 劉艷芹

1)(天津大學(xué)管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)部，天津 300072)2)(山東科技大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，青島 266510)(2010年6月21日收到;2010年8月2日收到修改稿)

的穩(wěn)定性.系統(tǒng)

一類分?jǐn)?shù)階混沌金融系統(tǒng)的復(fù)雜性演化研究*

辛寶貴1)2)陳 通1)劉艷芹1)2)

1)(天津大學(xué)管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)部，天津 300072)2)(山東科技大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，青島 266510)(2010年6月21日收到;2010年8月2日收到修改稿)

物理學(xué)理論與方法在經(jīng)濟(jì)與金融領(lǐng)域中的成功應(yīng)用催生了一個(gè)新的科學(xué)分支——經(jīng)濟(jì)物理學(xué)(econophysics).分?jǐn)?shù)階微積分系統(tǒng)的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象受到了越來(lái)越多學(xué)者的關(guān)注.本文定性地分析一類分?jǐn)?shù)階混沌金融系統(tǒng)的均衡解的穩(wěn)定性及Hopf分岔發(fā)生的條件，并運(yùn)用亞當(dāng)斯-巴什福斯-莫爾頓預(yù)估-校正的有限差分法，通過(guò)分岔圖、相圖和時(shí)間序列圖對(duì)該系統(tǒng)的復(fù)雜性演化行為進(jìn)行仿真研究.

經(jīng)濟(jì)物理學(xué)，分?jǐn)?shù)階微分方程，金融模型，混沌

PACS:89.65.Gh，05.45.－ a，02.30.Oz

1.引 言

El Farol Bar問(wèn)題［1］與少數(shù)者博弈模型［2］的提出以及一些物理學(xué)的重要理論與方法在經(jīng)濟(jì)金融研究中的應(yīng)用［3—7］具有劃時(shí)代的學(xué)術(shù)意義，已經(jīng)形成了一股強(qiáng)大的聚合力，對(duì)經(jīng)濟(jì)物理學(xué)學(xué)科的建立與推動(dòng)產(chǎn)生了積極、有益的作用，其深遠(yuǎn)影響將隨著時(shí)日變化、社會(huì)進(jìn)步而愈見(jiàn)顯著.

分?jǐn)?shù)階微積分算子理論在物理學(xué)中得到了成功應(yīng)用，解決了許多物理學(xué)領(lǐng)域的問(wèn)題［8—15］.近十幾年來(lái)，已經(jīng)在物理學(xué)中成功應(yīng)用的分?jǐn)?shù)階微積分理論在人文社會(huì)科學(xué)等領(lǐng)域也有了成功的應(yīng)用，例如分?jǐn)?shù)階金融模型［16］、分?jǐn)?shù)階幸福模型［17］、分?jǐn)?shù)階愛(ài)情模型［18］等.

研究表明，經(jīng)濟(jì)和金融是人類參與的包含許多主體因素的極其復(fù)雜的非線性系統(tǒng)，存在許多整數(shù)階微積分理論所不能描述的特性，因而，需要嘗試運(yùn)用分?jǐn)?shù)階非線性動(dòng)力學(xué)的分岔、混沌等方面的理論，研究經(jīng)濟(jì)金融系統(tǒng)的內(nèi)在復(fù)雜性，這方面的研究已經(jīng)取得了一些前期成果［16］.

混沌與分岔是存在于非線性經(jīng)濟(jì)金融系統(tǒng)中的一種復(fù)雜現(xiàn)象，系統(tǒng)由簡(jiǎn)單的狀態(tài)，如均衡狀態(tài)、周期性運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和擬周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，進(jìn)入混沌狀態(tài)的方式是非線性經(jīng)濟(jì)金融動(dòng)力學(xué)研究的一個(gè)重要課題［19，20］.經(jīng)濟(jì)金融系統(tǒng)中的混沌意味著系統(tǒng)本身具有內(nèi)在的不穩(wěn)定性，一般對(duì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)是有害的.從目前的研究成果來(lái)看，前人通過(guò)定性分析和數(shù)值模擬等方法已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了四條具有代表性的通向混沌的道路:倍周期分岔通向混沌、陣發(fā)性通向混沌、擬周期通向混沌、KAM環(huán)面破裂通向混沌［21］.

黃登仕和李后強(qiáng)［22］在分析宏觀經(jīng)濟(jì)運(yùn)行規(guī)律的基礎(chǔ)上，建立了一個(gè)由生產(chǎn)子塊、貨幣、證券子塊和勞動(dòng)力子塊所組成的混沌金融系統(tǒng)，通過(guò)適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換和量綱處理，得到了如下僅含有三個(gè)變量的模型:

其中，x表示利率，y表示投資需求，z表示價(jià)格指數(shù)，a≥0為儲(chǔ)蓄量，b≥0為投資成本，c≥0為商品需求彈性.

2.分?jǐn)?shù)階混沌金融系統(tǒng)的描述

國(guó)際貨幣基金組織總裁卡恩在出席2010年亞洲金融論壇時(shí)指出:相對(duì)于發(fā)達(dá)國(guó)家而言，新興市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)體的本土需求較富彈性，經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)較佳，單位投資成本比較低［23］.因而，對(duì)于系統(tǒng)(1)，我們可以保守地認(rèn)為c－b－abc>0是部分新興市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)體所具有的特點(diǎn)之一.

相對(duì)于新興市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)體而言，發(fā)達(dá)國(guó)家的經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)較為成熟，本土的商品需求彈性不夠高，而單位投資成本卻相對(duì)較高.因而，對(duì)于系統(tǒng)(1)，我們可以保守地認(rèn)為部分非新興市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)體會(huì)具有cb－abc≤0的特點(diǎn).

為了研究系統(tǒng)(1)的分?jǐn)?shù)階形式，本文采用如下 Caputo 微分形式［24，25］:

其中 n－1<α≤n，Γ(·)是 Gamma函數(shù).

Chen［16］在混沌金融系統(tǒng)(1)中引入了分?jǐn)?shù)階微分的概念，并將其擴(kuò)展成為分?jǐn)?shù)階混沌金融系統(tǒng)，如下面的自治系統(tǒng)所示:

其中 0

Chen［16］通過(guò)數(shù)值模擬的方式研究了系統(tǒng)(2)的混沌吸引子等復(fù)雜動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象.本文將在該文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，定性分析系統(tǒng)(2)的穩(wěn)定性和Hopf分岔產(chǎn)生的條件，并運(yùn)用亞當(dāng)斯-巴什福斯-莫爾頓預(yù)估-校正的有限差分法［26，27］，通過(guò)分岔圖、相圖和時(shí)間序列圖對(duì)該混沌金融系統(tǒng)的復(fù)雜性演化路線進(jìn)行仿真研究.

3.分?jǐn)?shù)階混沌金融系統(tǒng)的穩(wěn)定性

令

通過(guò)求解方程(3)，可以得到如下結(jié)論:

1)當(dāng) c－b－abc≤0，系統(tǒng)(2)有唯一的平衡點(diǎn)

2)當(dāng) c－b－abc>0，系統(tǒng)(2)有三個(gè)平衡點(diǎn)

的穩(wěn)定性.系統(tǒng)

其特征方程為

其中一個(gè)特征值為λ1=－b<0，另外兩個(gè)特征值λ2和λ3是由下式?jīng)Q定的:

則E0點(diǎn)會(huì)出現(xiàn)以下三種情形:

例 1 當(dāng) q1=0.88，q2=0.98 和 q3=0.92，b=0.1和c=1時(shí)，

2)對(duì)于第2種情形，若a<9，則系統(tǒng)(2)就是不穩(wěn)定的;

4.分?jǐn)?shù)階混沌金融系統(tǒng)復(fù)雜性演化仿真

本部分運(yùn)用亞當(dāng)斯-巴什福斯-莫爾頓預(yù)估-校正有限差分法［26，27］，分別模擬儲(chǔ)蓄量 a和微分階數(shù)q1的變化對(duì)系統(tǒng)(2)復(fù)雜性演化的影響.

4.1.儲(chǔ)蓄量a對(duì)系統(tǒng)(2)復(fù)雜性演化的影響

同例1一樣，設(shè)定 q1=0.88，q2=0.98和 q3=0.92，b=0.1 和 c=1，另取初值(x0，y0，z0)=(2，3，2).當(dāng)我們對(duì)儲(chǔ)蓄量a∈［0，10］調(diào)整時(shí)，可以畫(huà)出系統(tǒng)(2)的利率x的分岔圖，如圖1所示.

圖1 系統(tǒng)(2)的利率x隨儲(chǔ)蓄量a變化的分岔圖

分岔圖1表明，系統(tǒng)(2)的復(fù)雜性隨著我們對(duì)儲(chǔ)蓄量a∈［0，10］的調(diào)整而發(fā)生相應(yīng)的變化.

我們可以取儲(chǔ)蓄量a=4，則系統(tǒng)(2)的相圖如圖2所示，利率x的時(shí)間序列圖如圖3所示.

將圖2和3與分岔圖1結(jié)合在一起分析，可以發(fā)現(xiàn)該經(jīng)濟(jì)金融系統(tǒng)的變化比較劇烈，正處于混沌狀態(tài)，無(wú)法對(duì)該系統(tǒng)的未來(lái)狀態(tài)進(jìn)行長(zhǎng)期預(yù)測(cè)，整個(gè)系統(tǒng)處于一種失控狀態(tài)，會(huì)產(chǎn)生非常大的破壞作用，需要及時(shí)給予宏觀調(diào)控，平抑系統(tǒng)的長(zhǎng)期劇烈波動(dòng).

圖2 儲(chǔ)蓄量a=4時(shí)系統(tǒng)(2)的相圖

圖3 儲(chǔ)蓄量a=4時(shí)系統(tǒng)(2)的利率x的時(shí)間序列圖

我們可以取儲(chǔ)蓄量a=9，則系統(tǒng)(2)的相圖如圖4所示，利率x的時(shí)間序列圖如圖5所示，結(jié)合分岔圖1，可以發(fā)現(xiàn)該系統(tǒng)在 a=9處發(fā)生 Hopf分岔，整個(gè)系統(tǒng)處于規(guī)律的周期性運(yùn)動(dòng)變化狀態(tài).

我們可以將儲(chǔ)蓄量設(shè)定為a=9.01，則系統(tǒng)(2)的相圖如圖6所示，利率x的時(shí)間序列圖如圖7所示.結(jié)合分岔圖1，我們可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)a>9時(shí)該系統(tǒng)趨向于穩(wěn)定均衡狀態(tài).

圖4 儲(chǔ)蓄量a=9時(shí)系統(tǒng)(2)的相圖

圖5 儲(chǔ)蓄量a=9時(shí)系統(tǒng)(2)的利率x的時(shí)間序列圖

圖6 儲(chǔ)蓄量a=9.01時(shí)系統(tǒng)(2)的相圖

圖7 儲(chǔ)蓄量a=9.01時(shí)系統(tǒng)(2)利率x的時(shí)間序列圖

總之，0≤a<9時(shí)，系統(tǒng)(2)處于不穩(wěn)定的混沌狀態(tài)，波動(dòng)較為劇烈，會(huì)對(duì)經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定運(yùn)行產(chǎn)生較大的破壞作用，需要適時(shí)給予調(diào)控，防止經(jīng)濟(jì)金融系統(tǒng)的長(zhǎng)期劇烈波動(dòng);a=9時(shí)，系統(tǒng)(2)會(huì)發(fā)生 Hopf分岔，整個(gè)系統(tǒng)處于周期性運(yùn)動(dòng)變化狀態(tài)，但也是一種不穩(wěn)定的狀態(tài);a>9時(shí)，系統(tǒng)(2)處于漸近穩(wěn)定均衡狀態(tài)，整個(gè)經(jīng)濟(jì)金融系統(tǒng)能夠穩(wěn)定有序地運(yùn)轉(zhuǎn)，可以對(duì)該系統(tǒng)的未來(lái)狀態(tài)進(jìn)行長(zhǎng)期預(yù)測(cè).

4.2.微分階數(shù)q1對(duì)系統(tǒng)(2)復(fù)雜性演化的影響

設(shè)定 q2=0.98，q3=0.92，a=2，b=0.1 和 c=1，取初值(x0，y0，z0)=(2，3，2).當(dāng)我們對(duì)微分階數(shù)q1∈(0，1)調(diào)整時(shí)，可以畫(huà)出系統(tǒng)(2)利率 x的分岔圖，如圖8所示.

圖8 系統(tǒng)(2)的利率x隨q1變化的分岔圖

分岔圖8表明，系統(tǒng)(2)的復(fù)雜性隨著我們對(duì)微分階數(shù)q1∈(0，1)調(diào)整而發(fā)生相應(yīng)的變化:從穩(wěn)定狀態(tài)經(jīng)過(guò)分岔進(jìn)入混沌狀態(tài).

令q1=0.7時(shí)，系統(tǒng)(2)的相圖如圖9所示，利率x的時(shí)間序列圖如圖10所示.結(jié)合分岔圖8，我們可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)q1<0.8時(shí)該系統(tǒng)趨向于穩(wěn)定均衡狀態(tài).

圖9 q1=0.7時(shí)系統(tǒng)(2)的相圖

令q1=0.8時(shí)，則系統(tǒng)(2)的相圖如圖11所示，利率x的時(shí)間序列圖如圖12所示，結(jié)合分岔圖8，可以發(fā)現(xiàn)該系統(tǒng)在q1=0.8處發(fā)生分岔，整個(gè)系統(tǒng)處于規(guī)律的周期運(yùn)動(dòng)變化狀態(tài).

圖10 q1=0.7時(shí)系統(tǒng)(2)利率x的時(shí)間序列圖

圖11 q1=0.8時(shí)系統(tǒng)(2)的相圖

圖12 q1=0.8時(shí)系統(tǒng)(2)利率x的時(shí)間序列圖

設(shè)定q1=0.9時(shí)，則系統(tǒng)(2)的相圖如圖13所示，利率x的時(shí)間序列圖如圖14所示，結(jié)合分岔圖8，可以發(fā)現(xiàn)該系統(tǒng)正處于混沌狀態(tài)，需要擇時(shí)進(jìn)行宏觀調(diào)控，防止系統(tǒng)長(zhǎng)期劇烈波動(dòng).

圖13 q1=0.9時(shí)系統(tǒng)(2)的相圖

圖14 q1=0.9時(shí)系統(tǒng)(2)利率x的時(shí)間序列圖

總之，0≤q1<0.8時(shí)，系統(tǒng)(2)處于漸近穩(wěn)定均衡狀態(tài)，整個(gè)系統(tǒng)穩(wěn)定有序地運(yùn)轉(zhuǎn).q1=0.8時(shí)，系統(tǒng)(2)會(huì)產(chǎn)生分岔，整個(gè)系統(tǒng)處于周期性運(yùn)動(dòng)變化狀態(tài);0.8

5.結(jié) 論

經(jīng)濟(jì)混沌是經(jīng)濟(jì)金融系統(tǒng)中的一種內(nèi)在不確定性，是經(jīng)常出現(xiàn)在該系統(tǒng)中的一種極其復(fù)雜的現(xiàn)象，是當(dāng)前非線性經(jīng)濟(jì)動(dòng)力學(xué)研究的一項(xiàng)重要內(nèi)容.本文定性地研究了一類分?jǐn)?shù)階混沌金融系統(tǒng)的穩(wěn)定性和Hopf分岔發(fā)生的條件，并運(yùn)用亞當(dāng)斯-巴什福斯-莫爾頓預(yù)估-校正的有限差分法，通過(guò)分岔圖、相圖和時(shí)間序列圖，分別數(shù)值模擬了儲(chǔ)蓄量和微分階數(shù)對(duì)分?jǐn)?shù)階金融系統(tǒng)復(fù)雜性演化行為的影響，得出了一些有意義的研究結(jié)果，可以為政府調(diào)控經(jīng)濟(jì)金融系統(tǒng)提供理論依據(jù).

［1］ Arthur W 1994 Am.Econ.Rev.84 406

［2］ Challet D，Zhang Y 1997 Phys.A 246 407

［3］ Huang Z，Chen Y，Zhang Y，Wang Y 2007 Chin.Phys.16 975

［4］ Guo R，Huang H 2008 Chin.Phys.B 17 1698

［5］ Chen W D，Xu H，Guo Q 2010 Acta Phys.Sin.59 4514(in Chinese)［陳衛(wèi)東、徐 華、郭 琦2010物理學(xué)報(bào) 59 4514］

［6］ Gou C，Gao F，Chen F 2010 Chin.Phys.B 19 110514

［7］ Wang Z，Xu Z，Huang J，Zhang L 2010 Chin.Phys.B 19 100204

［8］ Zhou P，Wei L，Cheng X 2009 Chin.Phys.B 18 2674

［9］ Zhang R，Yang S 2009 Chin.Phys.B 18 3295

［10］ Liu Y，Xie Y 2010 Acta Phys.Sin.59 2147(in Chinese)［劉 勇、謝 勇2010物理學(xué)報(bào)59 2147］

［11］ Wang M，Wang X 2010 Acta Phys.Sin.59 1583(in Chinese)［王明軍、王興元2010物理學(xué)報(bào) 59 1583］

［12］ Liu D，Yan X M 2010 Acta Phys.Sin.59 3747(in Chinese)［劉 丁、閆曉妹2010物理學(xué)報(bào) 59 3747］

［13］ Huang L L 2011 Acta Phys.Sin.60 010505(in Chinese)［黃麗蓮2011物理學(xué)報(bào) 60 010505］

［14］ Jiang X，Xu M，Qi H 2010 Nonlinear Anal-Real 11 262

［15］ Liu Y，Ma J 2009 Commun.Theor.Phys.52 857

［16］ Chen W 2008 Chaos，Soliton.Fract.36 1305

［17］ Song L，Xu S，Yang J 2010 Commun.Nonlinear Sci.Numer.Simulat.15 616

［18］ Ahmad W，El-Khazali R 2007 Chaos，Soliton.Fract.33 1367

［19］ Puu T 1997 Nonlinear economic dynamics(NY:Springer Verlag)

［20］ Xin BG，Ma J，Gao Q 2009 Chaos，Soliton.Fract.42 2425

［21］ Sprott J 2003 Chaos and time-series analysis(NY:Oxford Univ.Press)

［22］ Huang D，Li H Q 1993 Theory and method of the nonlinear economics(Chengdu:Sichuan Univ.Press)(in Chinese)［黃登仕、李后強(qiáng)1993非線性經(jīng)濟(jì)學(xué)的理論和方法(成都:四川大學(xué)出版社)］

［23］ Qiu T 2010 IMF head:No asset bubble in Asia.In Wen Wei Po(HK:Wen Wei Po Press)

［24］ Jiang X，Xu M 2010 Phys.A 389 3368

［25］ Podlubny I 1999 Fractional differential equations(NY:Academic press).

［26］ Diethelm K，F(xiàn)ord N，F(xiàn)reed A 2002 Nonlinear Dynam.29 3

［27］ Deng W，Li C 2008 Phys.Lett.A 372 401

［28］ Hu J B，Han Y，Zhao L D 2009 Acta Phys.Sin.58 4402(in Chinese)［胡建兵、韓 焱、趙靈冬 2010物理學(xué)報(bào) 58 4402］

［29］ Deng W 2010 Nonlinear Anal-Theor.72 1768

PACS:89.65.Gh，05.45.－ a，02.30.Oz

Complexity evolvement of a chaotic fractional-order financial system*

Xin Bao-Gui1)2)Chen Tong1)Liu Yan-Qin1)2)
1)(School of Management，Tianjin University，Tianjin 300072，China)2)(School of Economics and Management，Shandong University of Science and Technology，Qingdao 266510，China)(Received 21 June 2010;revised manuscript received 2 August 2010)

A novel science branch，econophysics，is set up because various physical theories and methods are applied to economic and financial fields.More and more researchers are fascinated by the complex dynamical behavior of the fractional-order dynamical system.The paper analyzes the stability of the fractional-order financial system，and then simulates the generalized model complexity with Adams-Bashforth-Moulton predictor-corrector scheme by using bifurcation diagram，phase portrait and history time-series.

econophysics，fractional ODEs，finance model，chaos

*中國(guó)博士后科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào):20100470783)，高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專項(xiàng)科研基金(批準(zhǔn)號(hào):20090032110031)和國(guó)家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào):60904063)資助的課題.

E-mail:xin@tju.edu.cn

*Project supported by the China Postdoctoral Science Foundation(Grant No.20100470783)，Specialized Research Fund for Doctoral Program of Higher Education from Ministry of Education of China(Grant No.20090032110031)and National Natural Science Foundation of China(Grant No.60904063).

E-mail:xin@tju.edu.cn